专题09 一元一次方程应用题分类训练02（方案水电费几何日历数轴含参6类48道）2026-2027学年七年级数学上册 （人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用题6大生活情境分类训练，以题载法构建从实际问题抽象等量关系的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方案问题|8道|含多方案费用比较、最优选择|通过表格数据建立费用表达式，培养模型意识| |水费与电费|8道|阶梯计费、分段求值|依据用量区间构建分段函数，发展抽象能力| |几何图形|8道|边长面积计算、图形拼接|结合几何公式转化为方程，强化空间观念| |日历问题|8道|数阵规律、和差关系|利用日历数字周期性抽象等量关系| |数轴行程|8道|动点追击、距离计算|将数轴距离与行程公式结合，提升推理能力| |含参应用|8道|参数影响、动态分析|通过参数变化考查方程解的适用性，培养数学思维|

专题09 一元一次方程应用题分类训练02 （方案水电费几何日历数轴含参6类48道） 专题目录 【类型1 方案问题】 1 【类型2 水费与电费】 11 【类型3 几何图形】 18 【类型4 日历问题】 24 【类型5 数轴上的行程问题】 33 【类型6 含参一元一次应用题】 43 【类型1 方案问题】 1．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)710 (2)甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演 (3)最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 【详解】（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 2．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 3．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 【答案】(1)110；； (2)当包裹重量为时，两种方案的运费相同 【分析】本题考查了列代数式和一元一次方程的应用，准确地理解不同区间的计价规则是解题的关键． （1）根据货物质量的不同区间，选择对应的计价规则计算运费； （2）若包裹重量超过时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费 （元）； 当包裹的重量为时，则需支付运费 元； （2）解：若包裹重量超过时，按单价“6元”计费，即元， 根据题意，得， 解得， 当包裹重量为时，两种方案的运费相同． 4．某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【答案】(1)100元 (2)90元 (3)学校应该选择方案二购买 【分析】（1）根据篮球售价与足球售价的百分比关系，列方程，求解足球售价； （2）第二问先计算两次打折后的篮球售价，再根据利润率关系列方程求解篮球进价； （3）第三问先根据总数量和比例求出篮球足球的个数，再分别计算三种优惠方案下的总费用，比较大小后得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每个足球的售价是元， 依题意，， 解得， 即每个足球的售价是元； （2）解：设每个篮球的进价是元， 则两次打折后篮球的实际售价：（元）； 根据题意得， 解得， ∴每个篮球的进价是90元． （3）解：∵总数量共90个，篮球与足球个数比为， 因此篮球个数为 （个）； 足球个数为（个）； 原价总费用为（元）， 方案一：总费用打九折，总费用为（元）； 方案二：40个足球可赠送篮球个数为（个）； 需要付费的篮球个数为 （个） 总费用为 （元） 方案三：超过2000元的部分为（元） ， ∴可满减33次，即满减总金额为（元） ∴总费用为 （元） ∵， ∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买． 5．探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)单独租用甲客车需要4辆，单独租用乙客车需要5辆 (2)租用甲客车2辆，乙客车2辆 (3)（2）条件下总租车费用为1080元，不存在更省钱的租车方案 【分析】本题是一元一次方程的实际应用，属于方案选择问题； （1）利用总人数除以单车载客量，结合车辆数为正整数的要求取整得到结果； （2）设未知数，根据总载客量等于总人数列一元一次方程求解； （3）先计算给定方案的总费用，再枚举所有满足载客要求的方案，比较费用判断是否存在更省钱的方案． 【详解】（1）解：∵，车辆数为正整数， ∴单独租用甲客车需要辆； ∵，车辆数为正整数， ∴单独租用乙客车需要辆； （2）解：设租用甲客车辆，则租用乙客车辆， 根据恰好坐满140人，列方程得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 则， 即租用甲客车2辆，乙客车2辆； （3）解：在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用：（元）； 方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 对比所有方案可知，1080元为最低费用，因此不存在更省钱的租车方案． 6．列方程解应用题 元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． (3)买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等名同学和他们的名家长共人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用． 【答案】(1)个成人，个学生 (2)买团体票更省钱，理由见解析 (3)若4名学生同名家长按照团体票买，剩下的4名学生按照学生票买，总费用最低，为元 【分析】（1）根据题意，可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以算出团体票的费用，然后与（1）中比较大小，即可解答本题； （3）根据题意，分别算出分开买票和按照团体票买票或者部分按照团体票购买，进行比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设一共去了个成人，则学生人， ， 解得， ， 答：一共去了个成人，个学生； （2）解：买团体票更省钱， 理由：购买团体票时，花费为：（元）， ， 买团体票更省钱； （3）解：七班共有名学生，名家长， 若按团体票购买，费用为：（元）， 若4名学生同名家长按照团体票买，剩下的4名学生按照学生票买， 费用为：（元） 若分开购买，费用为：（元）， ， 按照团体票最优惠，总费用为元． 7．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 8．随着旅游业的发展，乡村旅游已成为旅行新潮流，乡村旅游产品也逐渐受到游客青睐．某村的文创商店制作了一批民族手工艺品作为旅游商品售卖，该手工艺品的标价为50元/件．某旅游公司准备购买件这种手工艺品当作纪念品送给游客． 该商店提供了两种优惠方案： 方案一：当购买的手工艺品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工艺品超过5件时，超过的部分打七折； 方案二：购买的手工艺品全部打八折． (1)当时，若按照方案一购买，需支付_____元；若按照方案二购买，需支付 元；（用含的代数式表示） (2)假如你是旅游公司负责人，要购买10件该手工艺品，请你通过计算说明选择哪种优惠方案更合算； (3)该怎样根据自己想买的数量来选择更省钱的方案？说说你的建议．（一条即可） 【答案】(1)； (2)选择方案二更合算 (3)当购买数量小于15件时，选择方案二更省钱；当购买数量等于15件时，两种方案费用相同；当购买数量大于15件时，选择方案一更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及一元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列代数式和利用方程解决方案选择问题的方法是解题的关键． （1）当时，方案一需分两部分计算费用：前5件按原价，超过5件的部分按七折；方案二则直接按八折计算总价，据此列出含的代数式． （2）将分别代入（1）中得到的两个代数式，计算两种方案的费用并比较大小，判断哪种方案更合算． （3）通过列方程求出两种方案费用相等时的购买数量，再分情况讨论不同购买数量下更省钱的方案． 【详解】（1）解：∵方案一：前5件费用为元，超过5件的件费用为元， ∴方案一需支付： ， ∵方案二：全部八折，每件价格为元， ∴方案二需支付：， 故答案为：； （2）解：当时，方案一：， ∴方案一需支付425元． ∵方案二：， ∴方案二需支付400元． ∵， ∴选择方案二更合算． （3）解：令， 解得． 当时，方案一费用为，方案二费用为，此时方案二更省钱． 当时，，方案二更省钱． 当时，两种方案费用相同． 当时，，方案一更省钱． 故当购买数量小于15件时，选择方案二更省钱； 当购买数量等于15件时，两种方案费用相同； 当购买数量大于15件时，选择方案一更省钱． 【类型2 水费与电费】 9．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 10．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 【答案】(1)当时，水费为34元；当时，水费为元 (2)小花家12月份用水 【分析】（1）根据收费方式，求出水费，列出代数式即可； （2）根据题意和收费方式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：当时，水费为元； 当时，水费元； （2）解：由题意得，小花家10月份，11月份共交水费（元）， 则12月份水费为（元） ， ∴， ∴小花家12月份的用水量为，超过20吨的部分为， ， 解得：． 答：小花家12月份用水量为． 11．为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 【答案】度 【分析】先分别求出当用电150度时的费用，从而得出李明家上月用电超过150度，设李明家上月用电x度，根据电费列出方程求解即可． 【详解】当用电150度时，费用为(元)， 因为， 故李明家上月用电超过150度， 设李明家上月用电x度， 则， 解得， 答：李明家上月用电174度． 12．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 13．为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【答案】(1)78元 (2)吨 【分析】（1）因为已知用水量为28吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过20吨时的最高水费，每月用水量不超过30吨时的最高水费 ，推出小李家用水量超过30吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家3月份用水28吨，应缴水费78元． （2）解：当每月用水量不超过20吨，最高水费为（元）， 当每月用水量不超过30吨，最高水费 为（元）， ∵小李家4月份缴水费87元，， ∴小李家用水量超过30吨， 设小李家用水量为x吨， 则， 解得． 答：4月份用水吨． 14．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 15．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ 【答案】(1) (2)260度 【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的函数关系式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费138元可知在第二段，代入解析式可得用电量． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 小李家6月份用电260度． 16．为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 【答案】(1)266元 (2)属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯，用电量为200千瓦·时 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）先求出用电300千瓦·时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为千瓦·时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：小明家10月份应缴纳的电费为266元； （2）解：当用电300千瓦·时，应缴纳电费为（元）， 此时平均电费为（元）， ∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦·时，且， ∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯； 设小明家11月份的用电量为千瓦·时， 根据题意，得， 解得， 答：小明家11月份的用电量为200千瓦·时． 【类型3 几何图形】 17．如图，已知阴影部分的面积是120平方厘米，分别是长、宽的中点，长方形的宽是16厘米，求长方形的面积． 【答案】平方厘米 【分析】设长方形的长是厘米，则厘米，厘米，根据割补法列方程求解的值，进而计算即可． 【详解】解：设长方形的长是厘米． ∵分别是长、宽的中点， ∴厘米，厘米， 由题意，得， 解得， 长方形的面积：（平方厘米）． 18．网球是一项奥林匹克运动，适用于社会各阶层和各个年龄段．网球场分为单打区和双打区，其平面示意图如图所示，全部区域为双打区，阴影区域为单打区，按照国际尺寸标准：单打区的长、宽分别为78英尺、27英尺，底线到发球线的距离与发球线到球网的距离的比为，单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，求双打区的宽． 【答案】双打区的宽为36英尺 【分析】设底线到发球线的距离为，发球线到球网的距离为，根据题意列出，求出单打边线到双打边线的距离为英尺，再由双打区的宽等于单打区的宽加上两侧单打边线到双打边线的距离求出答案即可． 【详解】解：设底线到发球线的距离为，发球线到球网的距离为， 由题意可得：， 解得， 故底线到发球线的距离为英尺， 单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，即英尺， 双打区的宽等于单打区的宽加上两侧单打边线到双打边线的距离：英尺， 答：双打区的宽为36英尺． 19．中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【答案】 【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍， ∴， 解得， ∴， 即该中国结的总高为． 20．用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 【答案】包装盒的高为 【分析】根据题意可设包装盒高为，底面边长为，再根据图列出方程求解即可． 【详解】解：∵高与底面边长的比为， ∴设包装盒高为，底面边长为． 由图可得， 解得， ∴． 答：包装盒的高为． 21．如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：______cm，______cm（用含有x的代数式分别示）． (2)先用含有x的代数式表示出长方形的面积．