精品解析：北京市第五中学分校2026—2027学年八年级上学期开学检测数学试题

北京五中分校2026~2027学年度第一学期假期作业反馈调研 初二数学 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】验证较短两条线段的和是否大于最长线段，即可快速判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，不能组成三角形． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标， ∴ 点在第二象限． 3. 下列各数是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简带根号的数，再根据无理数的定义判断． 【详解】解：A、 开方开不尽，是无限不循环小数，∴ 是无理数，符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、是整数，属于有理数，不符合题意． 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，故A、D错误； ∵， ∴，故B错误； ∵， ∴，故C正确. 5. 如图，点在直线上，，平分．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6. 关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（ ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解”，分析表格中数据即可获得答案． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解， ∴对比表1与表2的对应值， 当时，两表的值均为， 即为方程组的解． 7. 当时，对于x的每一个值，的值都小于的值，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简不等式得到，再根据 “时恒成立”，推出，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 化简得， ∵时，的值都小于的值， ∴， 解得． 8. 某校连续四个月开展了数学计算能力测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加计算能力测试的学生总人数不变） 下面有四个推断，正确的是（ ） ①共有名学生参加计算能力测试． ②从月到月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐步增长． ③从月到月增长的“优秀”人数比从月到月增长的“优秀”人数多个． ④月份测试成绩“优秀”的学生人数为人． A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用条形统计图计算总人数判断①；观察折线统计图走势判断②；利用总人数和百分比差值计算增长人数判断③；利用总人数和百分比计算具体人数判断④． 【详解】解：由条形统计图可知，参加测试的学生总人数为（人）， ∴共有名学生参加测试，故①错误； 由折线统计图可知，从月到月，优秀率分别为、、、， ∴占比呈逐步增长趋势，故②正确； 从月到月增长的“优秀”人数为（人）， 从月到月增长的“优秀”人数为（人）， ，故③错误； 月份测试成绩“优秀”的学生人数为（人），故④正确； 综上所述，正确的推断是②④． 二．填空题（每小题2分，共16分） 9. 计算：=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 10. 能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：____________，____________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，， 故答案为：，（答案不唯一）． 11. 已知点，如果点的坐标为，且直线轴，那么点的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可得点与点横坐标相等，列方程求出的值，再代入计算得到点的纵坐标即可． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， ， 解得， 将代入得 ， 点的坐标为． 12. 若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将代入中， 得， ． 13. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法“边边边 ，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”，结合题意，选择合适的方法进行判定即可求解． 【详解】解：已知， ∵， ∴，且， ∴添加，可运用“角边角”证明； 添加，可运用“边角边”证明； 添加，可运用“角角边”证明； 故答案为：(答案不唯一）． 14. 教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 15. 若不等式组有解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组有解说明两个解集存在公共部分，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解不等式组 解，移项得，即 解，移项得，合并同类项得，即 不等式组有解 两个解集存在公共部分，可得 解得． 16. 已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 【答案】 ①. 3 ②. 60 【解析】 【分析】（1）要使每支队伍参观过程无需等待，相邻队伍进入首个展厅的间隔不小于最长展厅参观时长，结合第一支队伍参观完所有展厅的总时长，即可计算最多队伍数； （2）计算四个队伍参观所有展厅的总耗时，结合每个展厅的总占用时间，得到最少总完成时间． 【详解】解：（1）四个展厅参观时长分别为15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，最长参观时长为15分钟， 要使每支队伍无需等待，相邻两支队伍进入第一个展厅的间隔至少为15分钟，否则会出现展厅占用等待， 一支队伍参观完所有展厅总时长为 （分钟）， ， 因此最多可分为3支队伍，第4支队伍进入时必然产生等待， 故最多3支； （2）若分为4支队伍，每个展厅总占用时间为：A展厅（分钟），B展厅（分钟），C展厅（分钟），D展厅 （分钟）， 每个队伍同一时间只能参观一个展厅，所有展厅中总占用时间最长为60分钟， 可以合理安排参观顺序，可以让所有队伍都完成参观的总时间为60分钟， 如：队伍一：A展厅，D展厅，C展厅，B展厅， 队伍二：B展厅，C展厅，D展厅，A展厅， 队伍三：C展厅，D展厅，B展厅，A展厅， 队伍四：D展厅，A展厅，B展厅，C展厅， 因此最少需要60分钟． 三．解答题（共60分，17题5分，18题12分，19—24题6分，25题7分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题先根据算术平方根、绝对值、立方根的性质化简每一项，再合并同类项得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 18. 完成下列计算： （1）解方程组：． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵ ∴得， 解得， 把代入得， 则， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由得； 由得； ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简整式，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴ ∴． 【解析】 【分析】根据三条边都对应相等的两个三角形是等边三角形即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定——边边边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，已知，，． （1）将平移后得到对应的，其中点的对应点是，请在图中画出平移后的； （2）点在轴上，若，直接写出点坐标． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图即可； （2）先求出的面积，分点在左边或点在右边两种情况，分别解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， 的面积， 点的坐标为， 设， ， ， 解得， 当点在左边时，，∴； 当点在右边时，，∴． 22. 某校七年级学生共600人，为进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，测试结果一分钟跳绳次数（x）水平划定为：不合格；合格；良；优．现以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表、频数分布直方图和扇形图，如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 第一组 6 第二组 8 第三组 a 第四组 18 第五组 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的__________，并将频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中__________，“第一组”所对应的圆心角的度数是__________； （3）根据以上调查结果，估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有多少人． 【答案】（1）12，补全频数分布直方图如图所示： （2）24，43.2 （3）288人 【解析】 【分析】（1）用样本容量减去其它组的频数可得a值，进而可补全频数分布直方图； （2）用a除以样本容量可求得m值，用乘以“第一组”所占的百分比即可求得圆心角； （3）用七年级总人数乘以样本中一分钟跳绳成绩达到良及以上所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，， 图略 【小问2详解】 解：，则， “第一组”所对应的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有288人． 23. 在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示： 校服熊 校服兔 进价（元/个） 50 52 售价（元/个） 55 59 （1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）． （2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）． 【答案】（1）“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个 （2）104,56 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，利用总利润每个“校服熊”的销售利润购进数量每个“校服兔”的销售利润×购进数量，结合购进“校服熊”和“校服兔”的数量及销售后获得的总利润，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个，根据中午采购“校服熊”的数量不少于 100 个且全天获得的总利润不少于 2036 元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合均为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个， 根据题意得：， 解得：． 答：“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个； 【小问2详解】 解：设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个， 根据题意得：， 解得：， 又 ∵均为正整数， ， 个， ∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104 个，“校服兔” 56 个． 故答案为： 104,56 ． 24. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【答案】（1）7 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把三个方程相加，然后在方程的两边同时除2即可得出答案． （2）由题意可知关于和的方程组的解，从而列关于p和q的二元一次方程组并求解即可． （3）解方程组求得，，由，得到，即可得到或，再进行解不等式组，即可作答． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：； 故答案为：7． 【小问2详解】 解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且关于p，q的二元一次方程组 ∴， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 得，即 得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 25. 已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． （1）若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； （2）当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． （3）分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；② （2）；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京五中分校2026~2027学年度第一学期假期作业反馈调研 初二数学 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各数是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在直线上，，平分．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（ ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A. B. C. D. 7. 当时，对于x的每一个值，的值都小于的值，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某校连续四个月开展了数学计算能力测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加计算能力测试的学生总人数不变） 下面有四个推断，正确的是（ ） ①共有名学生参加计算能力测试． ②从月到月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐步增长． ③从月到月增长的“优秀”人数比从月到月增长的“优秀”人数多个． ④月份测试成绩“优秀”的学生人数为人． A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二．填空题（每小题2分，共16分） 9. 计算：=___． 10. 能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：____________，____________． 11. 已知点，如果点的坐标为，且直线轴，那么点的坐标是___________ 12. 若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为______． 13. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 14. 教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 15. 若不等式组有解，则的取值范围是__________． 16. 已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 三．解答题（共60分，17题5分，18题12分，19—24题6分，25题7分） 17. 计算：； 18. 完成下列计算： （1）解方程组：． （2）解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，，求证：． 21. 如图，已知，，． （1）将平移后得到对应的，其中点的对应点是，请在图中画出平移后的； （2）点在轴上，若，直接写出点坐标． 22. 某校七年级学生共600人，为进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，测试结果一分钟跳绳次数（x）水平划定为：不合格；合格；良；优．现以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表、频数分布直方图和扇形图，如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 第一组 6 第二组 8 第三组 a 第四组 18 第五组 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的__________，并将频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中__________，“第一组”所对应的圆心角的度数是__________； （3）根据以上调查结果，估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有多少人． 23. 在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示： 校服熊 校服兔 进价（元/个） 50 52 售价（元/个） 55 59 （1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）． （2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）． 24. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 25. 已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． （1）若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； （2）当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． （3）分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $