5.3 实际问题与一元一次方程 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按工程、比例分配、配套问题分类，通过“设元—找等量关系—列方程”系统提炼解题方法，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |工程问题|6题（含交替工作变式）|工作总量=效率×时间，间接设元法|从实际工程情境抽象等量关系，建立方程模型| |比例分配问题|6题（含方案设计）|按比例设元，总量关系列方程|通过比例关系转化为数学问题，培养抽象能力| |配套问题|6题（含人员分配）|配套比例建立等量关系，直接设元|依据产品配套比构建方程，强化应用意识|

5.3 实际问题与一元一次方程  题型分类解答题专题训练 一、工程问题 1．人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 2．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 3．一项工程，甲队单独做40天完成，乙队单独做60天完成，甲乙两队合作几天后，甲队另有任务调走几天，乙继续做，所以从开工到完成任务共用了27天，甲队请假多少天？ 4．某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数． 5．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 6．有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果有墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求 (1)每个房间需要粉刷的墙面的面积是多少？ (2)求一个一级技工和一个二级技工每天粉刷的墙面各是多少？ 二、比例分配问题 7．某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5． (1)求出该班男生与女生的人数； (2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？ 8．把450棵树苗分给一中队、二中队，使两个中队分得的树苗的比是4：5，每个中队各分到树苗多少棵？ 9．某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是，共收费4800元，问这天通过收费站的三种车各是多少辆？ 10．某人将2 600元工资作了打算，购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款比为1∶3∶5∶4，请问此人打算休闲娱乐花去多少元？ 11．列方程解应用题： （1）五四前夕，上极团委发给某校团委电影票240张，校团委决定初一、初二、初三三个年级按的比例分配电影票．问每个年级各能分到电影票多少张？ （2）某篮球队参加篮球赛，胜一场得2分，负一场得0分，平一场得1分，该队一共赛12场，未负一场，总得20分，问该队胜了几场？ （3）随着互联网走进千家万户，在网上购买东西已经成为现代入生活的一部分．某同学想购买一款和一款手机，他发现和手机单价之和是3300元，的单价是手机单价的2倍又少300元，求该同学看中的和手机的单价各有多少元？ 12．某学校六年级学生分成甲、乙两组参加航模比赛，甲、乙两组的人数比是8：7．如果从乙组调8人到甲组，则乙组人数是甲组人数的80%．六年级参加航模比赛的一共有多少人？ 三、配套问题 13．某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套． (1)问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ (2)每套产品的利润为120元，求该车间每天获得的最大利润． 14．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由1个支架和2套脚踏板组装而成．工厂现共有33名工人，每人每天平均生产60个支架或100套脚踏板，为使每天生产的支架和脚踏板恰好配套，应安排生产支架和脚踏板的工人各多少名？ 15．某校为庆祝建校70周年，定制了校庆纪念品．已知一套纪念品由2枚纪念币和3枚定制书签组成，1枚纪念币需要花费15元，1枚定制书签需要花费10元，学校一共花费了5400元，纪念币和定制书签刚好配套．求学校定制的纪念币的数量． 16．某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 17．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 18．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据．甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据． 由题意，得， 解得， （）， 答：甲模型每小时处理60的数据，乙模型每小时处理45的数据． 2．(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 3．甲队请假5天 【分析】本题考查的是工程问题，等量关系是：工作总量工作效率工作时间.假设工作总量为1，甲乙的工作效率分别为，，乙队没有离开，从工作总量中减去乙的工作量，即得甲的工作量，就可算出甲的工作时间，用总时间减去工作时间就是请假时间. 【详解】解： （天） 答：甲队请假5天． 4．原计划每月改造的楼层数为3层 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设原计划每月改造的楼层数为x层，根据平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每月改造的楼层数为x层， 根据题意可得：， 解得：， 答：原计划每月改造的楼层数为3层． 5．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 6．(1)每一个房间的共有5 (2)每名一级技工、二级技工每天分别刷墙面， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及求代数式的值，找出等量关系式是解题的关键； （1）设每一个房间的共有，每名一级技工一天粉刷的面积每名二级技工一天粉刷的面积，列方程，即可求解； （2）由（1）代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：设每一个房间的共有，则   ， 解得：， 答∶每一个房间的共有． （2）解：， ， 答：每名一级技工、二级技工每天分别刷墙面，． 7．(1)该班男生有30人，女生有25人 (2)有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组的应用，根据题意，列出不等式组和方程是关键； （1）设男生有人，则女生有人，根据男女生的人数的和是55人，即可列方程求解． （2）设选出男生y人，则选出的女生为人，根据：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上，即可列出不等式组，从而求得y的范围，再根据y是整数，即可求得y的整数值，从而确定方案． 【详解】（1）解：设男生有人，则女生有人． 依题意得：， 解得：． ∴． 答：该班男生有30人，女生有25人． （2）设选出男生y人，则选出的女生为人． 由题意得：，解得：． ∴y的整数解为：7、8． 当时，；当时，． 答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人． 8．一中队、二中队分到树苗200棵、250棵． 【分析】根据总量是450棵树苗，是按照两个中队分得树苗的比为4：5进行分配的，先求出两个中队分得树苗的总份数，进一步求出一份树苗数的数量，最后分别求得每个中队分到树苗的棵数． 【详解】解：450÷（4+5）=50 一中队：4×50=200棵 二中队：5×50=250棵 答：一中队、二中队分到树苗200棵、250棵． 考点：比例的应用题． 9．这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆． 【分析】设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆，根据“大客车20元，大货车10元，轿车5元，共收费4800元”列出方程并解答． 【详解】解：设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆， 依题意得：， 解得， 则（辆），（辆），（辆）． 答：这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找到题中的等量关系列出方程． 10．600元 【详解】试题分析：设该家庭的购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款分别为x元，3x元，5x元，4x元,根据总钱数为2600元，列出方程解方程求得x，即可得休闲娱乐花费. 试题解析： 设该家庭的购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款分别为x元，3x元，5x元，4x元．由题意得 x＋3x＋5x＋4x＝2 600. 解得x＝200，则3x＝600. 答：此人打算休闲娱乐花费600元． 11．（1）初一年级能分48张，初二年级能分120张，初三年级能分72张；（2）胜8场；（3）手机的单价为1200元，则的单价为2100元． 【分析】（1）根据初一、初二、初三年级的票数比例为，可以设票数分别为，，，然后根据题意列方程求解即可； （2）设胜x场，根据题意列方程求解即可； （3）根据题意设手机的单价为x元，则iPad的单价为(2x-300)元，根据题意列方程求解即可； 【详解】解：（1）设初一、初二、初三年级的票数分别为，，，根据题意，得 ， 解得． 答：初一年级能分48张，初二年级能分120张，初三年级能分72张． （2）设胜x场，根据题意，得 ， 解得． 答：胜8场． （3）设手机的单价为x元，则iPad的单价为(2x-300)元，根据题意，得， 解得． 所以iPad的单价为． 答：手机的单价为1200元，则iPad的单价为2100元． 【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键； 12．360人． 【分析】原来甲、乙两组的人数比是8：7，设出甲组、乙组人数，根据人数比，求出总人数． 【详解】设甲组人，乙组人， 则，∴，解得：， 故六年级共有：（人）． 答：六年级共有360人参加航模比赛． 【点睛】根据甲、乙两组的人数比列出等式，依据等式，进行求解． 13．(1)安排25名工人加工大齿轮，60名工人生产小齿轮 (2)24000元． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，有理数的混合运算的实际应用， （1）设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“2个大齿轮和3个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可； （2）由（1）列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮．根据题意，得 解得：， ∴． 答：安排25名工人加工大齿轮，60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套； （2）解：根据题意得， （元） ∴该车间每天获得的最大利润为24000元． 14．15人生产支架，18人生产脚踏板正好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系，设人生产支架，则人生产脚踏板，根据支架总数的2倍等于脚踏板总数，列方程即可求解． 【详解】解：设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得：， 解方程得， （人）， 答：15人生产支架，18人生产脚踏板正好配套． 15．学校定制的纪念币的数量为180枚． 【分析】设学校定制的纪念币的数量为枚，书签的数量为枚．根据配套关系表示与 关系，再根据总费用表示与 关系，从而列出方程组求解． 【详解】解：设学校定制的纪念币的数量为枚，书签的数量为枚．依题意，得： 解得 答：学校定制的纪念币的数量为180枚． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用中题的配套问题。找出等量关系列方程组是解题的关键． 16．该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系． 先设应该安排x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解． 【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子． 17．(1)甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 (2)甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套，结合题意列式求解即可； （2）设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； （2）解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 18．(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $