13.2 与三角形有关的线段-教案-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该教案聚焦三角形三边关系、稳定性及中线、角平分线、高的核心知识点，通过“两点之间线段最短”旧知迁移，建立与三边关系的联系，形成前后知识的学习支架。 以“少讲多练”为特色，讲练比3:7，用“快算法”培养推理能力，钝角三角形高作图突破难点发展几何直观，稳定性联系实际结构渗透模型观念，分层练习与易错陷阱题助力学生巩固，提升教师教学效率与学生核心素养。

13.2 与三角形有关的线段 · 教案（少讲多练版） 年级 八年级（上册） 章节 第十三章 §13.2 课时 1 课时（40 分钟） 课型 新授课 · 少讲多练（讲 : 练 = 3 : 7） 课标条目 图形的性质——理解三角形三边关系；理解中线、角平分线、高线的概念 知识点 三边关系 / 稳定性 / 中线 / 角平分线 / 高 学情预设 七年级学过「两点之间线段最短」与「点到直线的距离」；作图工具使用不熟练，钝角三角形高易错 一、教学目标（核心素养目标） 【数学眼光 · 几何直观】借助图形直观发现「两点之间线段最短」与三边关系的联系，能在图中画出三角形的中线、角平分线和高 【数学思维 · 推理能力】由「两点之间线段最短」推理证明三边关系（任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边），会求第三边取值范围 |a-b| < c < a+b，会用「最短两边之和与最长边比较」的快算法 【数学语言 · 模型观念】把三角形的稳定性归结为三边关系的必然结果，能解释金字塔、埃菲尔铁塔等结构中三角形的应用原理 二、教学重难点 重点：三边关系定理及其应用；三种线段的作图与性质。 难点：① 第三边范围 |a-b| < c < a+b 的严格不等号；② 钝角三角形的两条高在外部。 突破策略：快算法（只比最短两边和与最长边）；作钝角三角形高时先把对边延长再作垂线。 三、教学过程（少讲多练 · 讲约 12 分钟 / 练约 28 分钟） 环节 时间 教师活动（精讲·少而精） 学生活动（多练·练为主） 环节一 情境导入 2 min 旧知迁移：两点之间线段最短 → 在 △ABC 中沿两边走比沿第三边短 → 引出三边关系。 回忆基本事实，口答「哪条路更短」。 环节二 精讲核心 10 min ① 三边关系（3min）：两边之和 > 第三边；移项得两边之差 < 第三边；合并 |a-b|<c<a+b。 ② 快算法（2min）：只比最短两边和与最长边。 ③ 稳定性（1min）：三角形形状唯一确定。 ④ 三种线段（4min）：中线（平分对边）、角平分线（平分内角）、高（垂直对边）；点明钝角三角形两条高在外部。 听讲 + 记笔记；口答快算法步骤；动手比划三种线段的位置。 环节三 例题精讲 6 min 例 1 用快算法判断能否组成三角形；例 2 求第三边范围 + 分类讨论。 看示范，标关键步骤。 环节四 多练巩固 19 min 布置 A 组基础 7 题 + B 组提高 3 题，当堂独立做，抽人板演（重点：钝角三角形高的作图）。 独立完成 A 组 → 学有余力做 B 组；板演学生画图讲解。 环节五 课堂小结 3 min 引导回顾：三边关系 + 快算法 + 三种线段。 口答小结，梳理知识结构。 四、例题与课堂练习（例题 : 习题 = 2 : 5，共约 10 道练习） 例 1（基础·三边关系判断）【教材原题】 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1) 3、4、8；(2) 5、6、11；(3) 5、6、10。 解（快算法）：(1) 3+4=7 < 8，不能；(2) 5+6=11 = 11，不能（三点共线退化）；(3) 5+6=11 > 10，能。 例 2（中难·第三边范围）【教材改编】 已知三角形两边长分别为 4 和 7，求第三边 c 的取值范围；若 c 为偶数，求 c 的值并按边判断三角形类型。 解：|7-4| < c < 7+4，即 3 < c < 11；c 为偶数，c ∈ {4, 6, 8, 10}；c=4 时三边 4、4、7 为等腰，其余为不等边。 A 组·基础练习（全员，7 题） 1. 能组成三角形的一组是（ ） A. 1、2、3 B. 4、5、10 C. 5、7、11 D. 3、9、13。 【答案】C 【解析】用快算法「较短两边之和 > 最长边」逐项判断： 　A：1 + 2 = 3，等于 3，不能；　B：4 + 5 = 9 < 10，不能； 　C：5 + 7 = 12 > 11，能；　D：3 + 9 = 12 < 13，不能。故选 C。 【易错提醒】A 项是「等于」不是「大于」，恰好三点共线，组不成三角形。 2. 三角形两边长为 2 和 5，第三边 x 的取值范围是____。 【答案】3 < x < 7 【解析】由三角形三边关系，第三边大于两边之差、小于两边之和， 　即 |5 − 2| < x < 5 + 2，得 3 < x < 7。 【易错提醒】两端都是严格不等号，x = 3 和 x = 7 都取不到。 3. 长为 4、4、7 的三条线段____（能/不能）组成三角形，它是____三角形。 【答案】能；等腰 【解析】4 + 4 = 8 > 7，能组成三角形；有两边相等（4 = 4），是等腰三角形。 4. 三角形三边长 3、x、8，x 为正整数，则 x 可取____个值。 【答案】5 【解析】由 |8 − 3| < x < 8 + 3 得 5 < x < 11，x 为正整数，可取 6、7、8、9、10，共 5 个值。 【易错提醒】边界 5 和 11 取不到（严格不等号），别算成 7 个。 5. 三角形具有____性，而四边形不具有。 【答案】稳定 【解析】三角形三条边的长度确定后，它的形状就唯一确定，具有稳定性；四边形四条边长度确定后 　形状仍可改变，不具有稳定性。生活中屋顶钢架、自行车车架都利用了三角形的稳定性。 6. 三角形的高、中线、角平分线都是____（直线/射线/线段）。 【答案】线段 【解析】它们都是一个端点在顶点、另一个端点在对边（或其延长线）上，两端都有端点，所以都是 　线段，不是直线也不是射线。 【易错提醒】说成「射线」是最常见的错——高是从顶点到垂足的那一段，不是无限延伸的。 7. 钝角三角形有____条高在三角形外部。 【答案】2 【解析】钝角三角形中，钝角所对的边（最长边）上的高在三角形内部；从两个锐角顶点向对边作高 　时，垂足落在对边的延长线上，这两条高在三角形外部。共 2 条高在外部。 【易错提醒】直角三角形也有 2 条高在边上（就是两条直角边），不要把两者记混。 B 组·提高练习（中层以上，3 题） 1. 等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成 12 和 9 两部分，求各边长。 【答案】三边长为 8、8、5 或 6、6、9 【解析】设腰长为 x、底边长为 y，取一腰中点 D 连向对角顶点，这条中线把周长分成两部分： 　一部分 = 腰 + 半腰 = x + x/2 = 3x/2；另一部分 = 底 + 半腰 = y + x/2。 　① 若 3x/2 = 12 且 y + x/2 = 9：得 x = 8，y = 5，三边 8、8、5。 　　检验：5 + 8 = 13 > 8，成立。 　② 若 3x/2 = 9 且 y + x/2 = 12：得 x = 6，y = 9，三边 6、6、9。 　　检验：6 + 6 = 12 > 9，成立。 　两类都成立，故三边长为 8、8、5 或 6、6、9。 【易错提醒】两种分法都要算，且都要回代检验三边关系。 2. △ABC 三边 a、b、c 满足 a+b=10、c=4，且均为整数，写出所有可能的三角形三边长。 【答案】三边长为 5、5、4 或 6、4、4 【解析】由 a + b = 10、c = 4，需满足 |a − b| < c，即 |a − b| < 4。设 a ≥ b 且为正整数， 　a + b = 10 的分法有 (5,5)、(6,4)、(7,3)、(8,2)、(9,1)。逐一代入检验： 　(5,5)：|5−5| = 0 < 4，三边 5、5、4，成立； 　(6,4)：|6−4| = 2 < 4，三边 6、4、4，检验 4 + 4 = 8 > 6，成立； 　(7,3)：|7−3| = 4，不小于 4（即 3 + 4 = 7，等于），不成立； 　(8,2)、(9,1)：差更大，均不成立。故只有 5、5、4 与 6、4、4 两种。 【易错提醒】必须检验 |a − b| < c；(7,3) 恰好 3 + 4 = 7，是等号，组不成。 3. 求证：三角形的一条中线把它分成面积相等的两个三角形。 【答案】见解析（证明如下） 【解析】已知：△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线。求证：S△ABD = S△ACD。 　证明：∵ AD 是 BC 边上的中线　∴ BD = DC（中线定义） 　过 A 作 AE ⊥ BC 于 E，则 AE 既是 △ABD 的高，也是 △ACD 的高（两三角形共用这条高）。 　S△ABD = ½·BD·AE，　S△ACD = ½·DC·AE 　∵ BD = DC　∴ ½·BD·AE = ½·DC·AE，即 S△ABD = S△ACD。 【点题】本结论可概括为「等底同高的两个三角形面积相等」。 五、易错陷阱题专项（课堂穿插 2 题，作业覆盖） 陷阱 1：判断能否组成三角形只验证一组不等式——错。应用快算法：只比「最短两边之和」与「最长边」。 陷阱 2：第三边范围写成 a-b < c < a+b——错。须写 |a-b| < c < a+b（差取绝对值）。 陷阱 3：高、中线、角平分线是「直线或射线」——错。它们都是线段（一个端点在顶点，一个在对边）。 陷阱 4：钝角三角形的高都在内部——错。钝角三角形有两条高在外部（垂足在对边延长线上）。 陷阱 5：忽略「严格不等号」——等于时三点共线，退化不成三角形。 六、板书设计 §13.2 与三角形有关的线段 三边关系：任意两边之和 > 第三边；任意两边之差 < 第三边 → |a-b| < c < a+b 快算法：最短两边和 > 最长边？ 稳定性：三角形形状唯一确定 中线：顶点↔对边中点（BD=DC） 角平分线：平分内角 高：顶点↔对边垂线（AD⊥BC） 钝角三角形：一条高在内、两条高在外（垂足在延长线上） 七、分层作业 A 组（基础·全员） 1. 课本习题 13.2 第 1、2 题（判断能否构成三角形、求第三边范围）。 【答案】教材原题答案见配套《教师教学用书》。本资料另配 2 道等效自编题及答案如下： 　自编 1：三角形两边长为 6 和 9，第三边 m 的取值范围是？若 m 为偶数，m 可以取哪些值？ 　　【答案】3 < m < 15；m 可取 4、6、8、10、12、14 　　【解析】由 |9 − 6| < m < 9 + 6 得 3 < m < 15；在此范围内偶数为 4、6、8、10、12、14。 　自编 2：等腰三角形一边长为 5，周长为 17，求其余两边长。 　　【答案】6、6 　　【解析】① 若 5 为底：2x + 5 = 17，x = 6，三边 6、6、5，检验 5 + 6 = 11 > 6，成立； 　　② 若 5 为腰：5 + 5 + y = 17，y = 7，三边 5、5、7，检验 5 + 5 = 10 > 7，成立。 　　故其余两边长为 6、6 或 5、7。 2. 下列长度能否组成三角形：(1) 6、8、13；(2) 2、3、6；(3) 5、5、9。 【答案】(1) 能；(2) 不能；(3) 能 【解析】用快算法「较短两边之和 > 最长边」： 　(1) 6 + 8 = 14 > 13，能；(2) 2 + 3 = 5 < 6，不能；(3) 5 + 5 = 10 > 9，能。 3. 画锐角、直角、钝角三角形各一个，分别画出它们的三条高。 【答案】锐角三角形三条高都在内部；直角三角形的两条高与两条直角边重合、斜边上的高在内部； 　钝角三角形一条高在内部、两条高在外部（垂足落在对边的延长线上） 【解析】高是从顶点向对边「所在直线」作的垂线段，垂足可以落在延长线上。 　· 锐角三角形：三条高都在形内，交于形内一点。 　· 直角三角形：两条直角边互为高，斜边上的高在形内，三条高交于直角顶点。 　· 钝角三角形：钝角所对边上的高在形内，另两条高落在对边延长线上（形外）。 【易错提醒】画钝角三角形的高时，要把对边延长，垂足画在延长线上，别画成连到钝角顶点。 B 组（提高·中层以上） 1. 等腰三角形周长 20，一边长 6，求另两边长。 【答案】7、7 或 6、8 【解析】① 若 6 是底边：2x + 6 = 20，x = 7，三边 7、7、6，检验 6 + 7 = 13 > 7，成立； 　② 若 6 是腰：6 + 6 + y = 20，y = 8，三边 6、6、8，检验 6 + 6 = 12 > 8，成立。 　两类都成立，故另两边长为 7、7 或 6、8。 2. 已知 △ABC 三边 2、3、x，x 为整数且是等腰三角形，求 x。 【答案】x = 2 或 x = 3 【解析】等腰三角形即至少有两边相等，分两类： 　① x = 2：三边为 2、3、2，检验 2 + 2 = 4 > 3，成立； 　② x = 3：三边为 2、3、3，检验 2 + 3 = 5 > 3，成立。 　故 x = 2 或 x = 3。 【易错提醒】两种情形都要检验三边关系，本题两种都成立，别只写一种。 八、教学反思（课后填写） 1.三边关系「快算法」学生是否真正掌握（而非死记三条不等式） 2.钝角三角形高在外部这一难点是否突破 3.中线 / 角平分线 / 高三种线段性质是否区分清楚 4.少讲多练的节奏与练习量是否合适 1 学科网（北京）股份有限公司 $