25.2 一元二次方程的解法（讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法及根的判别式，构建从基础解法原理到方法选择策略的完整学习支架，含配套图示辅助理解。 该资料以分层设计为特色，考点突破夯实知识根基，题型探究通过例题与变式强化应用，分层通关（基础、提升、培优）适配不同学情。通过配方法求最值培养抽象能力，根的判别式求参数训练推理意识，换元法转化方程渗透模型观念，课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺。

25.2 一元二次方程的解法 目录 Part1考点突破 考点1：直接开平方法与配方法 考点2：公式法与根的判别式 考点3：因式分解法 考点4：换元法与解一元二次方程的方法选择 Part2 题型探究 题型1：直接开平方法与配方法解方程 题型2：配方法的应用 题型3：根的判别式与求参数 题型4：公式法解一元二次方程 题型5：因式分解法解一元二次方程 题型6：换元法与方法选择 Part3 分层通关 【考点1：直接开平方法与配方法】 1、直接开平方法 对于形如x²＝p（p≥0）的方程，两边直接开平方得x＝±√p，从而求得方程的根。当p＜0时，方程无实数根。对于(ax＋b)²＝p（p≥0）型方程，同样可用直接开平方法求解。 2、配方法的定义 通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法。其核心是将方程化为(x＋m)²＝n的形式，再用直接开平方法求解。 3、配方法的步骤 ①化二次项系数为1（方程两边同除以二次项系数）；②移项（常数项移到方程右边）；③配方（方程两边同加一次项系数一半的平方）；④写成完全平方式；⑤直接开平方求解。 4、配方法的应用 配方法不仅用于解方程，还可用于求代数式的最值、证明代数式的正负性、比较大小等。利用完全平方的非负性是关键。 【考点2：公式法与根的判别式】 1、根的判别式 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b²－4ac。当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根。 2、求根公式 当Δ≥0时，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 3、公式法的步骤 ①将方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0，确定a、b、c的值；②计算判别式Δ＝b²－4ac；③当Δ≥0时，代入求根公式求解；当Δ＜0时，方程无实数根。 【考点3：因式分解法】 1、因式分解法的定义 通过因式分解，将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次求解的方法叫做因式分解法。 2、常用因式分解方法 ①提公因式法；②公式法（平方差公式、完全平方公式）；③十字相乘法。根据方程特点选择合适的方法。 3、因式分解法的步骤 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 【考点4：换元法与解一元二次方程的方法选择】 1、换元法 当方程中含有重复的代数式时，可设该代数式为新未知数y，将原方程转化为关于y的一元二次方程，求解后再代回求原未知数。换元法体现了整体代换的数学思想。 2、方法选择策略 ①若方程可直接化为x²＝p或(ax＋b)²＝p的形式，优先用直接开平方法；②若方程易因式分解，优先用因式分解法；③其他情况可用公式法（万能方法）；④配方法是基础方法，也是公式法推导的基础。 3、解一元二次方程的基本思想 解一元二次方程的基本思想是"降次"——将二次方程转化为一次方程。直接开平方、因式分解、配方法、公式法都是实现降次的手段。 【题型1：直接开平方法与配方法解方程】 【例1】方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 【变式1】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0． 【答案】x1，x2． 【解答】解：4（x﹣3）2﹣25＝0， 4（x﹣3）2＝25， （x﹣3）2， ∴x﹣3＝±， ∴x1，x2． 【变式2】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 【变式3】方程经过配方可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得，整理得． 【变式4】方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 【题型2：配方法的应用】 【例2】代数式的值（ ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 【变式1】多项式的最小值为（ ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当,时，多项式取最小值3， 故选C． 【变式2】若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将代数式配方后，即求出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 【题型3：根的判别式与求参数】 【例3】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 【变式1】下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 【变式2】下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项： A选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； B选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； C选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 【变式3】若关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则m的值为（ ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式的值为0，代入系数计算即可求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，当方程有两个相等实数根时，根的判别式， ∵ 原方程 是一元二次方程，且有两个相等实数根 ∴，代入得 整理得 解得． 【变式4】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 【题型4：公式法解一元二次方程】 【例4】一元二次方程的实数根是（ ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 【变式1】用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（ ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 【变式2】用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 【变式3】解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【题型5：因式分解法解一元二次方程】 【例5】用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． 【变式1】用因式分解法解方程时，因式分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C 【变式2】方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 【变式3】用适当的方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ∴ ， ∴或， 解得，． 【题型6：换元法与方法选择】 【例6】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程中的x2+x用y进行替换，就可以得到y2+y=6，移项即可得解． 【详解】把x2+x整体代换为y， y2+y=6， 即y2+y−6=0. 故选:A. 【变式1】解方程，令，则原方程变为_______． 【答案】 【分析】根据题意，将代入原方程即可求解． 【详解】解：由原方程，得 ， 将代入得，， 故答案为：． 【变式2】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 【变式3】选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ． （2） ， ， 或， ． 【基础通关练】 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 2．关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 3．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 4．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 5．已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 6．已知，那么式子的值为：____________． 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握用换元法解一元二次方程是解题的关键． 设，得到，解方程得或，即可得到答案． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ， 或， 或， 或 故答案为：或 ． 【提升通关练】 1．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 2．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 4．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 5．一元二次方程配方，得，则是________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【详解】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 6．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 7．若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 8．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____． 【答案】或 【分析】首先对因式分解得，然后可以求出x与y的关系式． 【详解】解：， ， 或 或 9．新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 10．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 11．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确选择合适的方法求解． 根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 直接开平方得， ，． 【培优通关练】 1．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 2．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义得出方程，然后根据根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴有两个不相等的实数根． 3．已知是实数，且满足，则的值为（ ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 4．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可； （2）配方法解一元二次方程即可. 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 一元二次方程的解法 目录 Part1考点突破 考点1：直接开平方法与配方法 考点2：公式法与根的判别式 考点3：因式分解法 考点4：换元法与解一元二次方程的方法选择 Part2 题型探究 题型1：直接开平方法与配方法解方程 题型2：配方法的应用 题型3：根的判别式与求参数 题型4：公式法解一元二次方程 题型5：因式分解法解一元二次方程 题型6：换元法与方法选择 Part3 分层通关 【考点1：直接开平方法与配方法】 1、直接开平方法 对于形如x²＝p（p≥0）的方程，两边直接开平方得x＝±√p，从而求得方程的根。当p＜0时，方程无实数根。对于(ax＋b)²＝p（p≥0）型方程，同样可用直接开平方法求解。 2、配方法的定义 通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法。其核心是将方程化为(x＋m)²＝n的形式，再用直接开平方法求解。 3、配方法的步骤 ①化二次项系数为1（方程两边同除以二次项系数）；②移项（常数项移到方程右边）；③配方（方程两边同加一次项系数一半的平方）；④写成完全平方式；⑤直接开平方求解。 4、配方法的应用 配方法不仅用于解方程，还可用于求代数式的最值、证明代数式的正负性、比较大小等。利用完全平方的非负性是关键。 【考点2：公式法与根的判别式】 1、根的判别式 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b²－4ac。当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根。 2、求根公式 当Δ≥0时，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 3、公式法的步骤 ①将方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0，确定a、b、c的值；②计算判别式Δ＝b²－4ac；③当Δ≥0时，代入求根公式求解；当Δ＜0时，方程无实数根。 【考点3：因式分解法】 1、因式分解法的定义 通过因式分解，将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次求解的方法叫做因式分解法。 2、常用因式分解方法 ①提公因式法；②公式法（平方差公式、完全平方公式）；③十字相乘法。根据方程特点选择合适的方法。 3、因式分解法的步骤 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 【考点4：换元法与解一元二次方程的方法选择】 1、换元法 当方程中含有重复的代数式时，可设该代数式为新未知数y，将原方程转化为关于y的一元二次方程，求解后再代回求原未知数。换元法体现了整体代换的数学思想。 2、方法选择策略 ①若方程可直接化为x²＝p或(ax＋b)²＝p的形式，优先用直接开平方法；②若方程易因式分解，优先用因式分解法；③其他情况可用公式法（万能方法）；④配方法是基础方法，也是公式法推导的基础。 3、解一元二次方程的基本思想 解一元二次方程的基本思想是"降次"——将二次方程转化为一次方程。直接开平方、因式分解、配方法、公式法都是实现降次的手段。 【题型1：直接开平方法与配方法解方程】 【例1】方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 【变式1】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0． 【变式2】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式3】方程经过配方可变形为（ ） A． B． C． D． 【变式4】方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【题型2：配方法的应用】 【例2】代数式的值（ ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【变式1】多项式的最小值为（ ） A． B．1 C．3 D．2 【变式2】若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______． 【变式3】已知代数式的最小值是_________． 【题型3：根的判别式与求参数】 【例3】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【变式1】下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】若关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则m的值为（ ） A． B．2 C．4 D．8 【变式4】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型4：公式法解一元二次方程】 【例4】一元二次方程的实数根是（ ） A． B． C．， D． 【变式1】用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（ ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【变式2】用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【变式3】解下列方程：（用公式法）； 【题型5：因式分解法解一元二次方程】 【例5】用因式分解方法解方程：． 【变式1】用因式分解法解方程时，因式分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】方程的根是__________． 【变式3】用适当的方法解方程：． 【题型6：换元法与方法选择】 【例6】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A． B． C． D． 【变式1】解方程，令，则原方程变为_______． 【变式2】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式3】选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【基础通关练】 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 3．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 4．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．已知代数式的最小值是_________． 6．已知，那么式子的值为：____________． 【提升通关练】 1．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 5．一元二次方程配方，得，则是________． 6．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 7．若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 8．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____． 9．新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 10．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 11．解方程：． 【培优通关练】 1．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D．或 2．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 3．已知是实数，且满足，则的值为（ ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 4．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $