精品解析：河北省雄安新区部分校2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 2. 下列几何体中，棱的条数最多的是（ ）． A. 四棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱台 D. 四面体 3. 在中，点D在边BC上，且，则（ ）． A. B. C. D. 4. 某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是（ ）． A. 至多投中一次 B. 投中两次 C. 只有一次投中 D. 两次都没有投中 5. 已知，均是非零向量，，，与的夹角为，则（ ）． A. B. C. D. 6. 某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色． 类型 角色 侠客类 剑客、刀客 文人类 诗人、画师 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在正四棱柱中，，，点E在棱上，，过点的平面与直线交于点F，则（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 8. 某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中为定点，是动点，，，，，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若A，B，C三点共线，则 D. 若，则 10. 如图，圆柱的母线，底面圆直径，点B在底面圆的圆周上，E是BD的中点，，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4 D. 该圆柱的外接球的表面积为 11. 已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（ ）． A. 这组数据最多有4个数据大于7 B. 这组数据最多有4个数据小于7 C. 若这组数据的标准差为2，则 D. 若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________． 13. 在中，，，，P为AB上任意一点，则的最小值是__________． 14. 如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，，，若，则与平面所成角的范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z满足． （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）设四棱锥的棱长均为2． （ⅰ）求直线与直线所成角的大小； （ⅱ）求四棱锥的体积． 17. 为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了以“知识守护校园，安全伴我成长”为主题的知识竞赛．根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率分布直方图： （1）分别估计该年级①班、②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）根据竞赛成绩，将学生成绩分成A，B，C三个等级： 竞赛成绩 高于80分 60分到80分 低于60分 成绩等级 A B C 以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率． 18. 在中，D是BC上的点，且，AD平分． （1）求； （2）若，的面积为，求BC． 19. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点（整点即横纵坐标都是整数的点）列：，，，…，与：，，，…，，其中，若同时满足①两点列的起点和终点分别相同（，），②线段，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列． （1）求：，，的正交点列； （2）判断：，，，是否存在正交点列，并说明理由； （3）证明：存在无正交点列的有序整点列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. 下列几何体中，棱的条数最多的是（ ）． A. 四棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱台 D. 四面体 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得四棱锥有8条棱，三棱柱有9条棱， 四棱台有12条棱，四面体有6条棱，则棱的条数最多的是四棱台，故C正确. 3. 在中，点D在边BC上，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用平面向量的线性运算求解. 【详解】． 4. 某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是（ ）． A. 至多投中一次 B. 投中两次 C. 只有一次投中 D. 两次都没有投中 【答案】D 【解析】 【详解】连续投篮两次投中的情况如下： ①两次都投中；②只有一次投中；③两次都没有投中， 所以与事件“至少投中一次”互为对立事件的是两次都没有投中. 5. 已知，均是非零向量，，，与的夹角为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 化简得：，解得，（舍去）. 6. 某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色． 类型 角色 侠客类 剑客、刀客 文人类 诗人、画师 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】每位游客从中随机选取两个角色进行体验，样本空间中的样本点总数为6，如下： 剑客、刀客；剑客、诗人；剑客、画师；刀客、诗人；刀客、画师；诗人、画师； 所选两个角色恰好为两个类型的样本点有4个， 故所求概率为． 7. 如图，在正四棱柱中，，，点E在棱上，，过点的平面与直线交于点F，则（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为面面，面与两平面相交于，所以， 同理可得，得到四边形是平行四边形，得到， 而，可得，故， 由题意得，则，故B正确. 8. 某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中为定点，是动点，，，，，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知为定点，是动点，结合三角形性质可得， 在中． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若A，B，C三点共线，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】若，则，所以，A正确； 若，则，所以，解得，B错误； 若A，B，C三点共线，则与共线，所以，解得，C正确； 因为，所以，则，解得，D错误． 10. 如图，圆柱的母线，底面圆直径，点B在底面圆的圆周上，E是BD的中点，，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4 D. 该圆柱的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理及性质定理判断AB；根据圆柱的结构确定内切球的半径判断C；根据圆柱性质求解外接球的半径，代入球的表面积公式即可求解判断D. 【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以． 因为AC为圆柱底面圆的直径，所以． 又因为，平面ABD，所以平面ABD． 因为平面ABD，所以，A正确． 因为，且E是BD的中点，所以． 因为，平面BCD，所以平面BCD． 因为平面BCD，所以，B正确． 若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为圆柱高的一半为2，C错误． 该圆柱的外接球的半径为，表面积为，D正确． 11. 已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（ ）． A. 这组数据最多有4个数据大于7 B. 这组数据最多有4个数据小于7 C. 若这组数据的标准差为2，则 D. 若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过举例判断AB；利用平均数和方差公式计算判断C；根据方差公式及极差的概念即可判断D. 【详解】由题意，，， 所以这组数据最多有3个数据大于7，A错误． 若5个数据都小于7，则平均数不为7，而0，1，2，3，29的平均数为7， 所以这组数据最多有4个数据小于7，B正确． 平均数，设方差为，则， 解得，C正确． ， 要使得5个平方数之和为20，且满足题意，这5个平方数只能为9，1，0，1，9， 即这组数据为4，6，7，8，10， 故这组数据的极差为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________． 【答案】150 【解析】 【详解】由题意抽样比为 抽取的样本中浅海层的样本份数为． 13. 在中，，，，P为AB上任意一点，则的最小值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合垂线段最短性质进行求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 则． 因为，所以． 所以的最小值是. 14. 如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，，，若，则与平面所成角的范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，则，根据面面垂直的性质定理可得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面，因此过作平面的垂线，垂足在两平面的交线上，所以与平面所成的角即直线与所成的角．在矩形中，可求得，由此得，，从而求得直线与所成角的范围. 【详解】取的中点E，连接，则. 连接， 则，且， 所以四边形为平行四边形. 又正三棱柱中，平面， 且平面， 所以平面平面. 因为平面，且平面平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以， 所以四边形为矩形． 设． 因为平面平面，平面平面， 所以过作平面的垂线，垂足在上， 所以与平面所成的角即直线与AE所成的角． 在矩形中，． 因为，所以， 所以，， 所以直线与所成角的范围为， 即与平面所成角的范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z满足． （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，则． 【小问2详解】 ． 因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，解得． 故m的取值范围为． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）设四棱锥的棱长均为2． （ⅰ）求直线与直线所成角的大小； （ⅱ）求四棱锥的体积． 【答案】（1）方法一：如图1所示，取的中点，连接，. 在中，为中位线，所以. 因为平面，平面，所以平面． 在中，为中位线，所以． 在正方形中，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 方法二：如图2所示，取的中点，连接，． 在中，为中位线，所以，． 在正方形中，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）题：考查线面平行的证明.借助三角形中位线构造空间平行线，有两种解题路径：一是证两组相交直线分别平行于目标平面，由面面平行推导出线面平行；二是构造平行四边形得到线线平行，进一步证明线面平行. （2）（ⅰ）题：考查异面直线所成角.利用平行关系平移异面直线，把空间异面角转化为相交直线夹角，再通过解三角形（余弦定理）计算角度大小. （2）（ⅱ）题：考查计算正四棱锥体积.先确定正四棱锥底面中心，利用勾股定理求出锥体的高，再求出底面积，利用锥体积公式求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 方法一：（ⅰ）如图3所示，因为，所以（或其补角）为直线与直线所成的角．连接，. 记，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 因为四棱锥的棱长均为2，所以面，得，所以， 因为为的中点，所以为的中点. 在正方形中，所以，所以为的中点， 得，,，，，，． 又，， 所以直线与直线所成角的大小为． （ⅱ）四棱锥的体积为：. 方法二：（ⅰ）如图2所示，在正方形中，， 结合（1）可得，为直线与直线所成的角． 由为等边三角形，易得， 所以直线与直线所成角的大小为． （ⅱ）如图4所示，连接，，记，连接， 则为四棱锥的高，且， 故四棱锥的体积为． 【点睛】方法归纳： （1）题：证明线面平行常用两种思路：①线线平行线面平行；②面面平行线面平行；三角形中位线、平行四边形是立体几何构造平行线常用的工具. （2）（ⅰ）题：异面直线所成角解题步骤：平移直线、定位夹角、证明该角为异面直线所成角、解三角形求值；异面直线所成角取值范围为. （2）（ⅱ）题：棱锥体积公式；正四棱锥的高是顶点向底面正方形中心所作垂线，用侧棱、底面半对角线，勾股定理求高. 易错归纳： （1）题：证明不能遗漏关键条件：直线平面、直线平面；使用面面平行判定定理时，不能漏写两条直线相交. （2）（ⅰ）题：若解出三角形内角为钝角，要取其补角作为异面直线所成角. （2）（ⅱ）题：误把侧棱长直接当作棱锥的高代入计算. 17. 为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了以“知识守护校园，安全伴我成长”为主题的知识竞赛．根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率分布直方图： （1）分别估计该年级①班、②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）根据竞赛成绩，将学生成绩分成A，B，C三个等级： 竞赛成绩 高于80分 60分到80分 低于60分 成绩等级 A B C 以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率． 【答案】（1）65.5；75 （2）0.1725 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算各班平均分； （2）按照成绩等级讨论，根据独立事件乘法概率公式及互斥事件加法概率公式求解即可. 【小问1详解】 ①班竞赛成绩的平均分为 ． ②班竞赛成绩的平均分为． 【小问2详解】 从①班抽的人的成绩等级为A，B，C的概率分别为0.15，0.5，0.35． 从②班抽的人的成绩等级为A，B，C的概率分别为0.35，0.5，0.15． 从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的情况分两种： 从①班抽的人的成绩等级为B，从②班抽的人的成绩等级为C， 其概率为； 从①班抽的人的成绩等级为A，从②班抽的人的成绩等级为B或C， 其概率为． 所以从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率为． 18. 在中，D是BC上的点，且，AD平分． （1）求； （2）若，的面积为，求BC． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用以及面积公式得出，再利用正弦定理求出； （2）在和中利用余弦定理得出，再结合面积得出，即可求出，最后代入计算. 【小问1详解】 因为，所以． 因为AD平分，所以，即． 因为，， 所以，即． 由正弦定理可得． 【小问2详解】 在和中，由余弦定理得， 因为，，， 所以，得． 则，得． 则，所以，， 则，，． 19. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点（整点即横纵坐标都是整数的点）列：，，，…，与：，，，…，，其中，若同时满足①两点列的起点和终点分别相同（，），②线段，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列． （1）求：，，的正交点列； （2）判断：，，，是否存在正交点列，并说明理由； （3）证明：存在无正交点列的有序整点列． 【答案】（1）：，，． （2）解：由题可得，，， ． 假设：，，，是：，，，的正交点列． 因为， 所以可设，，，， 则． 因为与相同，与相同，所以， 所以，即． 因为，，，是整点列，所以，，2，3，所以方程组不成立， 所以：，，，不存在正交点列． （3）证明：假设：，，，，是：，，，，的正交点列． 设，，2，3，4，则， ， ． 因为与相同，与相同，所以， 则． 取，，，， 为奇数时，，为偶数时，，，3，4， 则，． 因为：，，，，是有序整点列，所以，，2，3，4， 所以是3的倍数，则是3的倍数，等式不成立， 所以存在无正交点列的有序整点列． 【解析】 【分析】（1）通过定义确定起始点后再通过垂直关系判断. （2）通过垂直关系假设出向量，后利用向量的加法计算，通过起始点相同的性质列出等式证明存在性. （3）与第（2）题同理，通过列出等式计算. 【小问1详解】 设点列，，的正交点列是，，． 由正交点列的定义可知，． 设，，，，． 由正交点列的定义可知，， 即，解得， 所以点列：，，的正交点列是 ：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $