2.2 基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理基本不等式定义、变形形式，基本不等式链（调和、几何、算术、平方平均数关系）及最值定理（和定积最大、积定和最小及“一正二定三相等”条件），构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，涵盖证明不等关系、求最值、解实际应用题，求最值部分提炼常数代换等方法。通过《几何原本》无字证明培养推理意识，结合汽车加油方案等实际问题引导用数学眼光观察，助力课中教学与课后查漏补缺。

§2.2 基本不等式 目录 题型1：由基本不等式证明不等关系 2 题型2：利用基本不等式求最值 3 题型3：利用基本不等式解实际应用题 5 1. 基本不等式 若，则，当且仅当时，等号成立. 变形：①；②. 2. 基本不等式链 若，则，当且仅当时，等号成立. (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数) 变形及推广：①；②. 3. 最值定理 已知都是正数， （1） 若(定值)，则当时，积有最大值.(和定积最大) （2） 若(定值)，则当时，和有最小值.(积定和最小) 注意使用条件：一正（各数为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。 题型1：由基本不等式证明不等关系 【例1.1.】 下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【例1.2.】 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【例1.3.】 已知实数满足，若，求证：. 【例1.4.】 已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【例1.5.】 对任意实数，.求证： 【例1.6.】 已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 题型2：利用基本不等式求最值 方法提炼 利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。 (1) 若求和的最小值，需将积配成定值。 如. (2) 若求积的最大值，需将和配成定值。 如，当且仅当时等号成立. (3) 常数代换法：将常数1用已知条件表示，再使用基本不等式。 (4) 乘“1”法：将表达式乘以 （即某个和为定值的式子）后展开。 ①形如“已知(为常数),求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值； ②形如，可以先同除，化为的形式； ③对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 (5) 分离常数法 如，的最值求解，设,转化为的最值模型. (6) 代入消元法 对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。 【例2.1.】 的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【例2.2.】 设，则的最小值为__________． 【例2.3.】 若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【例2.4.】 （多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【例2.5.】 已知，，则的最小值为__________． 【例2.6.】 已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2.8.】 函数(）的最大值为______． 【例2.9.】 已知，则的最小值为_____． 题型3：利用基本不等式解实际应用题 方法提炼 实际优化问题步骤：(1)设变量，建立目标函数,在解题过程中尽量向模型上靠拢。；(2)确定变量取值范围；(3)利用基本不等式求最值；(4)验证等号条件是否满足；(5)回答实际问题。 【例3.1.】 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【例3.2.】 在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【例3.3.】 某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【例3.4.】 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.2 基本不等式 目录 题型1：由基本不等式证明不等关系 2 题型2：利用基本不等式求最值 7 题型3：利用基本不等式解实际应用题 12 1. 基本不等式 若，则，当且仅当时，等号成立. 变形：①；②. 2. 基本不等式链 若，则，当且仅当时，等号成立. (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数) 变形及推广：①；②. 3. 最值定理 已知都是正数， （1） 若(定值)，则当时，积有最大值.(和定积最大) （2） 若(定值)，则当时，和有最小值.(积定和最小) 注意使用条件：一正（各数为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。 题型1：由基本不等式证明不等关系 【例1.1.】 下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值 【分析】对A，根据完全平方公式即可判断；对B，举反例即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，平方后作差即可判断. 【详解】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 【例1.2.】 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式的内容及辨析 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 【例1.3.】 已知实数满足，若，求证：. 【答案】证明: 因为，所以， 因为，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 整理得，所以. 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用已知条件将和用表示，结合基本不等式建立关于的不等式，求解得出的范围，即可证明. 【详解】略. 【例1.4.】 已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、作差法证明不等式 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）略. 【例1.5.】 对任意实数，.求证： 【答案】 证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【难度】0.4 【知识点】由基本不等式证明不等关系、利用基本不等式证明不等式 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】略 【例1.6.】 已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明： 由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. (2)由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. 【难度】0.4 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得； （2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得. 【详解】（1）略； （2）证明略，7. 题型2：利用基本不等式求最值 方法提炼 利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。 (1) 若求和的最小值，需将积配成定值。 如. (2) 若求积的最大值，需将和配成定值。 如，当且仅当时等号成立. (3) 常数代换法：将常数1用已知条件表示，再使用基本不等式。 (4) 乘“1”法：将表达式乘以 （即某个和为定值的式子）后展开。 ①形如“已知(为常数),求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值； ②形如，可以先同除，化为的形式； ③对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 (5) 分离常数法 如，的最值求解，设,转化为的最值模型. (6) 代入消元法 对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。 【例2.1.】 的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】，当且仅当，即时取等. 【例2.2.】 设，则的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 【例2.3.】 若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 【例2.4.】 （多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 【例2.5.】 已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【例2.6.】 已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 【例2.7.】 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【例2.8.】 函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 【例2.9.】 已知，则的最小值为_____． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的应用、条件等式求最值 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 题型3：利用基本不等式解实际应用题 方法提炼 实际优化问题步骤：(1)设变量，建立目标函数,在解题过程中尽量向模型上靠拢。；(2)确定变量取值范围；(3)利用基本不等式求最值；(4)验证等号条件是否满足；(5)回答实际问题。 【例3.1.】 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 【例3.2.】 在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 【例3.3.】 某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 【例3.4.】 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $