13.2与三角形有关的线段【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形的高、中线、角平分线的概念与性质，系统梳理其画法、交点特征（重心、垂心、内心），衔接三角形三边关系定理及稳定性应用，构建从定义理解到实际操作再到综合运用的学习支架。 资料通过12类核心题型分层设计，涵盖三边关系判断、取值范围计算及中线面积应用等，结合中考真题强化迁移能力。在钝角三角形高的画法等难点处突出几何直观，通过综合题训练推理能力，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

13.2与三角形有关的线段 学习目标与重难点 1、理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握其几何语言的描述，能区分这三种重要线段的定义差异。 2、能熟练画出任意三角形（锐角、直角、钝角）的三条高、三条中线和三条角平分线，了解它们交点的位置特征（如重心、垂心、内心）。 3、掌握三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），能利用该关系判断三条线段能否构成三角形或求边长取值范围。 4、了解三角形的稳定性及其在生活中的应用，能利用中线平分面积的性质解决简单的几何计算问题。 教学重点：三角形的高、中线、角平分线的画法与定义应用；三角形三边关系的实际应用。 教学难点： 1、钝角三角形外部高线的画法及识别（这是学生最容易出错的地方)。 2、三角形三边关系的灵活运用（特别是涉及字母参数时的取值范围讨论，以及结合绝对值化简的问题）。 3、在复杂图形中准确识别基本图形的高、中线与角平分线，并能进行简单的逻辑推理。 教材核心知识解读 知识点1 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，三角形的顶点与 对边中点 的连线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 知识点2 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点3 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 核心题型◆归纳 题型01 判断三边能不能构成三角形 题型02 求三角形的第三边的值或范围 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 题型06 三角形的稳定性的 题型07 判断三角形某一边上的高 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 题型09 等面积求三角形的边或高 题型10 三角形的中线与面积 题型11 三角形的中线与周长 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 题型解析◆精准备考 题型01 判断三边能不能构成三角形 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【答案】C 【解答】解：A、∵2+3＝5， ∴长为2，3，5的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵3+4＜8， ∴长为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵4+5＞6， ∴长为4，5，6的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵5+5＜11， ∴长为5，5，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 题型02 求三角形的第三边的值或范围 【典例1】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【解答】解：设第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 解得：1＜x＜5． 故选：B． 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　2＜m＜5　 ． 【答案】2＜m＜5． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜1+2m＜3+8， ∴5＜2m+1＜11， ∴2＜m＜5． 故答案为：2＜m＜5． 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|b﹣3|＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣3＝0， ∴a＝6，b＝3， 如果等腰三角形的底边长是6， ∵3+3＝6，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长不可能是6， 如果等腰三角形的底边长是3， ∵3+6＞6，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长是3． 故答案为：3． 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 【典例1】已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 　2c　 ． 【答案】2c． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c| ＝a﹣b+c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a﹣b+c﹣a+b+c ＝2c． 故答案为：2c． 题型06 三角形的稳定性的 【典例1】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、图形不具有稳定性，不符合题意； B、图形具有稳定性，符合题意； C、图形不具有稳定性，不符合题意； D、图形不具有稳定性，不符合题意； 故选：B． 题型07 判断三角形某一边上的高 【典例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图， ． 故选：B． 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选：D． 题型09 等面积求三角形的边或高 【典例1】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由条件可知AC⊥BC， ∴点A到线段BC的距离为线段AC的长，即为4． 故答案为：4． 题型10 三角形的中线与面积 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 题型11 三角形的中线与周长 【典例1】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝3，则BC＝6， ∴AC＝16﹣AB﹣BC＝16﹣6﹣6＝4， ∵△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD， ∴AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， 故选：A． 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【答案】D 【解答】解：A、∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴结论A正确， 故该选项不符合题意； B、∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∴结论B正确， 故该选项不符合题意； C、∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴， 即S△ABE＝S△ACE， ∴结论C正确， 故该选项不符合题意； D、∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线， ∴结论D错误， 故该选项符合题意； 故选：D． 1．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断出即可． 【详解】解：A、∵， ∴这3条线段不能组成三角形． B、∵， ∴这3条线段能组成三角形． C、∵， ∴这3条线段不能组成三角形． D、∵， ∴这3条线段不能组成三角形． 故选：B 2．以下列各组线段为三角形的边长，能组成三角形的是（　　） A．2，6，5 B．3，3，6 C．2，7，4 D．12，4，7 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．根据两条短边之和大于最长的边逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，故A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：A． 3．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 4．如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，根据，则是的高，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故选：A 5．一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 6．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 7．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 8．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③ 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 故答案为：②③． 9．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 【答案】或 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 10．将下列长度的三根小木棒首尾顺次相连，不能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系定理，只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 11．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 12．如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是关键．由三角形的高的定义容易得出结论． 【详解】解：由三角形的高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高， 故选：C． 13．下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 14．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度、其他问题(二元一次方程组的应用)、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 15．若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．根据三角形的三边关系即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 ∴ 故答案为：． 16．如图，是的中线，，则的周长比的周长大 ________ （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【知识点】根据三角形中线求长度、列代数式 【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长与的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】是的中线， ， ，，， ， 故答案为：． 17．的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值___________． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可得，即， 则符合条件的m值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 18．如图，中，，，和的角平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为________．      【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，推得，，根据等角对等边可得，，即可求解． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， 即，， 即，， 故，， 的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．已知a，b，c是△ABC的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等边三角形； (2)a＋b＋c． 【知识点】等边三角形的判定、三角形三边关系的应用、不等式的性质、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到a−b−c＜0，b−c−a＜0，c−a−b＜0，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）∵， ∴a−b＝0且b−c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， ∴a−b−c＜0，b−c−a＜0，c−a−b＜0， ∴，，， ∴原式＝b＋c−a＋a＋c−b＋a＋b−c＝a＋b＋c． 【点睛】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 20．如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 【答案】12 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形面积公式的应用，熟练掌握三角形面积公式是解决本题的关键． 根据三角形面积公式，当是高，是底时，，当是高，是底时，，由此可求解． 【详解】解：当是高，是底时，的面积为， 当是高，是底时，也可表示为， ∴． 把，，代入上式， 可得，解得． ∴的长为12． 21．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【答案】(1) (2)是“好运三角形” 【知识点】三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 22．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】求一元一次不等式的整数解、三角形三边关系的应用、一元一次不等式组的其他应用、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． （2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． （3）解：设， 由题意可得：，解得：． 链接中考 1．（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 2．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 【答案】9 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大值，即可得到三角形周长的最大值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边长，即第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为． 3．（2026·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2与三角形有关的线段 学习目标与重难点 1、理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握其几何语言的描述，能区分这三种重要线段的定义差异。 2、能熟练画出任意三角形（锐角、直角、钝角）的三条高、三条中线和三条角平分线，了解它们交点的位置特征（如重心、垂心、内心）。 3、掌握三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），能利用该关系判断三条线段能否构成三角形或求边长取值范围。 4、了解三角形的稳定性及其在生活中的应用，能利用中线平分面积的性质解决简单的几何计算问题。 教学重点：三角形的高、中线、角平分线的画法与定义应用；三角形三边关系的实际应用。 教学难点： 1、钝角三角形外部高线的画法及识别（这是学生最容易出错的地方)。 2、三角形三边关系的灵活运用（特别是涉及字母参数时的取值范围讨论，以及结合绝对值化简的问题）。 3、在复杂图形中准确识别基本图形的高、中线与角平分线，并能进行简单的逻辑推理。 教材核心知识解读 知识点1 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，三角形的顶点与 对边中点 的连线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 知识点2 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点3 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 核心题型◆归纳 题型01 判断三边能不能构成三角形 题型02 求三角形的第三边的值或范围 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 题型06 三角形的稳定性的 题型07 判断三角形某一边上的高 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 题型09 等面积求三角形的边或高 题型10 三角形的中线与面积 题型11 三角形的中线与周长 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 题型解析◆精准备考 题型01 判断三边能不能构成三角形 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 题型02 求三角形的第三边的值或范围 【典例1】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　 　 ． 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　 　 ． 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 【典例1】已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 　 　 ． 题型06 三角形的稳定性的 【典例1】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 题型07 判断三角形某一边上的高 【典例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 题型09 等面积求三角形的边或高 【典例1】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为　 　 ． 题型10 三角形的中线与面积 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 题型11 三角形的中线与周长 【典例1】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 1．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．以下列各组线段为三角形的边长，能组成三角形的是（　　） A．2，6，5 B．3，3，6 C．2，7，4 D．12，4，7 3．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 5．一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 6．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 7．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 8．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 9．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 10．将下列长度的三根小木棒首尾顺次相连，不能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 12．如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 13．下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 14．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 15．若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是_______． 16．如图，是的中线，，则的周长比的周长大 ________ （用含a，b的代数式表示）． 17．的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值___________． 18．如图，中，，，和的角平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为________．      19．已知a，b，c是△ABC的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状； (2)化简：． 20．如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 21．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 22．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 链接中考 1．（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 3．（2026·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $