2.1-2.3 数轴、绝对值与相反数 （讲义）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学有理数核心知识，系统梳理正负数意义（相反意义的量）、有理数概念与分类（整数、分数）、数轴三要素及大小比较、绝对值与相反数性质，构建从具体实例到抽象概念再到工具应用的学习支架。 资料以知识梳理结合生活实例（如海拔、收支）培养抽象能力与数感，通过例题变式、阅读材料（如无限循环小数化分数）发展推理意识与创新意识，数轴与绝对值几何意义结合提升几何直观。课中辅助教师分层教学，课后练习助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第2章 有理数 2.1正数与负数—2.3绝对值与相反数 【新教材苏科版】 【题型1 正负数的意义】 1 【题型2 有理数的概念与分类】 2 【题型3 利用数轴比较大小】 8 【题型4 绝对值与相反数】 12 【巩固练习】 16 【题型1 正负数的意义】 知识梳理 1. 像海拔高度一样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量在日常生活中很常见. 例如：某高山山脚的温度为4℃，山顶的温度为零下6℃，分别记为4℃和_-6℃__；某人在交易市场卖牛收入40000元，买羊羔支出10000元，分别记作元和_-10000_元. 2. 像8848.66，4，，1.7这样的数是正数；像，，，这样的数是负数. 3. 0既不是正数，也不是_负数_； 4. “+”读作“_正_”，正号通常不写；“”读作“_负_”，不能省略. 【例1】在，0，，1.53这四个数中，负数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.53 【答案】C 【变式1-1】若海平面以上1320米记作+1320米，则海平面以下180米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【变式1-2】如果向东走2m，记作+2m，那么向西走3m，可以记作______ . 【答案】m 【变式1-3】如果盈利3%，记作+3%，那么表示______. 【答案】亏损 【变式1-4】某气象台测得某天四个时刻的气温如图 时刻 6：00 12：00 16：00 22：00 气温/℃ 7 1 （1） 在这四个时刻，_____（填时间）气温最高，______气温最低. （2） 早上6点的气温比晚上10点的高___℃ 【答案】（1）12：00；22：00 （2）5 【题型2 有理数的概念与分类】 知识梳理 1. 正整数、零、负整数统称为_整数_。正整数和零统称为_自然数_。 2. ，都是分数，期中是正分数，是__分数.有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如4.5=__，=__. 3. 有限小数与循环小数都可以看作分数. 4. 整数和分数统称为_有理数_.有理数也可以分为_正有理数__、_零_和_负有理数_.正有理数和零属于非负数. 5. 无限不循环小数被称为无理数. 【例2】把下列各数填入相应的括号内 8，，，，0，，8.6，，2026， 正数集合：{ } 负数集合：{ } 正整数集合：{ } 负整数集合：{ } 分数集合{ } 【答案】 正数集合：{8，，8.6，2026 } 负数集合：{，-0.1，，，-17 } 正整数集合：{8，2026 } 负整数集合：{，-17 } 分数集合{，，，8.6， } 【变式2-1】在下列表格的空格中画“√” 有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数 200 0 2.14 【答案】 有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数 200 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 0 √ √ √ √ √ 2.14 √ √ 【变式2-2】下列说法中，不正确的是（ ） A. 是负数，也是分数，也是有理数 B. 不是分数 C. 0是非负数 D. 6是负数，也是整数，但不是有理数 【答案】D 【分析】 本题主要考查有理数的分类及对相关概念的辨析。解题时需逐一判断每个选项的说法是否正确，注意“非负数”包括0和正数，“有理数”包括整数和分数，而无限不循环小数（如π/2）不属于有理数。 【详解】 A.是负数，也是分数，也是有理数，说法正确； B.是无限不循环小数，不是分数（分数是有理数的一种形式），说法正确； C.0是非负数（非负数包括0和正数），说法正确； D.2026是正数，也是整数，也是有理数，不是负数，说法错误。 所以不正确的是D。 【点睛】 解答此类概念辨析题，需牢记有理数的分类：有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。注意“非负数”包括0，“”不是分数（因为是无理数）。 【变式2-3】下列说法正确的是（ ） A. 正有理数和负有理数统称为有理数 B. 有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 C. 正整数和负整数统称整数 D. 负分数一定是负有理数 【答案】D 【分析】 本题主要考查有理数的分类，需要准确掌握有理数的两种分类方式。逐一判断选项时，注意是否遗漏0或出现概念交叉重复。 【详解】 A.正有理数和负有理数统称为有理数，漏掉了0，说法错误； B.有理数包括整数和分数，分类标准应统一。“整数、自然数、零、负数和分数”中自然数包含0，且和整数等概念有交叉，说法错误； C.正整数和负整数统称整数，漏掉了0，说法错误； D.负分数一定是负有理数，说法正确（有理数包括正分数和负分数）。 所以正确的是D。 【点睛】 有理数的两种标准分类： （1）按定义分：有理数=整数（正整数、0、负整数）+分数（正分数、负分数）； （2）按符号分：有理数=正有理数+0+负有理数。 判断时注意“0”既不是正数也不是负数，但属于整数和非负数，切勿遗漏。 【变式2-4】有理数中，是有理数而不是整数的数是______，是整数而不是正数的数是_______，是负数而不是分数的数是_______，最小的自然数是______. 【答案】分数；0和负整数；负整数；0 【例3】阅读下列材料，回答问题。 材料：我们知道，有限小数可以直接写成分母为10、100、1000的分数，例如=。但无限循环小数如何化为分数呢？下面介绍一种方法： 以（即0.333…）为例： 设=0.333…， 两边同乘10，得， 用， 得，解得。 所以=。 再如=（即0.131313…）： 设， 两边同乘100，得， 用， 得，解得。 又如的循环（即0.1333…，循环节为3，非循环部分为1）： 设， 两边同乘10，得， 两边同乘100，得， 用， 得，解得。 根据以上材料，回答下列问题： （1）将化为分数； （2）将化为最简分数； （3）验证的循环是否等于，并说明理由。 【答案】 （1） （2） （3），理由见详解 【分析】 本题是一道信息题，先给出无限循环小数化为分数的方法，再让学生仿照方法解题。第（1）问是纯循环小数，第（2）问是混循环小数，第（3）问需要利用方法验证等式是否成立。 【详解】 （1）设， 两边同乘10，得， 用， 得， 解得。 （2）设，： 乘以10，得， 乘以1000，得， 用， 得， 解得， 约分：分子分母同时除以18，得。 （3）验证（即0.215215215…，循环节为215）： 设， 两边同乘1000（循环节有3位），得， 用， 得， 解得。 所以≠。 【点睛】 解答信息题，关键是先读懂材料中给出的方法，再模仿其步骤进行计算。纯循环小数化分数：分子为一个循环节，分母为 k 个 9（k 为循环节位数）； 混循环小数化分数：分子为“非循环部分 + 第一个循环节”组成的数减去“非循环部分”，分母为 k 个 9 后接 m 个 0（k 为循环节位数，m 为非循环部分位数）。验算时只需检查两边是否相等即可。 【变式3-2】阅读下面材料，回答问题。 对于一个无限循环小数，若将其化为最简分数后，分母中只含有质因数 2 和 5，则称这个循环小数为“干净小数”；若分母中含有 2 和 5 以外的质因数，则称这个循环小数为“混净小数”。 例如： ，分母2只含质因数 2，所以0.5 是“干净小数”； ，分母3含有质因数 3（不是2或5），所以是“混净小数”。 （1）判断下列各数是否为“干净小数”，并说明理由： ① ② 0.1 ③ （2）已知一个“干净小数”化为最简分数后，分子与分母的和为9，且该小数大于0.5，求这个小数。 【答案】 （1）①不是（混净小数）；②是（干净小数）；③不是（混净小数） （2）0.8（即） 【分析】 本题是一个新定义题，先给出了“干净小数”和“混净小数”的定义，再让学生应用定义去判断和求解。第（1）问需要将循环小数化为分数，再观察分母的质因数；第（2）问则利用“分母只含2和5”这一限制条件，结合分子分母的和与大小关系，通过枚举法求解。 【详解】 （1）分别判断： ①==，分母为3，含质因数3（不是2或5），所以不是“干净小数”，是“混净小数”。 ②0.1==，分母只含质因数2和5，所以0.1是“干净小数”。 ③==，分母为11，含质因数11（不是2或5），所以不是“干净小数”，是“混净小数”。 （2）设该“干净小数”化为最简分数为（，且互质）。 由题意：，且，即。 又因为它是“干净小数”，所以分母b的质因数只能是2和5。 9以内只含质因数2或5的正整数有：1、2、4、5、8。 且，需满足，与互质，且 逐一检验： ，不满足，排除； ，不满足，排除； ，不满足，排除； ，满足，，且4与5互质，分母5只含质因数5，符合； ，满足，但不成立，不符合。 【点睛】 解答新定义题，关键是先准确理解定义条件，再将数学对象（小数）转化为符合定义的形式（最简分数），最后利用定义中的限制条件（分母质因数）进行推理解题。本题第（2）问用到了枚举法，注意要同时满足“分母只含2和5”“互质”“和”“大小关系”四个条件，缺一不可。 【题型3 利用数轴比较大小】 知识梳理 1. 规定了_原点_、_方向_和_单位长度_的直线叫做数轴.有理数都可以用数轴上的点表示. 2. 在下面数轴上表示各数的点 ，2，，， 3. 在数轴上表示的两个数. 右边的数比左边的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 对于有理数a，，下列关系有且只有一种成立： ，， 4. 对于有理数a，b，c，如果，且，那么；如果，且，那么. 【例4】数学课上老师让同学画数轴，下列作图表示数轴正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式4-1】观察数轴，在到0之间的整数有______，有理数有____个.下图数轴上对应点A对应的数是______ 【答案】-2，-1；无数；1 【例5】 （1） 在数轴上的点A表示的数为，A点先向左平移3个单位，再向右平移1个单位，终点所表示的数为_____. （2） 在数轴上的点A表示的数是3，如果A在数轴上平移了2个单位得到点B，那么B点表示的数是_____. （3） 在数轴上的点A表示的数是1，B点表示的数是7，则点A与点B之间的距离是_____；C点是以A、B为端点的线段的中点，则C点表示的数是_____. 【答案】 （1） （2）1或5 （3）6；4 【分析】 本题主要考查数轴上点的平移、两点间距离及中点坐标的计算。解题关键是掌握数轴上的点向右平移变大，向左平移变小，距离用大数减小数，中点坐标为两端点坐标的平均数。 【详解】 （1）点 A 表示 ，向左平移3个单位：；再向右平移1个单位：。所以终点表示的数为 。 （2）点 A 表示 3，平移2个单位，有两种可能： 向右平移2个单位：3+2=5；向左平移2个单位：。所以 B 点表示的数是 1 或 5。 （3）点 A 表示1，点 B 表示7，两点间距离 = 。 C 为线段 AB 的中点，C 点坐标 = =4。 【点睛】 数轴上的平移规律：向右平移几个单位就加几，向左平移几个单位就减几。求距离时用右边点表示的数减去左边点表示的数（或取差的绝对值）。中点坐标公式：两点表示的数的平均数。注意“平移2个单位”未说明方向时，答案有两个。 【变式5-1】如图所示，在数轴上有三个点A、B、C，它们所表示的数分别为，，，试回答下列问题. （1） A、C两点间的距离是_____ （2） 若D点与B点距离是3，则D点表示的数为________ （3） 若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数____表示的点重合. 【答案】 （1）5 （2）-4或2 （3）0 【分析】 本题主要考查数轴上两点间距离、点的平移对称及折叠问题。数轴上两点间的距离等于它们表示的数之差的绝对值；折叠后重合的点关于折痕（中点）对称，若A与C重合，则折痕对应的点就是A、C的中点，再根据对称性求B的对称点。 【详解】 （1）A表示-3，C表示2，两点间距离=。 （2）B表示-1，与B距离为3的点有两个： ，，所以D点表示的数为-4或2。 （3）折叠后A（-3）与C（2）重合，则折痕经过线段AC的中点，中点表示的数为。 设B的对称点为E，根据对称性，B与E关于-0.5对称，则，即，解得E=0。 所以点B与数0表示的点重合。 【点睛】 数轴折叠问题本质是点的对称问题，先确定折痕对应的中点坐标，再利用对称点坐标之和等于折痕坐标的2倍来求解。注意平移未说明方向时，答案有两个；距离公式用差的绝对值，避免符号错误。 【变式5-2】已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①；②；③；④中，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题主要考查利用数轴比较有理数的大小以及有理数加减法的符号判断。由数轴上点的位置，先确定、、的正负和大小关系，再逐项判断。 【详解】 由数轴可知：。 ①：因为，所以成立，正确。 ②：由于，所以；而，故，所以错误。 ③：、均为负数，两负数之和仍为负数，故，错误。 ④：因为，，所以，正确。 综上，正确的有①④，共2个，故选B。 【点睛】 数轴比较大小：右边的数总比左边的数大。判断加减法符号时，正数加正数为正，负数加负数为负，正数减负数为正。注意表示的相反数，当为负数时，为正数。 【变式5-3】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，　　个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的　　； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是线段上一点，满足，求点Q所表示的数． 【答案】 （1）9；0.6 （2） （3） 【分析】 本题主要考查数轴与刻度尺的对应关系，以及数轴上两点间距离的计算。由刻度尺读数可确定数轴上一个长度单位对应的实际长度，再结合数轴上点A、C对应的数求出AC的长度。已知B对应刻度值即可求出AB的长度，从而得出b。第（3）问根据比例关系求线段上点的位置。 【详解】 （1）数轴上A对应，C对应4， 所以AC=（个长度单位）。 刻度尺上A对应0cm，C对应5.4cm， 所以9个长度单位=5.4cm， 1个长度单位=5.4÷9=0.6cm。 （2）刻度尺上A对应0cm，B对应1.8cm， 所以AB=1.8÷0.6=3（个长度单位）。 数轴上A表示，B在A的右侧， 所以。 （3）由（2）知AB=3个长度单位。 点Q在AB上，且AQ=2QB， 设QB=，则AQ=， AQ+QB=AB，即， 解得，所以AQ=2。 因此Q在A右侧2个长度单位处， Q所表示的数=。 【点睛】 解答数轴与刻度尺结合的题，关键是先建立数轴长度单位与刻度尺长度单位之间的比例关系。求数轴上点对应的数时，先算出两点间的距离（长度单位数），再根据左右方向进行加减。求线段上满足比例的点，可用设未知数列方程的方法，注意先确定线段总长，再按比例分配。 【题型4 绝对值与相反数】 知识梳理 1. 一般的，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作__. 任何一个数的绝对值都是_非负数_. 2. 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 0的相反数是_0_.互为相反数的两个数绝对值_相等_.即. 对于任意的数a，都有. 也就是说，一个数的相反数的相反数就是这个数的本身. 3. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 4. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数_小__ 拓展提升 绝对值的代数意义： （去绝对值法则） ； 变式结论： ①若，则； ②若，则； ③. 绝对值距离，数形 的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． 的几何意义：数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 1. ，绝对值无负数 2. 若，则且 3. 若=0，则且 ，表示P，A两点之间的距离； ，表示P，B两点之间的距离； ， 表示P到A，B两点的距离之和． 或 为1； 为－1． ． ①a，b同正，值为； ②a，b同负，值为； ③a，b异号，值为． 注：无需讨论具体数的符号． 【例6】下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．2和 B．2和− C．1和−1 D．2和2 【答案】C 【变式6-1】下列说法正确的是（ ） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．有理数的绝对值一定比0大 C．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等 D．有理数的相反数一定比0小 【答案】A 【分析】 本题主要考查绝对值与相反数的概念。逐项判断时，注意0的特殊性，以及“绝对值相等”时两个数可能相等也可能互为相反数。 【详解】 A.互为相反数的两个数绝对值相等，正确（如3和-3的绝对值都是3）。 B.有理数的绝对值一定比0大，错误（0的绝对值为0，等于0）。 C.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等，错误（如|3|=|-3|，但3≠-3，还可能互为相反数）。 D.有理数的相反数一定比0小，错误（0的相反数是0，等于0；负数的相反数为正数，大于0）。 所以正确的是A。 【点睛】 绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，所以绝对值一定非负（≥0）。互为相反数的两个数到原点的距离相等。注意“0”是特殊的有理数，常作为易错点考查。 【变式6-2】的相反数的绝对值是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【例7】数轴上点A，M，B分别表示数，那么下列运算结果一定是正数的有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查利用数轴上点的位置关系判断有理数运算结果的符号。由点A、M、B从左到右排列可知，由此可推出，。又因为AM>MB，可进一步推出，从而判断各选项。 【详解】 解：由数轴上A、M、B从左到右排列可知： 。 由，得； 由，得。 又因为AM表示点A到点M的距离，MB表示点M到点B的距离， AM， MB。 已知AM>MB，即， 移项得。 逐项判断： A.，一定是正数； B：负数减正数，一定为负数； C.：负数乘正数，一定为负数； D.，一定为负数。 所以只有A一定是正数，故选A。 【点睛】 解答此类数轴题，关键是充分利用图形中的位置关系和长度关系。由“从左到右排列”可得大小顺序，进而推出、的符号；由“AM>MB”可转化为代数不等式，即。将几何关系转化为代数不等式是解题的关键。 【变式7-1】如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【变式7-2】有理数，，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查利用数轴判断有理数的大小及符号。由数轴上各点的位置确定a、b、c的符号和大致范围，再逐项判断。 【详解】 由数轴可知：在-4和-3之间，所以；b在-2和-1之间，所以；c在0和1之间，所以；。 逐项判断： A.：因为，错误； B.：因为，错误； C.：绝对值一定大于或等于0，不可能小于0，错误； D.：因为，，异号相乘得负，所以，正确。 所以选D。 【点睛】 解答数轴题，先根据位置确定各数的符号和大小范围。注意“绝对值非负”，以及“异号相乘为负”。 【变式7-3】如图所示数轴，则数a，b，，中最小的是_______． 【答案】 【巩固练习】 1．下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10） C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54） 2．下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；③ 若，则的值为负数；④ 若ab≠0，则的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．有理数，，，，，中，一定是负数的个数是______个． 4．①若与互为相反数，则a=_________. ②已知，，，则=_____________. 5．数，，在数轴上的位置如图所示，化简____． 6. 已知a，b都是实数．若，则_______． 7．（1），求a的相反数； （2）己知与互为相反数，求的值． 8．解方程：． 9．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】 1．C 【分析】化简后，根据相反数的定义判断即可． 【详解】A．﹣|﹣7|=﹣7，+（﹣7）=﹣7，所以它们不互为相反数； B．+（﹣10）=﹣10，﹣（+10）=﹣10，所以它们不互为相反数； C．﹣（﹣43）=43，﹣（+43）=﹣43，所以它们互为相反数； D．+（﹣54）=﹣54，﹣（+54）=﹣54，所以它们不互为相反数； 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的化简，相反数的定义，熟练进行化简，灵活运用相反数的定义是解题的关键． 2．B 【分析】根据平方、相反数的定义、绝对值的性质依次判定各项后即可解答. 【详解】① 平方等于64的数是±8； ② 若a，b互为相反数，ab≠0,则； ③ 若，可得a≥0，则的值为负数或0； ④ 若ab≠0，当a>0，b>0时，=1+1=2；当a>0，b<0时，=1-1=0；当a<0，b>0时，=-1+1=0；当a<0，b<0时，=-1-1=-2；所以的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是1. 综上，正确的结论为②，故选B. 【点睛】本题考查了平方的计算、相反数的定义及绝对值的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键. 3．3 【分析】对所有数字化简进行符号辨别即可． 【详解】，，，，，不能确定 ∴以上数字中一定是负数的是，，这3个， 故答案为：3 【点睛】此题考查了有理数中正负数的辨别能力，关键是能对所有数字进行准确化简、辨别． 4．① -1② 8或2或-6 【分析】①根据互为相反数的两数和为0，列等式求解；②根据绝对值性质求出a，b值，再根据 确定，根据此关系确定a，b的值求解即可. 【详解】解：①∵与互为相反数， ∴ ∴. ②∵， ∴； ∵|， ∴或， ∴或 ∵， ∴， ∴. ∴，或，或，， ∴或或 即的值为8或2或-6 故答案为①-1；②8或2或-6 【点睛】本题考查相反数和绝对值的性质以及简单代数式求值问题，掌握绝对值的性质是解答此题的关键. 5． 【分析】由数轴上a，b，c对应的点可得，，即可得出，再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， 则，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键． 6． 【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，可得，据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 7．（1）5；（2）14 【分析】（1）利用相反数的性质解答即可； （2）根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y值，即可得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 的相反数是5； （2）与互为相反数， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了相反数，非负数的性质，解题的关键是熟知任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 8．或或 【分析】题目共有三层绝对值，然后依次去绝对值化简求解即可． 【详解】解： ∴或， ∴或或， ∴或（舍）或； 或或或． 或（舍）或或． 或或． 【点睛】题目主要考查绝对值方程的求解，将绝对值方程依次去绝对值符号然后求解是解题关键． 9．(1)12 (2)，， (3)或；8或 【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或， 由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时， ，即， ∴或， 解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 故答案为：或；8或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数 2.1正数与负数—2.3绝对值与相反数 【新教材苏科版】 【题型1 正负数的意义】 1 【题型2 有理数的概念与分类】 2 【题型3 利用数轴比较大小】 5 【题型4 绝对值与相反数】 6 【巩固练习】 8 【题型1 正负数的意义】 知识梳理 1. 像海拔高度一样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量在日常生活中很常见. 例如：某高山山脚的温度为4℃，山顶的温度为零下6℃，分别记为4℃和 ；某人在交易市场卖牛收入40000元，买羊羔支出10000元，分别记作元和 元. 2. 像8848.66，4，，1.7这样的数是正数；像，，，这样的数是负数. 3. 0既不是正数，也不是 ； 4. “+”读作“ ”，正号通常不写；“”读作“ ”，不能省略. 【例1】在，0，，1.53这四个数中，负数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.53 【变式1-1】若海平面以上1320米记作+1320米，则海平面以下180米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【变式1-2】如果向东走2m，记作+2m，那么向西走3m，可以记作______ . 【变式1-3】如果盈利3%，记作+3%，那么表示______. 【变式1-4】某气象台测得某天四个时刻的气温如图 时刻 6：00 12：00 16：00 22：00 气温/℃ 7 1 （1） 在这四个时刻，_____（填时间）气温最高，______气温最低. （2） 早上6点的气温比晚上10点的高___℃ 【题型2 有理数的概念与分类】 知识梳理 1. 正整数、零、负整数统称为 。正整数和零统称为 。 2. ，都是分数，期中是正分数，是 分数.有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如4.5= ，= . 3. 有限小数与循环小数都可以看作分数. 4. 整数和分数统称为 .有理数也可以分为 、 和 .正有理数和零属于非负数. 5. 无限不循环小数被称为 . 【例2】把下列各数填入相应的括号内 8，，，，0，，8.6，，2026， 正数集合：{ } 负数集合：{ } 正整数集合：{ } 负整数集合：{ } 分数集合{ } 【变式2-1】在下列表格的空格中画“√” 有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数 200 0 2.14 【变式2-2】下列说法中，不正确的是（ ） A. 是负数，也是分数，也是有理数 B. 不是分数 C. 0是非负数 D. 6是负数，也是整数，但不是有理数 【变式2-3】下列说法正确的是（ ） A. 正有理数和负有理数统称为有理数 B. 有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 C. 正整数和负整数统称整数 D. 负分数一定是负有理数 【变式2-4】有理数中，是有理数而不是整数的数是______，是整数而不是正数的数是_______，是负数而不是分数的数是_______，最小的自然数是______. 【例3】阅读下列材料，回答问题。 材料：我们知道，有限小数可以直接写成分母为10、100、1000的分数，例如=。但无限循环小数如何化为分数呢？下面介绍一种方法： 以（即0.333…）为例： 设=0.333…， 两边同乘10，得， 用， 得，解得。 所以=。 再如=（即0.131313…）： 设， 两边同乘100，得， 用， 得，解得。 又如的循环（即0.1333…，循环节为3，非循环部分为1）： 设， 两边同乘10，得， 两边同乘100，得， 用， 得，解得。 根据以上材料，回答下列问题： （1）将化为分数； （2）将化为最简分数； （3）验证的循环是否等于，并说明理由。 【变式3-2】阅读下面材料，回答问题。 对于一个无限循环小数，若将其化为最简分数后，分母中只含有质因数 2 和 5，则称这个循环小数为“干净小数”；若分母中含有 2 和 5 以外的质因数，则称这个循环小数为“混净小数”。 例如： ，分母2只含质因数 2，所以0.5 是“干净小数”； ，分母3含有质因数 3（不是2或5），所以是“混净小数”。 （1） 判断下列各数是否为“干净小数”，并说明理由： ① ② 0.1 ③ （2） 已知一个“干净小数”化为最简分数后，分子与分母的和为9，且该小数大于0.5，求这个小数。 【题型3 利用数轴比较大小】 知识梳理 1. 规定了 、 和 的直线叫做数轴.有理数都可以用数轴上的点表示. 2. 在下面数轴上表示各数的点 ，2，，， 3. 在数轴上表示的两个数. 右边的数比左边的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 对于有理数a，，下列关系有且只有一种成立： ，， 4. 对于有理数a，b，c，如果，且，那么；如果，且，那么. 【例4】数学课上老师让同学画数轴，下列作图表示数轴正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式4-1】观察数轴，在到0之间的整数有______，有理数有____个.下图数轴上对应点A对应的数是______ 【例5】 （1） 在数轴上的点A表示的数为，A点先向左平移3个单位，再向右平移1个单位，终点所表示的数为_____. （2） 在数轴上的点A表示的数是3，如果A在数轴上平移了2个单位得到点B，那么B点表示的数是_____. （3） 在数轴上的点A表示的数是1，B点表示的数是7，则点A与点B之间的距离是_____；C点是以A、B为端点的线段的中点，则C点表示的数是_____. 【变式5-1】如图所示，在数轴上有三个点A、B、C，它们所表示的数分别为，，，试回答下列问题. （1） A、C两点间的距离是_____ （2） 若D点与B点距离是3，则D点表示的数为________ （3） 若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数____表示的点重合. 【变式5-2】已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①；②；③；④中，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，　　个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的　　； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是线段上一点，满足，求点Q所表示的数． 【题型4 绝对值与相反数】 知识梳理 拓展提升1. 一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作 . 任何一个数的绝对值都是 . 2. 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 0的相反数是 .互为相反数的两个数绝对值 .即. 对于任意的数a，都有. 也就是说，一个数的相反数的相反数就是这个数的本身. 3. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 4. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数 . 绝对值的代数意义： （去绝对值法则） ； 变式结论： ①若，则； ②若，则； ③. 绝对值距离，数形 的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． 的几何意义：数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 1. ，绝对值无负数 2. 若，则且 3. 若=0，则且 ，表示P，A两点之间的距离； ，表示P，B两点之间的距离； ， 表示P到A，B两点的距离之和． 或 为1； 为－1． ． ①a，b同正，值为； ②a，b同负，值为； ③a，b异号，值为． 注：无需讨论具体数的符号． 【例6】下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．2和 B．2和− C．1和−1 D．2和2 【变式6-1】下列说法正确的是（ ） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．有理数的绝对值一定比0大 C．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等 D．有理数的相反数一定比0小 【变式6-2】的相反数的绝对值是（ ） A． B．3 C． D． 【例7】数轴上点A，M，B分别表示数，那么下列运算结果一定是正数的有（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ） A．1.5 B． C． D． 【变式7-2】有理数，，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图所示数轴，则数a，b，，中最小的是_______． 【巩固练习】 1．下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10） C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54） 2．下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；③ 若，则的值为负数；④ 若ab≠0，则的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．有理数，，，，，中，一定是负数的个数是______个． 4．①若与互为相反数，则a=_________. ②已知，，，则=_____________. 5．数，，在数轴上的位置如图所示，化简____． 6. 已知a，b都是实数．若，则_______． 7．（1），求a的相反数； （2）己知与互为相反数，求的值． 8．解方程：． 9．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 $