2.2.2 有理数的除法 第2课时 有理数的加减乘除混合运算 同步作业 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦有理数加减乘除混合运算，通过三层递进设计实现从基础运算到综合应用再到创新探究的知识巩固，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|运算顺序、0的特性、运算法则辨析|以选择、填空、基础计算题为主，强化符号规则与运算优先级| |能力提升|实际应用（行程/气温）、新定义运算、含绝对值运算|结合生活情境与程序运算，培养模型意识与分步推理能力| |拓展创新|规律探究、销售盈亏、最值分析|通过数字组合与规律推导，发展创新意识与批判性思维|

2.2.2 有理数的除法 第2课时 有理数的加减乘除混合运算 同步作业 （总分：100分 完成时间：30分钟） 一、基础达标（共7小题，满分40分） 1．【考点：有理数加减乘除混合运算的基本顺序】（4分）算式 的结果为（ ） A． B． C． D． 2．【考点：有理数混合运算中0的乘法特性】（4分）计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 3．【考点：有理数混合运算法则与运算律辨析】（4分）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．【考点：计算器操作与有理数运算式的对应】（4分）使用计算器计算时，依次按下键： 、、、、、、，所对应的运算式子是 ，计算结果为 。 5．【考点：新定义运算的基础计算】（4 分） 对有理数 规定新运算 “”：，则 。 6．【考点：有理数除法的运算误区（除法无分配律）】（8分） 计算 ，小明同学的计算过程如下： 原式 。 请你判断小明的计算过程是否正确，若不正确，请写出正确的计算过程。 7．【考点：有理数加减乘除混合运算的基础计算】（12分）计算下列各题： （1）； （2）； （3）。 二、能力提升（共6小题，满分40分） 8．【考点：有理数混合运算的实际应用（行程问题）】（6分）小林在一条南北走向的步道上由南向北行走，30分钟前，他在公园南门北面1200米处，现在他走到了公园南门南面2400米处。则他行走的平均速度是每分钟多少米？ 9．【考点：有理数混合运算的实际应用（气温变化问题）】（6分）气象观测数据显示，高度每升高1000米，气温大约降低5℃。若现在地面气温是20℃，那么7200米高空处的气温约是多少摄氏度？ 10．【考点：新定义运算的性质辨析】（4分）对任意两个有理数定义运算：。有下列四个结论：①；②；③；④若，则。 其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 11．【考点：程序型分步有理数运算】（6分）数学活动课上，小宇设计了一个运算程序：当输入有理数对时，会输出新的有理数。例如：输入时，输出。现将有理数对输入后得到有理数，再将有理数对输入后，得到的有理数为 。 12．【考点：含绝对值的有理数混合运算与简便运算】（12分）计算下列各题： （1）； （2）。 13．【考点：有理数混合运算的数字组合综合应用】（6分）盒子中装有6个小球，小球上分别标有数字：。现从盒子中任意摸出四个小球，对小球上的数字进行运算。 （1）若摸出的四个小球上分别标有，计算：； （2）若摸出的四个数字的乘积不为0，求这四个数字的和的最小值。 三、拓展创新（共3小题，满分20分） 14．【考点：有理数混合运算的规律探究】（8分）观察三角形顶点的数字运算规律，解答下列问题： （1）请根据已有的计算形式，完成下表中的空格： 图① 图② 图③ 三个顶点上三个数的积 三个顶点上三个数的和 积与和的商 （2）按照上述规律，若图④中三个顶点的数为，且积与和的商为5，请你运用有理数运算的关系求出的值。 15．【考点：有理数混合运算的实际应用（销售盈亏问题）】（6分）某水果店购进一批水果，进价为每箱30元，售价为每箱50元。如果卖不完，剩下的水果只能按每箱20元降价处理。已知本次进货的总费用为900元。 （1）若全部卖完，可盈利多少元？ （2）若实际只卖出了总箱数的，则最终是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 16．【考点：有理数混合运算的最值探究】（6分）从中任选四个数，填入算式“”的方框中，每个数只能用一次，求这个算式结果的最小值。 参考答案与逐题详细解析 一、基础达标 1．答案：B 解析：根据有理数混合运算 “先乘除、后加减” 的基本顺序，先计算乘法部分，再计算加法： 原式 。 易错点：忽略符号规则误判乘法结果，或违反运算顺序先算加法。 核心知识点：有理数加减乘除混合运算的运算优先级。 2．答案：A 解析：根据 “任何数与 0 相乘都得 0” 的运算特性，乘法部分结果为 0，原式简化为加减运算： 原式 。 易错点：被大数字干扰，忽略乘 0 的运算特性，错误计算乘法部分。 核心知识点：0 在有理数乘法中的运算特性。 3．答案：B 解析： A 选项：同号两数相加，取相同符号并将绝对值相加，，计算错误； B 选项：符合乘法分配律 ，运算正确； C 选项：应先算乘法再算减法，，运算顺序错误； D 选项：乘除为同级运算，需从左到右依次计算，不能随意添加括号改变运算顺序，变形错误。 易错点：混淆加减与乘除的运算优先级，错误对乘除运算使用结合律。 核心知识点：有理数混合运算法则与乘法分配律的适用条件。 4．答案：； 解析：计算器上 “” 键为负号键，对应数字，后续 “、” 对应减法运算，因此运算式子为，计算得结果为。 易错点：误将负号键理解为减号，导致运算式书写错误。 核心知识点：计算器操作与有理数运算式的对应关系。 5．答案：13 解析：根据新定义的运算规则，将、代入式子，按运算顺序计算： 易错点：去括号时符号出错，或绝对值处理错误。 核心知识点：新定义运算的本质是有理数混合运算，严格按定义代入计算即可。 6．答案：不正确，正确结果为−144 解析：除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的数再相加，必须先计算括号内的加法，再计算括号外的除法。 正确计算过程：原式= 易错点：错误类比乘法分配律，对除法使用分配律，是本节高频易错点。 核心知识点：有理数除法无分配律，混合运算遵循 “先括号内、后括号外” 的顺序。 7．答案：（1）；（2）（或 16.5）；（3） 解析：（1）先算除法，再算减法（减去负数等于加正数）： 原式 （2）乘除为同级运算，从左到右依次计算，最后算减法： 原式 （3）先算绝对值，再算乘除，最后算加法： 原式 易错点：运算顺序混乱，符号处理错误，绝对值计算失误。 核心知识点：有理数加减乘除混合运算的标准运算流程。 二、能力提升 8．答案：120 米 / 分钟 解析：以公园南门为原点，向北为正方向，则初始位置为米，当前位置为米。 行走的总路程为位置差的绝对值： 米 平均速度 = 总路程 ÷ 时间 = 米 / 分钟。 易错点：只计算单侧距离，忽略方向变化导致总路程计算错误。 核心知识点：有理数运算在行程问题中的应用，路程、速度、时间的数量关系。 9．答案： 解析：先计算 7200 米高度对应的气温下降值，再用地面温度减去下降值： 气温下降值 高空气温 易错点：忘记用地面温度减去下降值，或单位换算错误。 核心知识点：有理数混合运算在气温垂直变化问题中的应用。 10．答案：B 解析：根据定义逐一验证结论： ① ，故①错误； ② ，故②正确； ③ 由加法和乘法的交换律可知， 与 的绝对值相等（互为相反数的两个数绝对值相等），因此，故③正确； ④ 由得，则或，即或，不一定，故④错误。 综上，②③正确。 易错点：忽略绝对值的多解性，认为绝对值相等则内部式子一定相等。 核心知识点：新定义运算的性质推导，结合绝对值、运算律进行分析。 11．答案：15 解析：分两步代入计算： 第一步：输入，计算： 第二步：输入，计算最终结果： 原式 易错点：混淆和的位置，错误计算绝对值；第一步出错导致第二步连锁错误。 核心知识点：程序型运算的本质是分步有理数混合运算。 12．答案：（1）；（2） 解析：（1）先计算绝对值内的减法，再将除法转化为乘法，从左到右约分计算： 原式= 易错点：绝对值符号处理错误，除法变乘法时符号出错，分配律漏乘项。 核心知识点：含绝对值的有理数混合运算与乘法分配律的灵活应用。 13．答案：（1）；（2） 解析：（1）按照先乘除后加减的顺序计算： 原式 （2）乘积不为 0 说明四个数字中不含 0，需从中选取 4 个数字。要使和最小，应选择数值最小的四个数：， 和为 。 易错点：忽略 “乘积不为 0” 的条件，错误包含数字 0；选择数字时未优先选负数。 核心知识点：有理数乘法法则与加法的最值分析。 三、拓展创新 14．答案：（1）图②：；图③：；（2） 解析：（1）按照 “积 ÷ 和” 的规律计算： 图②积与和的商： 图③积与和的商： （2）根据规律 “积 ÷ 和 = 商”，可得 “积 = 商 × 和”，用有理数运算关系推导： 三个数的积： 三个数的和： 根据运算关系： 计算得：，即，解得。 易错点：计算商时符号出错；混淆被除数和除数的位置；移项计算时符号错误。 核心知识点：有理数混合运算的规律探究，运用四则运算的互逆关系求解。 15．答案：（1）盈利 600 元；（2）利 300 元 解析：先计算进货总箱数： 箱。 （1）全部卖完的总收入： 元 盈利额 = 总收入 - 总成本 = 元。 （2）卖出箱数： 箱，剩余箱数： 箱 总收入 = 正常卖出收入 + 降价处理收入 = 元 盈利额 = 元，最终盈利 300 元。 易错点：误将总收入当作盈利，忘记减去总成本；剩余箱数计算错误。 核心知识点：有理数混合运算在销售盈亏问题中的实际应用。 16．答案：（或） 解析：要使算式结果最小，需同时满足：除法部分结果尽可能小（负数且绝对值大），乘法部分结果尽可能大（减去的数越大，整体值越小）。 乘法部分：选择同号且绝对值最大的两个数，乘积最大。可选或，因此最大乘积为 40，选用数字 8 和 5。 除法部分：从剩余数字中选两个数，使商最小。商为负数且绝对值越大值越小，其中是最小的商。 整体最小值：。 易错点：误认为负数绝对值越大值越大，导致最值判断错误；遗漏除法的最优组合。 核心知识点：有理数混合运算的最值分析，结合正负性判断极值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $