辽宁大连育明高级中学2026-2027学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题

**基本信息** 立足高三开学检测，以集合、函数、概率统计等核心知识为载体，通过大气压强、新能源汽车等真实情境考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算（第1题）、函数性质（第3题）、概率（第9题）|结合韦恩图、函数图像辨析，考查直观想象与逻辑推理| |填空题|3题/15分|不等式恒成立（第13题）、新定义“镜像距离”（第14题）|设置创新情境，考查数学抽象与转化能力| |解答题|5题/77分|统计与回归（第15题）、数列与不等式（第16题）、导数极值（第18题）|以新能源汽车调查、乒乓球训练等真实问题为背景，综合考查数据处理、数学建模与运算求解能力|

大连育明高级中学2026-2027学年上学期高三第一次教学质量检测数学试题 一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．下列结论正确的是（   ） A．已知随机变量，则 B．已知随机变量，则 C．若利用最小二乘法得到的回归直线方程为，且，，则 D．相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的线性相关性越强 5．若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 8．若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（    ） A． B． C． D． 二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 .在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（    ） A．从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是 B．从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为 C．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 D．从中有放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 10．已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（    ）. A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C．的图象关于点对称 D． 11．设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（   ） A．集合不是“可拆等和集” B．若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个 C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集” D．若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集” 三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 . 13．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 14．已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为____________ 四 、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断的零点个数并证明. 16．随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中. 17．设数列的前n项和为，且满足：． (1)求； (2)设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 18．某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为. (1)求乙同学第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使成立，求整数的最小值. 19．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月5日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D A B C B BCD BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据集合的补集、交集运算得解. 【详解】由题意可得或， 故， 由韦恩图可知图中表示的集合为， 故选：B. 2．B 3．A 【分析】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【详解】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A 4．D 【分析】根据超几何分布的期望公式代入验证选项A；根据正态分布在均值处的对称性判断选项B；根据回归直线必过样本均值点，代入验证选项C；根据相关系数绝对值与线性相关性的关系判断选项D. 【详解】根据超几何分布的期望公式：，故A错； 正态分布，均值是对称中心，故，因此，故B错； 回归方程必过样本均值点，代入，得：，故C错. 相关系数r的绝对值范围为，绝对值越大，线性相关性越强，故D对. 故选：D. 5．A 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【详解】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A 6．B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 7．C 【分析】结合题意与对数的运算性质求解海拔高度，再判断范围即可. 【详解】设城区的压强为，四明山的压强为， 由题意得，， 两式作除法可得，解得， 对于目标点，可得，由已知得， 两式作除法可得，解得， 则 ，在内，故C正确. 故选：C 8．B 【分析】根据所给的方程的特征,令进行换元,方程转化为,画出函数 的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值. 【详解】令,所以由可得, 设,,当时, ,所以函数单调递减, 当时, ,所以函数单调递增,而,显然当时, ，当时, ，因此函数的图象如下图所示：    要想关于的方程有三个不等的实数解,且, 结合函数图象可知,只需关于的方程有两个不相等的实数根,且, , , . 故选B. 【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题. 9．BCD 【分析】利用条件概率公式求出概率判断AD；利用二项分布的方差公式计算判断B；利用全概率公式求出概率判断C得解. 【详解】对于A，设所选的2个球中至少有1个是红球为事件，所选的2个球都是红球为事件， 则所求的概率为，故A错误； 对于B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，则每次取到红球的概率为， 则取到红球的次数，因此取到红球次数的方差为，故B正确； 对于C，记第次摸到红球的事件为，第1次摸到白球的事件为， 则， 由全概率公式得第二次取到红球的概率为： ，故C正确； 对于D，从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，此时袋中只有3个红球和2个白球， 因此第二次再次取到红球的概率为，故D正确. 故选：BCD. 10．BC 【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对. 【详解】对于C，由①，得， 因为，所以，故②， ①＋②，得，所以的图象关于点对称， 且，故C正确； 对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数， 所以， 所以， 故，所以的周期为4， 在中，令，得， 所以， 结合的周期性得，，， 所以，故D错误； 对于A，①－②，得， 所以， 所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误； 对于B，由得， 因为是奇函数，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故B正确. 故选：BC. 11．ABD 【分析】根据已知可知元素构成一个等比数列，计算可得.然后根据分类，即可判断A项；列举法即可判断B项；将中所有元素同时除以后可得，然后根据等比数列前项和公式计算，然后根据分类，即可判断C项；根据等差数列的性质，可推得，，共有组（剩余元素为），从中剔除之后，从剩余的数据中选出组分配到中.结合公差，可得出，也可分为两组，即可判断D项. 【详解】对于A项，构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列， 且. 所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求. 综上，集合不是“可拆等和集”，故A正确； 对于B项，若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得， 此时因集合已含有元素2，故舍去； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得 若，则由“可拆等和集”的定义，有. 综上可知：可取，，，，，共6个值，故B正确； 对于C项，将中所有元素同时除以后可得， 根据等比数列前项和公式，可得. 因为，所以，，所以有. 所以，当时，中所有元素之和也小于， 不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足. 综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，故C错误； 对于D项，易知集合中的元素个数为，， 根据等差数列的性质可知，，， 共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组. 从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中； 又，则， 而， 不妨将这两个元素也分到集合中，则可满足中的元素之和相等.故D正确. 故选：ABD. 13． 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 14. 15．(1) (2)3个；证明如下： 当时，. 因为的图象关于中心对称， 所以只需考虑时，的零点个数. ， 当时，. 令， 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以存在唯一，使得. 所以当时，，即在上单调递增. 当时，，即在上单调递减. 所以在上没有零点， 又， 所以存在唯一实数使得，即在上有唯一零点， 由（1）知. 所以时，有三个零点：. 【分析】（1）先求得的定义域为，并证得的图像关于中心对称，再确定当时的符号，进而根据对称性得的解集； （2）先通过导数分析的单调性，并根据零点存在性定理确定在上有唯一零点，再根据的图像关于中心对称及，即可得到f（x）的零点个数. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 又 ， 所以函数的图像关于中心对称，且. 因为， 当时， ，所以. 故当时，， 即不等式的解集为. （2）略 16．(1) 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关， (2)y与x线性相关性较强 【分析】（1）根据题中数据补全列联表即可：再由表中数据以及公式进行计算求解即可； （2）根据样本相关系数公式计算可得答案. 【详解】（1）补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 则， 故有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）因为，， 所以，又，，， 所以， 故y与x线性相关性较强. 17．(1) (2)（i）；（ⅱ） 【分析】（1）应用及累加法计算得出通项公式； （2）（ⅰ）应用累乘法得出通项应用错位相减计算求和；（ⅱ）先根据作商计算得出数列的单调性得出数列的最小值，结合最值计算求参. 【详解】（1）当时， 当时，，即， 记，则． 由累加得，是也适合， 故； （2）（i）由题，由累乘得， ① ② ①-②得， ； （ⅱ）， 记． ， 当时，，当时，， 所以，故， ，数列单调递增，所以， 于是只需，得，所以最大值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由题意得时，，化简变形后可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求出； （3）由题意得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而可求得答案. 【详解】（1）由题意甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为； （2）由已知时，， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以； （3），即，令，则， 因为和在上递减， 所以在上递减， 因为，所以时，，则在上递减， 显然，因此要求的最小值，即求的最大值， 又，为奇数时，， 为偶数时，，且在为偶数时，是单调递减的，， 所以是中的最大值， 所以，又在上是减函数， 所以，而，故 所以， 所以满足的整数的最小值为. 19．(1)在和上单调递增，在上单调递减； (2). 【分析】（1）时，，利用导数研究单调性即可； （2）令，可得是关于的方程的两个实根，易得，，化简 ①.令，①式化为，设，利用导数求其最小值即可. 【详解】（1）时，， ， 令，可得或， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）， 令，可得. 由题意可得，是关于的方程的两个实根， 所以. 由，有， 所以. 将代入上式，得， 同理可得. 所以 ①. 令，①式化为， 设，即， 则， 记，则. 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以. 所以，在上单调递减. 又 ， 当且仅当且，即时，取到最大值，即的最大值为2. 因为在上单调递减，所以. 所以的最小值为. 【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的最值点睛： 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $