2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 分级同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一不等式解法到含参数综合应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养数学运算与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|解不等式、根与系数关系|对应基本解法，如选择1-2直接求解不等式，填空6用根与系数求参数| |中档|新定义运算、几何应用|融合新情境，如选择3定义运算转化不等式，填空8木材税实际问题建模| |提升|含参数讨论、实际应用|含参数不等式（解答9）、利润问题（解答10）及台风影响时间（附加题），培养推理与应用能力|

二次函数与一元二次方程、不等式同步练 一、选择题 1．不等式(x－1)2<x＋5的解集为(　　) A．{x|1<x<4} B．{x|－1<x<4} C．{x|－4<x<1} D．{x|－1<x<3} 2．若不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋c－1的值为(　　) A．2 B．－1 C．0 D．1 3．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙ (x＋a)<1对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．{x|10≤x≤20} B．{x|20≤x≤30} C．{x|15≤x≤30} D．{x|10≤x≤30} 5．(多选)若不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集是{x|－3≤x≤4}的子集，则实数a的取值可能是(　　) A．－3 B．2 C．－5 D．5 二、填空题 6．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则实数a＝________，实数b＝________. 7．若不等式2kx2＋kx－<0对任意实数x均成立，则k的取值范围为________. 8．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________. 三、解答题 9．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 1．不等式<2的解集为(　　) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2或x>2} 2．(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3 3．已知关于x的二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2，则实数k的取值范围为________. 4．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 5．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24)． (1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？ 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，求该码头将受到热带风暴影响的时间． 二次函数与一元二次方程、不等式同步练参考答案 一、选择题 1．不等式(x－1)2<x＋5的解集为(　　) A．{x|1<x<4} B．{x|－1<x<4} C．{x|－4<x<1} D．{x|－1<x<3} 答案　B 解析　不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0，即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以不等式的解集为{x|－1<x<4}． 2．若不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋c－1的值为(　　) A．2 B．－1 C．0 D．1 答案　C 解析　由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，由根与系数的关系，知解得b＝－1，c＝2.所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0. 3．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙ (x＋a)<1对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 答案　C 解析　∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立．∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得－<a<. 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．{x|10≤x≤20} B．{x|20≤x≤30} C．{x|15≤x≤30} D．{x|10≤x≤30} 答案　D 解析　设矩形的另一边长为y，由相似三角形的性质，得＝，整理，得y＋x＝40.又x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，将y＝40－x代入xy≥300，整理，得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.故选D. 5．(多选)若不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集是{x|－3≤x≤4}的子集，则实数a的取值可能是(　　) A．－3 B．2 C．－5 D．5 答案　AB 解析　关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，其解集是{x|－3≤x≤4}的子集，当a＝1时，不等式为(x－1)2<0，其解集为空集，符合题意；当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，应满足1<a≤4；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，应满足－3≤a<1，所以－3≤a≤4.故选AB. 二、填空题 6．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则实数a＝________，实数b＝________. 答案　－1　1 解析　由题意可知，－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根． 由根与系数的关系，得 解得a＝－1，b＝1. 7．若不等式2kx2＋kx－<0对任意实数x均成立，则k的取值范围为________. 答案　－3<k≤0 解析　当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对任意实数x均成立，则解得－3<k<0. 综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对任意实数x均成立的k的取值范围为－3<k≤0. 8．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________. 答案　3≤t≤5 解析　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400×t%＝60(8t－t2)． 令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5. 三、解答题 9．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 解　将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a. 所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}； 当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}． 10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解　(1)由题意，得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0<x<1)． 整理，得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1)． (2)要使本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有 即 所以0<x<， 所以投入成本增加的比例应在0<x<范围内． 1．不等式<2的解集为(　　) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2或x>2} 答案　A 解析　∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}． 2．(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3 答案　ABC 解析　∵关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两根．∴x1＋x2＝2，x1x2＝＝－3<－3. x2－x1＝＝＝2>4.由x2－x1>4和x1＋x2＝2可得x1<－1<3<x2.故选ABC. 3．已知关于x的二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2，则实数k的取值范围为________. 答案　－3<k<0 解析　由题意得，二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4的图象开口向上，又一个零点大于2，一个零点小于2，所以22＋2k＋k2＋k－4<0，整理，得k2＋3k<0.解得－3<k<0.所以实数k的取值范围为－3<k<0. 4．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 解　原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 则，3－2a分别为方程(2x－a－1)(x＋2a－3)＝0的两根． 由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0， 所以a<－1或a>. 若a<－1，则3－2a－＝(－a＋1)>5， 所以3－2a>， 此时不等式的解集是； 若a>，由3－2a－＝(－a＋1)<－， 所以3－2a<， 此时不等式的解集是. 综上，实数a的取值范围为a<－1或a>. 当a<－1时，原不等式的解集为；当a>时，原不等式的解集为. 5．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24)． (1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？ 解　(1)设x h后蓄水池中的存水量为y t， 则y＝400＋60x－120(0≤x≤24)， 设＝u，则u2＝6x(u∈[0,12])， 所以y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40. 因为u∈[0,12]，故当u＝6即x＝6时，ymin＝40. 即从供水开始到第6 h时，蓄水池中的存水量最少，为40 t. (2)依题意，得400＋10u2－120u＜80， 即u2－12u＋32＜0，解得4＜u＜8，所以16＜u2＜64.又u2＝6x，所以16＜6x＜64，所以＜x＜. 又－＝8，所以每天有8 h供水紧张． 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，求该码头将受到热带风暴影响的时间． 解　如图，设风暴中心最初在A处，经t h后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C. 若该码头在点B处受到热带风暴的影响，则OB≤450， 即≤450， 即≤450， 上式两边平方并化简、整理，得 4t2－120t＋1575≤0， 解得≤t≤. －＝15， 所以该码头将受到热带风暴的影响的时间为15 h. 学科网（北京）股份有限公司 $