并求当时，求长方形的面积． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式； （2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形的长和宽，进而表示出长方形的面积，然后求出x的值，再把x的值代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：长方形的长为，宽为， 长方形的面积， ∵，， ∴， ∴ 当时， 长方形的面积． 22．数学探究课上，创新小组的六个组员一起探究身边的数学．喜欢画画的朵朵的书包里恰好有一张正方形纸片．她们的探究过程如图所示： （1）组长小美首先从这个正方形纸片上剪去一个宽度为的长方形纸条； （2）组员小明再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条； （3）组员小创通过测量并计算，发现第一次剪下的长方形纸条的周长是第二次剪下的长方形纸条周长的3倍． 请你求出原正方形纸片的边长． 【答案】正方形的边长为． 【分析】设正方形的边长为，则小美剪去的长方形纸条的周长为，小明剪去的长方形纸条的周长为，依题意列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则小美剪去的长方形纸条的周长为，小明剪去的长方形纸条的周长为，依题意，得 ， 解得， 答：正方形的边长为． 23．“元旦”快到了，张华想为自己的爸爸、妈妈送一件礼物，对父母一年来的辛苦表示一点心意．他亲自制作了一个小礼物，并且想用一个无盖的长方体盒子将其装起来．如图所示，正好有一张长为，宽为的包装纸，张华想在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面周长为的没有盖的长方体盒子，用来装礼物，请你帮小华设计一下，截去的小正方形的边长应是多少？ 【答案】小正方形的边长是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设截去小正方形的边长是，根据长方体盒子的底面周长为，可列方程，解方程即可求出小正方形的边长． 【详解】解：设截去小正方形的边长是， 由题意得：， 解得：， 答：小正方形的边长是． 所以小正方形的边长是． 24．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)挂画的长为__________米，挂画的宽为__________米（分别用含x的式子表示）； (2)若镶上边饰后整幅挂画的长度为8米，求整幅挂画的面积． 【答案】(1)， (2)整幅挂画的面积为48平方米 【分析】本题主要考查了代数式表示数，一元一次方程的实际问题，理解图示，正确表示出挂画的长与宽是解题的关键． （1）根据图示信息用代数式表示即可； （2）根据题意列一元一次方程求出挂画的长与宽，再结合面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，挂画的长为米，挂画的宽为米； 故答案为：，； （2）解：依题意得：， 解得， 所以挂画的宽为6米， 挂画的面积为：（平方米）， 答：整幅挂画的面积为48平方米． 【类型4 日历问题】 25．下图为1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 解得， 则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130． 【分析】（1）设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，根据“五个数的和为115”建立方程求解，即可画图； （2）同（1）列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 画图如下见答案； （2）略 26．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 27．如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 (5)日 【分析】（1）根据右边的数比左边的数大1求解即可； （2）根据上方的数比下方的数小7求解即可； （3）先根据左上方的数比中间的数小8，右下方的数比中间的数大8表示出各数，再求和即可； （4）设中间的数为b，表示出其余4个数，然后求和，再结合日历特点求解； （5）设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为，然后列方程求出，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵右边的数比左边的数大1， ∴中间的数为，则右边的数为； （2）解：∵上方的数比下方的数小7， ∴若中间的数为，则上方的数为； （3）解：若中间的数为，则左上方的数为，右下方的数为， ∴这3个数的和为：； （4）解：设中间的数为b，则其余4个数分别是， ∴， ∴要使这5个数的和最小，只要中间的数最小即可， 观察日历表可知，满足条件的最小中间数是8． （5）解：设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为， 五个星期一的和为：， 解得，即2号是星期一， ∴16号是星期一， ∴15号是星期日． 28．下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） (2)小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． (3)对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 【答案】(1) (2) 小丽算错了，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∵圈出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：x为整数， ∴不符合题意， ∴小丽算错了； (3)4 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可． （2）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． （3）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，进一步求和，结合分配律即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为． （2）略 （3）解：设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴， ∴对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是． 29．如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)9， (2) 解：不同意小胖的说法，理由如下： 假设被框住的5个数字之和能为111， 根据题意得， 解得：， 由图知，25在最后一行的最左边， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即小胖的说法不正确； (3)代数式的值是定值，18． 【分析】（1）利用及，即可求出的值及用含x的代数式表示出的值； （2）不同意小胖的说法，假设被框住的5个数字之和能为111，根据5个数字之和为111，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再结合图形可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即小胖的说法不正确； （3）代数式的值是定值，根据各数之间的关系，用含a的代数式表示出b，，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：若，则； 若，则． （2）略 （3）解：代数式的值是定值，理由： 根据题意得：，，， ∴， ∴代数式的值是定值，该定值为18． 30．将连续偶数，，，，…排成如下数表： (1)将平行四边形框上、下、左、右平移，可框住数表中的三个数，设中间的数为，求出平行四边形框中三个数之和； (2)平行四边形框中的三个数的和能等于吗？若能，写出这三个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能等于，这三个数分别为，， 【分析】本题考查一元一次方程应用中的日历问题，观察数表寻找规律是关键． （1）设中间的数为，则另外两个数分别为，，将三个数相加，即可用含的代数式表示出平行四边形框中三个数之和； （2）根据（1）的结论，求出的值为，观察数表规律，找到数字的位置，并判断能否取到这三个数即可． 【详解】（1）解：由数表的规律可知，平行四边形左上角的数为，右下角的数为， ∴三个数的和为； （2）解：假设三个数的和能等于， 由（1）可知，三个数的和为， ∴， 解得， ∴，， 观察数表发现，在第行第个数的位置，是中间位置， ∴假设成立，三个数的和能等于，三个数分别为，，． 31．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 【答案】(1)框住4个数中最大数为 (2)不能，理由： 假设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， ∵数20已经在该行的最左边， 则它的左下角不存在数， 故不能框出这样的4个数，它们的和等于94； (3)代数式的值不发生变化，始终为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及整式加减的应用； （1）观察图形，根据各数之间的关系，设框出的4个数中最小的数为x，用含x的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （2）设框出的4个数中最小的数为x，用含的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （3）先求出，代入代数式求出结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， 则框住4个数中最大数为． （2）略 （3）解：代数式的值不发生变化，始终为，理由如下： 如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d， 则， ， 则代数式的值不发生变化，始终为． 32．图1是2025年1月的月历，用如图所示的“”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“”字形框中的4个数分别为． (1)若，则___________，若，则___________； (2)在移动“”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； 【答案】(1)14； (2) 小明的说法错误，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得：， 即， 解得：， 则， ， 小明的说法错误． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用，可求出的值，利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）假设小明的说法正确，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再分别求得b，c和d可得出假设不成立，即小明的说法错误． 【详解】（1）解：根据题意得：若，则， 若，则． 故答案为：14；； （2）略 【类型5 数轴上的行程问题】 33．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】（1）先得到点B表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点P与点Q间的距离为6个单位长度，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 34．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出，两点间的距离和，两点的中点所对应的数； （2）根据题意，可以用含的代数式表示秒时，点走到的位置所对应的数； （3）根据题意，可知存在两种情况，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】（1）解：点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ，两点间的距离是：， ，两点的中点所对应的数是． （2）解：点对应的数为，点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动， 秒时，点走到的位置所对应的数是； （3）解：由题意可得：秒时，点所对应的数是，点所对应的数是， 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 点不可能是点和点的中点，因为点和点的速度一样，点始终在最右边； 由上可得，的值为或． 35．如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 【答案】(1)线段的中点对应的数为 (2)点表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】（1）设线段的中点对应的数为，根据列方程求解； （2）根据题意列方程求解即可； （3）利用“电子蚂蚁运动的路程电子蚂蚁运动的路程110或130”列方程求解，进而可得点对应的数． 【详解】（1）解：设线段的中点对应的数为， 由，得， 解得 ， 即线段的中点对应的数为． （2）解：由图可知：数轴上两点之间的距离为， 设电子蚂蚁和电子蚂蚁运动秒后在点处相遇， 依题意，得， 解得， 所以点表示的数为． （3）解：设电子蚂蚁和电子蚂蚁 运动秒后在数轴上相距个单位长度， 依题意，得或， 解得或， 或， ∴点对应的数为或． 36．如图，在数轴上点、、表示的数分别是、、动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动． (1)的长为______； (2)t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______． (3)当点P与点Q相遇时，求t的值． (4)若，直接写出点P表示的数． 【答案】(1)14 (2)； (3) (4)或0 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的表示方法列式计算即可； （2）根据运动速度表示出结果即可； （3）当点与点相遇时，即，解方程即可； （4）分两种情况讨论，两点都在运动时，即时，； 到达终点时，不成立，据此解答即可． 【详解】（1）解：的长为； （2）解：秒后，点对应的数为，点对应的数为； （3）解：当点与点相遇时，， 解得：； （4）解：当到达终点时，用时秒，当到达终点时，用时秒， 两点都在运动时，即时， 秒后，长度为个单位，长度为个单位， ， 即， ， ， 解得：或； 此时点对应的数为或； 当到达终点时， ，此种情况不成立， 综上所述，若，点表示的数为或0． 37．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)1 (2)或5 (3)点P所对应的数是 【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、3，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别列方程求出x的值即可； （3）首先表示出运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后得到，，然后根据题意得到，然后分三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、3， ∴点P对应的数是； （2）解：①当点P在A左边时， 解得：； ②点P在B点右边时，， 解得：， 综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）解：设运动时间为t， 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵的值为10 ∴ ∴当时， 解得（舍去）； 当时， 解得 ∴点P表示的数为； 当时， 解得（舍去）； 综上所述，点P所对应的数是． 38．对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点所表示的数分别为1，3，4，此时点是点的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别为，，，其中是点，的“联盟点”的是_____； (2)点表示数，点表示的数30，为数轴上一个动点，若点在点的左侧，且点是点的“联盟点”直接写出此时点表示的数为__________． 【答案】(1)或 (2)或或； 【分析】（1）分别求得到点的距离，根据“联盟点”的定义即可得到答案； （2）根据“联盟点”的定义，分类讨论点的位置，设点对应的数为，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点表示数，点表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为， ∴，， ∴不是的“联盟点”； ∵， ∴是的“联盟点”； ∵， ∴是的“联盟点”； 故答案为：或． （2）解：设点在数轴上所表示的数为， 当点在线段上时， 若，则，解得， 若时，则，解得， 当点在点的左侧时，由可得，解得， 综上所述，点表示的数为或或； 39．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数2对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上点1对应的点与数_______对应的点重合 (2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，则A对应的点是_______，B对应的点是_____． (3)在（2）的情况下，一只青蛙王子从点A出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵从B点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用折叠点为两点的中点的性质即可得解； （2）由（1）知：折合点表示的数，利用此点到两点的距离相等即可得解； （3）设它们x秒后相遇，列方程得出相遇时间，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数2对应的点重合， ∴ ∴折叠点对应的数为， 设数轴上与1重合的数为， 由题意得，， 解得 ∴数轴上点1对应的点与数对应的点重合； （2）解：由（1）知：折叠点表示的数， ∵数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的左侧），并且A，B两点经折叠后重合， ∴折叠点表示的数分别到A，B两点的距离为100， ∴，， ∵点A在点B的左侧， ∴A表示；B表示98； （3）解：设它们x秒后相遇， 由题意得， 解得 ∴， ∴C点所表示的数为38． 40．如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间相距20个单位长度，且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点M从点A以4个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点N从点C以2个单位/秒的速度沿数轴向左同时运动，设运动时间为t秒． (1)点A表示的数是_______，点B表示的数是_______，点C表示的数是_______； (2)当点M与点N的距离是6个单位长度时，求运动时间t； (3)若点M到点C后按原速返回，点N继续按原速向左运动，当点M追上点N时，求点N运动时间t． 【答案】(1)，10，30； (2)秒或秒 (3)20秒 【分析】（1）根据点A和点B间相距20个单位长度，且点A、B表示的有理数互为相反数，可得点A，点B表示的数，再根据，可得，结合点B表示的数即可求解点C表示的数； （2）先表示出点M表示的数与点N表示的数，再由M与N的距离列式求解即可； （3）先求解出点M到达点C的时间，由此可表示此时点N表示的数，再由当M追上N时所用时间求解即可． 【详解】（1）解：∵点A和点B间相距20个单位长度，且点A、B表示的有理数互为相反数， ∴点A表示的数是，点B表示的数是10， ∵， ∴，且点C在点B的右侧， ∴，即点C表示的数是30； （2）解：∵点M从点A以4个单位/秒的速度沿数轴向右运动， ∴点M表示的数为， ∵点N从点C以2个单位/秒的速度沿数轴向左同时运动， ∴点N表示的数为， ∵M与N的距离是6个单位长度， ∴，即， 则有或， 解得或， ∴运动时间t为秒或秒； （3）解：当点M到达点C时，所用的时间为秒， 此时点N向左运动了个单位长度，即追击距离为20， ∵点M到点C后按原速返回，点N继续按原速向左运动， ∴点M追上点N的时间为秒， ∴当点M追上点N时，运动时间秒． 【类型6 含参一元一次应用题】 41．为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 【答案】(1)5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确掌握题中的等量关系是解题的关键． （1）设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为，根据等量关系列出一元一次方程进行计算即可； （2）根据题意得到6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为，列出计算式即可得到答案． 【详解】（1）解：设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为， 由题意得：， 解得， 咸蛋的销售量为袋， 答：5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋； （2）解：6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为， 由题意可得：， 解得． 42．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 【答案】(1)这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷 (2)a的值是20 【分析】（1）设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷，根据含油率和总产油量的变化情况，列一元一次方程求解即可； （2）先求出去年和今年该村所产油菜籽的总产油量，以及去年和今年每千克盈利，再结合今年比去年多盈利63900元，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷， 由题意得，， 解得：， 则今年种植面积为：（公顷）， 答：这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷． （2）解：由题意可知，去年该村所产油菜籽的总产油量为， 今年该村所产油菜籽的总产油量为， 批发商去年每千克盈利（元）， 批发商今年每千克盈利（元）， 则， 解得： ∴a的值是20． 43．列一元一次方程解应用题 寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为25%． (1)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件； (2)该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进羽绒被的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求m的值． 【答案】(1)羊毛被30件，羽绒被40件 (2)10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）根据售价与进价、利润率的关系“售价进价（利润率）”，分别求出每件羊毛被的售价和每件羽绒被的进价，设购进羊毛被x件，则羽绒被为件，根据题意列出方程求解即可； （2）首先明确第一次购进羊毛被30件，羽绒被40件，然后根据题意得出：第二次购进羊毛被的件数不变，进价提高了，则羊毛被的进价为元，第二次购进羽绒被的件数增加了，则羽绒被的件数为件，再由利润列出方程求解即可． 【详解】（1）解：每件羊毛被的售价为：元， 每件羽绒被的进价为：元， 设购进羊毛被x件， ， 解得：， ∴， 所以羊毛被30件，羽绒被40件； （2）解：由（1）得第一次购进羊毛被30件，羽绒被40件， 第二次购进羊毛被的件数不变，进价提高了，则羊毛被的进价为元， 售价为800元，利润为元， 第二次购进羽绒被的件数增加了，则羽绒被的件数为件， 进价为800元，售价为1200元， 利润为元， 由题意可得：， 解得：． 44．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 【答案】(1)7天 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）先求出甲和乙的工作效率，设先安排甲单独生产了天，则甲生产了天，乙生产了天，根据效率乘以生产天数等于总量列方程求解即可； （2）由（1）知甲生产了10天，乙生产了天，根据甲的生产天数×成本+乙的生产天数×成本=总成本列方程求解即可． 【详解】（1）解：设总工作量为“1”， 根据题意，甲每天可完成总工作量的，乙每天可完成总工作量的 设先安排甲单独生产了天， 则甲生产了天，乙生产了天， ∴ 解得 答：先安排甲单独生产了7天； （2）解：由（1）知甲生产了10天，乙生产了天， ∵甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元， ∴ 解得 答：的值为20． 45．又是一年岁末时，人间繁忙迎新春．农历12月（腊月）是家家户户忙着购置年货的时候，某商场准备在腊月期间举行年货节活动，此次年货节活动特别购进了坚果炒货、糖果糕点两种大礼包进行特价促销，已知坚果炒货大礼包每件的进价比糖果糕点大礼包每件的进价多20元，购进3件坚果炒货大礼包与购进4件糖果糕点大礼包的进价相同． (1)求坚果炒货大礼包、糖果糕点大礼包两种大礼包每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进坚果炒货大礼包40件，糖果糕点大礼包60件．若坚果炒货大礼包每件获利，糖果糕点大礼包每件获利元，当两种礼包全部售完时，总销售额为7620元，求m的值． 【答案】(1)坚果炒货大礼包每件进价80元，糖果糕点大礼包每件进价60元 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设糖果糕点大礼包的进价为元，则坚果炒货大礼包的进价为元，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意表示出两种大礼包的销售额，根据坚果炒货大礼包的销售额加糖果糕点大礼包的销售额等于7620元，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设糖果糕点大礼包的进价为元，则坚果炒货大礼包的进价为元， 依题意，得：， 解得， ， 答：坚果炒货大礼包每件进价80元，糖果糕点大礼包每件进价60元； （2）解：由题意可得坚果炒货大礼包每件售价为元，糖果糕点大礼包每件售价为元 可得， 解得． 46．春节将至，随着2026年欢乐春节官方马年吉祥物“吉祥马”的公布，“吉祥马”毛绒公仔也随之热销．一家文创商店用12000元从厂家共采购了180个A款和B款“吉祥马”公仔，已知每个A款公仔的进价为40元，每个B款公仔的进价为80元． (1)求该商店分别采购了A款公仔与B款公仔各多少件？ (2)若每个A款公仔的标价是其进价的倍，每个B款公仔的标价为130元．元旦期间，商店对两款公仔进行优惠促销活动：A款公仔每件降价元，B款公仔全部打折出售．最终这180件A款和B款公仔全部售完，商店总计获得利润3120元，求的值． 【答案】(1)A款公仔60件，B款公仔120件 (2)8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）设该商店采购了A款公仔x件，则B款公仔件，根据180个A款和B款“吉祥马”公仔共12000元，列出方程，解方程即可； （2）根据商店总计获得利润3120元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该商店采购了A款公仔x件，则B款公仔件，根据题意得： ， 解得：， （件）， 答：A款公仔60件，B款公仔120件； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：的值为8． 47．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐单数超过40单的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是小刚这一周的送餐单数： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐单数 0 (1)求小刚这一周一共送餐多少单； (2)若小刚的收入为每单元，小刚想用这周的总收入买一台标价为2400元的平板电脑，这款平板电脑在商场的售价为标价的，在实际购买时，小刚幸运地抢到了一张180元的消费优惠券．小刚用这周的总收入买下这款平板电脑后，还剩120元，请求出的值． 【答案】(1)300单 (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，正负数的实际应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程和算式是解题的关键． （1）求出七天每天送40单的总单量，再加上表格中这七天的送餐单数即可得到答案； （2）根据收入减去平板电脑实际支付金额等于剩余的钱，列方程求解m． 【详解】（1）解： 单， 答：小刚这一周一共送餐300单； （2）解：由题意得，， 解得． 48．列一元一次方程解应用题： 冬日街头雪地靴热销，某鞋店上新了两款长、短不同的雪地靴．已知每双长款雪地靴的售价为700元，利润率为；每双短款雪地靴的进价为450元，利润为50元． (1)每双长款雪地靴的进价为______元，每双短款雪地靴的售价为______元； (2)若该鞋店第一次用12万元购进两款雪地靴，其中长款雪地靴的数量比短款雪地靴的数量多，求该鞋店购进长款雪地靴和短款雪地靴各多少双？ (3)在（2）的条件下，该鞋店对两款雪地靴进行第二次采购，相较于第一次采购，短款雪地靴的进价增加了10元，数量增加了双，售价增加了60元；长款雪地靴的进价减少了m元，数量和售价均不变；销售一段时间后，为了回馈消费者，该鞋店进行打折促销，规定：同时购买一双短款雪地靴和一双长款雪地靴可打八折，按照打折的销售方式该鞋店共售出了100双雪地靴；最终第二次购进的所有雪地靴销售一空．若第二次购进的两款雪地靴总共获利，求m的值． 【答案】(1)500，500 (2)购进短款雪地靴100双，则购进长款雪地靴150双 (3)m的值为20 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接列式进行求解即可； （2）设该鞋店购进短款雪地靴x双，则购进长款雪地靴双，利用进货总价=进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该鞋店购进短款雪地靴的数量），再将其代入中，即可求出该鞋店购进长款雪地靴的数量； （3）利用总利润=销售单价×销售数量-进货单价×购进数量，结合第二次购进的两款雪地靴总共获利，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：每双长款雪地靴的进价为（元）； 每双短款雪地靴的售价为（元）； 故答案为：500，500； （2）解：设购进短款雪地靴双，则购进长款雪地靴双，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：购进短款雪地靴100双，则购进长款雪地靴150双 （3）解：由题意得： ， 解得：； 答：m的值为20． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元一次方程应用题分类训练02 （方案水电费几何日历数轴含参6类48道） 专题目录 【类型1 方案问题】 1 【类型2 水费与电费】 4 【类型3 几何图形】 6 【类型4 日历问题】 9 【类型5 数轴上的行程问题】 12 【类型6 含参一元一次应用题】 14 【类型1 方案问题】 1．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 2．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 3．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 4．某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 5．探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 6．列方程解应用题 元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． (3)买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等名同学和他们的名家长共人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用． 7．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 8．随着旅游业的发展，乡村旅游已成为旅行新潮流，乡村旅游产品也逐渐受到游客青睐．某村的文创商店制作了一批民族手工艺品作为旅游商品售卖，该手工艺品的标价为50元/件．某旅游公司准备购买件这种手工艺品当作纪念品送给游客． 该商店提供了两种优惠方案： 方案一：当购买的手工艺品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工艺品超过5件时，超过的部分打七折； 方案二：购买的手工艺品全部打八折． (1)当时，若按照方案一购买，需支付_____元；若按照方案二购买，需支付 元；（用含的代数式表示） (2)假如你是旅游公司负责人，要购买10件该手工艺品，请你通过计算说明选择哪种优惠方案更合算； (3)该怎样根据自己想买的数量来选择更省钱的方案？说说你的建议．（一条即可） 【类型2 水费与电费】 9．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 10．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 11．为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 12．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 13．为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 14．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 15．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ 16．为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 【类型3 几何图形】 17．如图，已知阴影部分的面积是120平方厘米，分别是长、宽的中点，长方形的宽是16厘米，求长方形的面积． 18．网球是一项奥林匹克运动，适用于社会各阶层和各个年龄段．网球场分为单打区和双打区，其平面示意图如图所示，全部区域为双打区，阴影区域为单打区，按照国际尺寸标准：单打区的长、宽分别为78英尺、27英尺，底线到发球线的距离与发球线到球网的距离的比为，单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，求双打区的宽． 19．中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 20．用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 21．如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：______cm，______cm（用含有x的代数式分别示）． (2)先用含有x的代数式表示出长方形的面积．并求当时，求长方形的面积． 22．数学探究课上，创新小组的六个组员一起探究身边的数学．喜欢画画的朵朵的书包里恰好有一张正方形纸片．她们的探究过程如图所示： （1）组长小美首先从这个正方形纸片上剪去一个宽度为的长方形纸条； （2）组员小明再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条； （3）组员小创通过测量并计算，发现第一次剪下的长方形纸条的周长是第二次剪下的长方形纸条周长的3倍． 请你求出原正方形纸片的边长． 23．“元旦”快到了，张华想为自己的爸爸、妈妈送一件礼物，对父母一年来的辛苦表示一点心意．他亲自制作了一个小礼物，并且想用一个无盖的长方体盒子将其装起来．如图所示，正好有一张长为，宽为的包装纸，张华想在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面周长为的没有盖的长方体盒子，用来装礼物，请你帮小华设计一下，截去的小正方形的边长应是多少？ 24．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)挂画的长为__________米，挂画的宽为__________米（分别用含x的式子表示）； (2)若镶上边饰后整幅挂画的长度为8米，求整幅挂画的面积． 【类型4 日历问题】 25．下图为1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 26．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 27．如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 28．下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） (2)小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． (3)对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 29．如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 30．将连续偶数，，，，…排成如下数表： (1)将平行四边形框上、下、左、右平移，可框住数表中的三个数，设中间的数为，求出平行四边形框中三个数之和； (2)平行四边形框中的三个数的和能等于吗？若能，写出这三个数；若不能，请说明理由． 31．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 32．图1是2025年1月的月历，用如图所示的“”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“”字形框中的4个数分别为． (1)若，则___________，若，则___________； (2)在移动“”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； 【类型5 数轴上的行程问题】 33．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 34．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． 35．如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 36．如图，在数轴上点、、表示的数分别是、、动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动． (1)的长为______； (2)t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______． (3)当点P与点Q相遇时，求t的值． (4)若，直接写出点P表示的数． 37．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 38．对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点所表示的数分别为1，3，4，此时点是点的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别为，，，其中是点，的“联盟点”的是_____； (2)点表示数，点表示的数30，为数轴上一个动点，若点在点的左侧，且点是点的“联盟点”直接写出此时点表示的数为__________． 39．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数2对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上点1对应的点与数_______对应的点重合 (2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，则A对应的点是_______，B对应的点是_____． (3)在（2）的情况下，一只青蛙王子从点A出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵从B点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 40．如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间相距20个单位长度，且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点M从点A以4个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点N从点C以2个单位/秒的速度沿数轴向左同时运动，设运动时间为t秒． (1)点A表示的数是_______，点B表示的数是_______，点C表示的数是_______； (2)当点M与点N的距离是6个单位长度时，求运动时间t； (3)若点M到点C后按原速返回，点N继续按原速向左运动，当点M追上点N时，求点N运动时间t． 【类型6 含参一元一次应用题】 41．为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 42．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 43．列一元一次方程解应用题 寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为25%． (1)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件； (2)该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进羽绒被的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求m的值． 44．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 45．又是一年岁末时，人间繁忙迎新春．农历12月（腊月）是家家户户忙着购置年货的时候，某商场准备在腊月期间举行年货节活动，此次年货节活动特别购进了坚果炒货、糖果糕点两种大礼包进行特价促销，已知坚果炒货大礼包每件的进价比糖果糕点大礼包每件的进价多20元，购进3件坚果炒货大礼包与购进4件糖果糕点大礼包的进价相同． (1)求坚果炒货大礼包、糖果糕点大礼包两种大礼包每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进坚果炒货大礼包40件，糖果糕点大礼包60件．若坚果炒货大礼包每件获利，糖果糕点大礼包每件获利元，当两种礼包全部售完时，总销售额为7620元，求m的值． 46．春节将至，随着2026年欢乐春节官方马年吉祥物“吉祥马”的公布，“吉祥马”毛绒公仔也随之热销．一家文创商店用12000元从厂家共采购了180个A款和B款“吉祥马”公仔，已知每个A款公仔的进价为40元，每个B款公仔的进价为80元． (1)求该商店分别采购了A款公仔与B款公仔各多少件？ (2)若每个A款公仔的标价是其进价的倍，每个B款公仔的标价为130元．元旦期间，商店对两款公仔进行优惠促销活动：A款公仔每件降价元，B款公仔全部打折出售．最终这180件A款和B款公仔全部售完，商店总计获得利润3120元，求的值． 47．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐单数超过40单的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是小刚这一周的送餐单数： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐单数 0 (1)求小刚这一周一共送餐多少单； (2)若小刚的收入为每单元，小刚想用这周的总收入买一台标价为2400元的平板电脑，这款平板电脑在商场的售价为标价的，在实际购买时，小刚幸运地抢到了一张180元的消费优惠券．小刚用这周的总收入买下这款平板电脑后，还剩120元，请求出的值． 48．列一元一次方程解应用题： 冬日街头雪地靴热销，某鞋店上新了两款长、短不同的雪地靴．已知每双长款雪地靴的售价为700元，利润率为；每双短款雪地靴的进价为450元，利润为50元． (1)每双长款雪地靴的进价为______元，每双短款雪地靴的售价为______元； (2)若该鞋店第一次用12万元购进两款雪地靴，其中长款雪地靴的数量比短款雪地靴的数量多，求该鞋店购进长款雪地靴和短款雪地靴各多少双？ (3)在（2）的条件下，该鞋店对两款雪地靴进行第二次采购，相较于第一次采购，短款雪地靴的进价增加了10元，数量增加了双，售价增加了60元；长款雪地靴的进价减少了m元，数量和售价均不变；销售一段时间后，为了回馈消费者，该鞋店进行打折促销，规定：同时购买一双短款雪地靴和一双长款雪地靴可打八折，按照打折的销售方式该鞋店共售出了100双雪地靴；最终第二次购进的所有雪地靴销售一空．若第二次购进的两款雪地靴总共获利，求m的值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $