2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学新授课同步练，聚焦二次函数与一元二次方程、不等式，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过概念辨析、性质应用到实际建模的递进路径，培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次方程根的判别式、根与系数关系|选择题1-3直接考查概念，强化运算能力| |能力提升|二次函数图像性质、不等式解集与参数范围|多选题9-11结合图像与逻辑推理，填空题12-14深化性质应用| |综合应用|含参不等式求解、实际问题建模|解答题15-16整合知识点，体现模型意识与问题解决能力|

2.3二次函数与一元二次方程、不等式【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根， 则k的取值范围是(　　) A.k> B.k<且k≠0 C.k≤且k≠0 D.k< 【答案】C 【解析】∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根， ∴k≠0且Δ＝(－1)2－4k≥0，解得k≤且k≠0. 2.关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】一元二次方程的判别式， 故方程有两个不等的实数根. 故选：A. 3.如果关于x的方程2x2－7x＋m＝0的两实数根互为倒数，那么m的值为(　　) A.   B.－   C.2   D.－2 【答案】C 【解析】设方程2x2－7x＋m＝0的两实数根分别为α，β. 根据根与导数的关系可得αβ＝， 又∵方程2x2－7x＋m＝0的两实数根互为倒数， ∴αβ＝＝1，解得m＝2. 4.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值的和是(　　) A.13 B.18 C.21 D.26 【答案】C 【解析】设y＝x2－6x＋a，如图，其图象为开口向上，对称轴为x＝3的抛物线， 根据题意可得Δ＝36－4a>0，解得a<9， 因为y≤0的解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得 解得5<a≤8，又a∈Z， 所以a＝6,7,8，所以符合条件的a的值的和是6＋7＋8＝21. 5.已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由且，得， 所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C； 又，所以排除B；只有D符合. 故选：D. 6.（2024-2025·北京高一期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设铁丝的一段长度为，(其中)，则另一段铁丝长为， 两个正方形的面积之和为， 根据题意，可得， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 7.（2025-2026·河北高一期中）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为命题“，使”是假命题， 所以它的否定“，”是真命题. 对于一元二次方程（），其判别式， 在中，，，. 由于恒成立， 即方程最多有一个解， 所以. 展开得， 则，因式分解为， 解得. 故选：B. 8.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4 【答案】C 【解析】①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（） A. B. C. D.的解集为 【答案】ABC 【解析】对于选项A： 由不等式的解集为或, 得二次函数开口向下,故,A正确. 对于选项B： 由解集知是方程的两根, 由韦达定理得, 故； 因为,所以,B正确. 对于选项C： 由且,得,C正确. 对于选项D： 由,代入, 得； 两边除以得, 即, 解得,故D错误. 答案为ABC. 10.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知命题，则命题成立的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】由得. 对于选项A对应集合是的真子集, 故是命题成立的充分不必要条件. 对于选项B对应集合是的真子集, 故是命题成立的充分不必要条件. 对于选项C对应集合是, 不是的真子集, 故不是命题成立的充分不必要条件. 对于选项D对应集合是, 不是的真子集, 故不是命题成立的充分不必要条件. 答案为AB. 11.（2025-2026·吉林高一期末）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（ ） A. 在x轴上截得的线段的长度是2 B. 与y轴交于点(0，3) C. 顶点是(－2，－2) D. 过点(3，0) 【答案】ABD 【解析】已知二次函数图象过点，对称轴为. 根据二次函数图象的对称性，与轴的两个交点关于对称轴对称， 所以另一个交点为. 在轴上截得线段长度为，故A、D正确. 由函数过点可得， 又对称轴. 联立方程组， 解得，. 则二次函数为. 二次函数顶点横坐标为， 所以顶点不可能是，C错误. 当时，，令，得，即与轴交于点，B正确. 综上，答案是ABD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高一上期中）若不等式的解集非空，则实数的取值范围是                   ． 【答案】 【解析】由时,不等式为,得, 故此时解集非空； 由时,解集为空集需且,得； 故不等式解集为空集时, 因此解集非空时实数的取值范围是. 13.（2025-2026·北京海淀高一上期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为                  的值为                   ． 【答案】；6 【解析】由是一元二次方程的两个根, 得,. 故. 14.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知正数满足，则的最大值为                   ，当且仅当                     ． 【答案】； 【解析】由得, 因为,除以得, 因为,除以得, 故, 因为,由基本不等式得,当且仅当时等号成立, 所以, 由得, 即, 解得, 又,故的最大值为,当且仅当. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 【答案】解：(1)由不等式的解集为,得和为方程的根. 由韦达定理,,故,则. (2)由,代入不等式得,由得,即,解得或. 故不等式的解集为. 16.（2024-2025·甘肃酒泉高一上期中）设. (1)当时，求的值； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】解：(1)由且,得且,故, 因此. (2)由得,故; 由,得,故; 又集合元素互异性要求,故或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根， 则k的取值范围是(　　) A.k> B.k<且k≠0 C.k≤且k≠0 D.k< 2.关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3.如果关于x的方程2x2－7x＋m＝0的两实数根互为倒数，那么m的值为(　　) A.   B.－   C.2   D.－2 4.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值的和是(　　) A.13 B.18 C.21 D.26 5.已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6.（2024-2025·北京高一期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是(　　) A. B. C. D. 7.（2025-2026·河北高一期中）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（） A. B. C. D.的解集为 10.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知命题，则命题成立的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 11.（2025-2026·吉林高一期末）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（ ） A. 在x轴上截得的线段的长度是2 B. 与y轴交于点(0，3) C. 顶点是(－2，－2) D. 过点(3，0) 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高一上期中）若不等式的解集非空，则实数的取值范围是                   ． 13.（2025-2026·北京海淀高一上期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为                  的值为                   ． 14.（2025-2026·湖南长沙高一上期中）已知正数满足，则的最大值为                   ，当且仅当                     ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 16.（2024-2025·甘肃酒泉高一上期中）设. (1)当时，求的值； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $