专题13.5 三角形的外角（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“三角形的外角”核心知识点，系统梳理外角定义（一边与另一边延长线组成的角）及性质（等于不相邻两内角和、外角和360°），通过12个题型构建从定义识别、性质应用到与平行线、角平分线、翻折等综合运用的学习支架，衔接三角形内角和知识，逐步提升解题能力。 资料以“举一反三”为特色，涵盖实际应用（如抖空竹、五角星角度计算）、几何模型（如“8字形”求和）及规律探究，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过推理证明、方程思想发展数学思维，借助具体情境提升数学语言表达能力。课中辅助分层教学，课后助力巩固基础、查漏补缺。

专题13.5 三角形的外角（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 外角的定义与识别】 1 【题型2 应用外角性质求角度】 3 【题型3 外角性质与平行线的综合运用】 6 【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】 10 【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】 15 【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】 19 【题型7 三角形外角的实际应用】 23 【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】 26 【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】 33 【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】 41 【题型11 特定几何模型中的角度求和】 51 【题型12 内外角性质的规律探究】 55 考点1 三角形的外角 知识点 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3.三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 【题型1 外角的定义与识别】 【例1】下列关于△ABC的外角的说法正确的是（    ） A．∠AFC是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 【答案】D 【解析】略 【变式1-1】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角；根据三角形内角和知，三角形最多有一个钝角，从而最多有一个锐角，由此可确定答案． 【详解】解：由于三角形中最多只有一个钝角，否则若有两个钝角的话，根据钝角大于直角，则这两个内角的和大于，与三角形内角和为矛盾； 此内角的补角是锐角，正好是三角形的外角，故锐角最多有1个； 故选：C． 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．三角形的外角和为内角和的2倍 B．三角形的外角和为 C．三角形的外角中只有一个钝角 D．三角形的外角中可以有两个直角 【答案】A 【分析】依据三角形的内角与外角进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、三角形的外角和为内角和的2倍，故本选项正确； B、三角形的外角和为360°，不是180°，故本选项错误； C、三角形的外角中至少有两个钝角，故本选项错误； D、三角形的外角中不可以有两个直角，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和与外角和．多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． 【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角； B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角； C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角； D．∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角； 【答案】C 【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角，正确； B、∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角，正确； C、∠ABF是△ABF的一个内角，但不是△AEF的一个外角，原说法错误； D、∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫做三角形的外角是解题的关键． 【题型2 应用外角性质求角度】 【例2】如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角相等可得，由平移的性质可得，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵直线a平移后得到直线b， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，在中，，且外角，则外角的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角的性质得，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得的度数分别为，则这两根竹竿的夹角的度数是_______ ． 【答案】19 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：为的一个外角， ∴， ∵的度数分别为， ∴； 故答案为：19 【变式2-3】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，，则的度数为_____． 【答案】/37度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型3 外角性质与平行线的综合运用】 【例3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，是的反向延长线上一点，平分，若，，则①的度数为_____；②的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过G作，得，利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线解答即可． 【详解】解：如图，过G作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 【变式3-1】（25-26九年级下·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长分别交于点H，Q，过点G作，则，由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分，得，再根据平行线的性质结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：延长分别交于点H，Q，过点G作，则， 由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴与的度数都是． 【变式3-2】（2026·安徽宿州·一模）如图，是内部的一条射线，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质得到，结合三角形外角的性质，可推得，即可根据，得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， ． 【变式3-3】将北斗七星的大致位置画到纸上，分别标为，然后将顺次连接（如图所示），设恰好经过点，且在一条直线上，已知，，，． （1）的度数为________； （2）连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】（1）直接根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案； （2）延长交于，由两直线平行，同旁内角互补可得，再由三角形外角的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，延长交于， ，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】 【例4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质． 根据三角形外角的性质和角平分线的定义求出，利用三角形的内角和定理求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的性质与三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 、分别平分、， ，， ，， ， 、CE分别平分、， ， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ， 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）如图，是的内角和的平分线的交点，是的内角和的平分线的交点，同样点是的内角和的平分线的交点，若，则________． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系． 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； (3)请判断点P是否满足平分且平分，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)不能满足平分且平分 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为是解题关键． （1）连接并延长到点G，利用三角形内角和定理，三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）连接并延长交点G，根据结论（1），结合角的平分线定义解答即可． （3）根据平分且平分，则，故，故，不满足三角形内角和定理，解答即可． 【详解】（1）连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，， ∴，， 故答案为：140,50． （2）解：连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，, ∴， ∴， ∴， 故平分． （3）解：不能满足平分且平分． 若平分且平分， 则， 故， 故， 不满足三角形内角和定理， 故不能满足平分且平分． 【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】 【例5】将图（1）中的长方形纸片沿翻折得到图（2），再将图（2）中的四边形沿翻折得到图（3）．在图（3）中，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质．延长交于点M，延长至点K，延长至点P，过点F作，由折叠的性质得：，再由平行线的性质可得，然后结合三角形外角的性质，可判断①；根据，可得，由折叠的性质得：，，再由，可得，从而得到，从而得到，可判断②；根据，可得，从而得到，可判断③；根据，可得，可判断④． 【详解】解：如图，延长交于点M，延长至点K，延长至点P，过点F作， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不一定平行于，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④ 【变式5-1】在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．证明∠1+∠2=2∠EAF，可得结论． 【详解】解：如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′． ∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠FAA′+∠FA′A, ∴∠1+∠2=∠EAF+∠EA′F， ∵∠EAF=∠EA′F， ∴∠1+∠2=2∠EAF=110°， ∴∠A=55°． 故答案为：55°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明∠1+∠2=2∠EAF． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． (1)如图，若，，则__________； (2)如图，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由折叠的性质得，即得，再根据角的和差关系即可求解； （）根据可得，根据折叠的性质可得，，根据可得，通 过三角形内角和定理、三角形外角的性质、等量代换可求出，依次求出即可． 【详解】（1）解：∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】 【例6】如图，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放在锐角上，三角板的两边恰好分别经过点C，B，且点A在直线的右侧． (1)若，，求的度数； (2)请直接写出，与之间存在的数量关系． 【答案】(1)； (2)（或其变形） 【分析】本题考查了三角形的外角的性质： （1）连接，延长交于，是的外角，是的外角，，，进而可求解； （2）同（1）中过程即可求解； 熟练掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键． 【详解】（1）解：连接，延长交于，如图： 是的外角，是的外角， ，， ， 即：， ，，， ． （2）由（1）可知： ， 即， ． 【变式6-1】（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的定义和平角的定义，在中，根据三角形外角的定义可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，由题意可知， ， ， ， 故选：D． 【变式6-2】（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则______． 【答案】/15度 【分析】】把分别向两方延长交直线于点，交直线于点，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质可得，再利用平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：把分别向两方延长交直线于点，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是的一个外角， ， 故答案为： 【变式6-3】小明将一副直角三角板的直角顶点重合后按如图示摆放，其中，，，．他固定三角板，将三角板绕点C顺时针以每秒6度的速度旋转，设它的旋转时间为t秒，则在旋转过程中，当边时，______秒． 【答案】2.5或32.5 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，分两种情况根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质得出，求出旋转角度，再除以6即可得到结论． 【详解】解：情形1，如图，延长交于点， ∵ ∴ 又 ∴ ∴三角板旋转的角度为：， ∴（秒）； 情形2，如图，延长交于点， ∵ ∴ 又 ∴ ∴三角板旋转的角度为：， ∴（秒）； 故答案为：2.5或32.5 【题型7 三角形外角的实际应用】 【例7】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的定义即可求解． 【详解】解：延长，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 【答案】 /36度 【分析】设，利用三角形外角的性质将转化到与所在的三角形中，构建关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， 设与的交点为F，与的交点为G，如图所示， 则，， 在中，由三角形内角和定理得， 即，解得， 那么这个角的度数应为． 【变式7-2】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为______． 【答案】 【分析】根据三角形外角性质和平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，，， ∴， ∵， ∴， 即． 【变式7-3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合；使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则的度数为______度． 【答案】 【分析】延长，交于点，先由平行线的性质得到，再由外角的性质得到，最后再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， ∵刚好至点，，， ∴， ∵， ∴由外角的性质得， ∵平分， ∴， 在中，由三角形内角和定理得． 考点2 三角形的内角与外角的综合应用 【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】 【例8】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【答案】①三角形的内角和定理；②；③；④；⑤；⑥三角形外角的性质；； 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在中，（三角形的内角和定理） 又， 度 平分， 度． （三角形外角的性质）， 度． 【变式8-1】（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，是的高，是的角平分线，平分，与相交于点F，已知，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线、高线及直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质得到，求出，然后利用三角形内角和定理求出；利用直角三角形两锐角互余求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴． 【变式8-2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 【答案】(1)，， (2)， (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和的性质可得结论； （2）根据据角平分线的定义和三角形内角和、平行线性质转化角的关系，可得结论； （3）直线与的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论． 【详解】（1）解：当平分时，如解图1； 又∵平分， ∴，， ， ∴， ∴； 当平分时，如解图2； 又∵平分， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， （2）当平分时，，，如解图3， ∴，， ，， ∴，， ∴，即 ∴， 当平分时，， 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵，， ∴， ①当时，如解图5，则， ∵， ∴； ②当时，如解图6，点P在射线的反向延长线上，不合题意舍去， 中，； ③当时，延长交直线于H，如图7，则， ∵， ∴ 中，； 综上，的度数为或． 【变式8-3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）延长交于，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）延长交于，由平行线的性质结合对顶角相等可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），证明如下： 如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，当的延长线与交于点时，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当的延长线交于，点在上方时，延长交于， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图：当的延长线交于，点在下方时，令交于， ∵， ∴， ∵ ∴， 综上所述，与所有可能的数量关系为或或． 【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】 【例9】如图，在中，D是上一点，连接，的平分线交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由角平分线的定义可得，利用三角形外角的性质可证明结论； （2）利用（1）的结论可得，由三角形的内角和定理可求解的度数，进而求解的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式9-1】已知AD和BE相交于点C，，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），点P是线段BC上一点，连结AP． ①求证：； ②若，请直接写出的度数； (3)如图（3），若点M是射线BA上一点，作直线AD于点H，与的角平分线相交于点N，请直接写出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；②36° (3)45°或135° 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①过点P作PQ∥AB，则，可得，从而得到，即可求证；②根据AB∥DE，可得∠BAD=∠EDC，从而得到∠BAD=∠DCE，再由∠APE=∠BAD=2∠CED，可得∠EDC=∠DCE=2∠CED，然后三角形的内角和定理，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点M在点A、B之间时；当点E在点A的左侧时，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，．         ∴         ∴． （2）①证明：过点P作PQ∥AB，则 又∵         ∴         ∴ ∵         ∴ ②∵AB∥DE， ∴∠BAD=∠EDC， 又∵∠EDC=∠DCE， ∴∠BAD=∠DCE， 又∵∠APE=∠BAD=2∠CED， ∴∠EDC=∠DCE=2∠CED， ∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°， ∴5∠CED=180°， ∴∠CED=36°； （3）解：当点M在点A、B之间时，如图所示，MN与AD交于点F ∵MH⊥AD， ∴∠AHM=90°， ∴∠MAF+∠AMH=90°， ∵AB∥CD， ∴∠MAF=∠ADE， ∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N， ∴∠AMF=∠AMH，∠FDN=∠ADE=∠MAF， ∵∠AFM=∠DFN， ∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF， ∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+∠AMH， ∴∠DNM=（∠MAF+∠AMH）=×90°=45°； 当点E在点A的左侧时，设DM交直线AD于点G， ∵MH⊥AD， ∴∠AHM=90°， ∴∠MAG+∠AMH=90°， ∵AB∥CD， ∴∠MAG=∠ADE， ∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N， ∴∠HMG=∠AMH，∠GDN=∠ADE=∠MAG， ∴∠DNM=∠GDN+∠DGN =∠GDN+∠HMG+∠MHG =∠MAG+∠AMH+∠MHG =（∠MAG+∠AMH）+∠MHG =×90°+90°=135°； 综上所述，的度数为45°或135°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理以及外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的内角和定理以及外角的性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，已知是的角平分线（），于点，交的延长线于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理，垂直定义，以及角平分线性质得到，再结合三角形内角和定理，以及“8”字型，即可证明； （2）利用三角形内角和定理，以及三角形外角性质得到，再结合角平分线性质，三角形外角性质，对顶角性质进行等量代换，即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 于点， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）证明： 于点， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，垂直定义，以及角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知：在中，，是边上一点，． (1)求证：； (2)如图，交于且，求证：； (3)如图，过点作交于，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)的度数为或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，，然后通过三角形内角和定理得出，，从而求证； （）由，得，所以，，设，，则，然后通过直角三角形的性质，三角形的外角性质可得，，再由等量代换即可求解； （）由（）得，，，设，则，，，分当时，当时，当时三种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， 由（）得，， 设，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：由（）得，，， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 当时， ∴，即， ∴无解， ∴不存在； 当时， ∴，即， ∴， ∴； 当时， ∴，即， ∴， ∴； 综上可得：为等腰三角形，的度数为或． 【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】 【例10】（25-26七年级下·福建泉州·期中）【阅读材料】 如图1，点，分别在的两条边上，若和的角平分线交于点，则平分． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边中，点在边的延长线上，，点在射线上（点不与点重合），平分交射线于点． (1)求； (2)当点在射线上移动时， ①有同学猜想：在上述条件下，始终成立．该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请举出反例； ②连接，若，求的大小． 【答案】(1) (2)①成立，推理过程见解析；② 【分析】（1）根据平行线的性质，即可得出； （2）①利用是等边三角形，以及，得到，设，则，结合三角形外角的性质得到，在中，，综上，结论成立； ②分别延长，到点H，G，先证明平分，再利用阅读材料的结论平分的外角，设，由平行线的性质得出，求出，又因为是的外角有，得到，最后结合，即可得出答案． 【详解】（1）解： 是等边三角形， ∵， ∴． （2）①成立，理由如下： 平分， ， 设，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中， 又， ． ②解：分别延长，到点H，G，如图2所示： ， ， 平分， 又平分， 由阅读材料的结论得：平分的外角， ， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， 由①知，， ， ， ． 【变式10-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 【变式10-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．点C为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，值为 (3)或 【分析】本题考查三角形的综合应用，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据求解即可； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，，最后根据三角形内角和定理即可解答；（3）设根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【详解】（1）解：∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点C为三条内角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 的度数不变，值为； （3）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， 分以下4种情况讨论： ①若， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴； ③， ∴， ∴， ∴； ④， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，为或． 【变式10-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，由角平分线的定义可推出，则，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出， 则可得到；再分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【题型11 特定几何模型中的角度求和】 【例11】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 【变式11-1】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 【变式11-2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 【变式11-3】（25-26八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                         （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 【题型12 内外角性质的规律探究】 【例12】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 【答案】 【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ∴. ∴． 【变式12-1】如图，，直线被直线所截，分别平分分别平分分别平分交于点依此规律，得角，则__________度，__________度． 【答案】 【分析】根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ∴， ∵分别平分， ∴设，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 即， 同理， ， ∴． 【变式12-2】如图，若分别为角两边上的任意一点，连接与的平分线交于点也为角两边上的任意一点，连接与的平分线交于点按这样规律，则_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由角平分线的定义得到，，于是得到，根据三角形的内角和得到，同理按这样规律，则可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于， ∴，， ∴， ∴， 同理， …， 按这样规律，则， 故答案为：． 【变式12-3】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，进而求得，进而求解即可 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故， ， ， 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.5 三角形的外角（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 外角的定义与识别】 1 【题型2 应用外角性质求角度】 2 【题型3 外角性质与平行线的综合运用】 3 【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】 4 【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】 6 【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】 7 【题型7 三角形外角的实际应用】 8 【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】 9 【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】 11 【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】 12 【题型11 特定几何模型中的角度求和】 14 【题型12 内外角性质的规律探究】 15 考点1 三角形的外角 知识点 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3.三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 【题型1 外角的定义与识别】 【例1】下列关于△ABC的外角的说法正确的是（    ） A．∠AFC是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 【变式1-1】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．三角形的外角和为内角和的2倍 B．三角形的外角和为 C．三角形的外角中只有一个钝角 D．三角形的外角中可以有两个直角 【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角； B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角； C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角； D．∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角； 【题型2 应用外角性质求角度】 【例2】如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，且外角，则外角的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得的度数分别为，则这两根竹竿的夹角的度数是_______ ． 【变式2-3】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，，则的度数为_____． 【题型3 外角性质与平行线的综合运用】 【例3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，是的反向延长线上一点，平分，若，，则①的度数为_____；②的度数为_____． 【变式3-1】（25-26九年级下·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·安徽宿州·一模）如图，是内部的一条射线，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】将北斗七星的大致位置画到纸上，分别标为，然后将顺次连接（如图所示），设恰好经过点，且在一条直线上，已知，，，． （1）的度数为________； （2）连接，若，则的度数为________． 【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】 【例4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）如图，是的内角和的平分线的交点，是的内角和的平分线的交点，同样点是的内角和的平分线的交点，若，则________． 【变式4-3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； (3)请判断点P是否满足平分且平分，并说明理由． 【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】 【例5】将图（1）中的长方形纸片沿翻折得到图（2），再将图（2）中的四边形沿翻折得到图（3）．在图（3）中，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是________（填写序号）． 【变式5-1】在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若，则的度数为___________． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． (1)如图，若，，则__________； (2)如图，若，，求的度数． 【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】 【例6】如图，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放在锐角上，三角板的两边恰好分别经过点C，B，且点A在直线的右侧． (1)若，，求的度数； (2)请直接写出，与之间存在的数量关系． 【变式6-1】（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则______． 【变式6-3】小明将一副直角三角板的直角顶点重合后按如图示摆放，其中，，，．他固定三角板，将三角板绕点C顺时针以每秒6度的速度旋转，设它的旋转时间为t秒，则在旋转过程中，当边时，______秒． 【题型7 三角形外角的实际应用】 【例7】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为___________． 【变式7-1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 【变式7-2】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为______． 【变式7-3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合；使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则的度数为______度． 考点2 三角形的内角与外角的综合应用 【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】 【例8】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【变式8-1】（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，是的高，是的角平分线，平分，与相交于点F，已知，，求和的度数． 【变式8-2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 【变式8-3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】 【例9】如图，在中，D是上一点，连接，的平分线交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式9-1】已知AD和BE相交于点C，，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），点P是线段BC上一点，连结AP． ①求证：； ②若，请直接写出的度数； (3)如图（3），若点M是射线BA上一点，作直线AD于点H，与的角平分线相交于点N，请直接写出的度数． 【变式9-2】如图，已知是的角平分线（），于点，交的延长线于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，求证：． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知：在中，，是边上一点，． (1)求证：； (2)如图，交于且，求证：； (3)如图，过点作交于，若为等腰三角形，求的度数． 【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】 【例10】（25-26七年级下·福建泉州·期中）【阅读材料】 如图1，点，分别在的两条边上，若和的角平分线交于点，则平分． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边中，点在边的延长线上，，点在射线上（点不与点重合），平分交射线于点． (1)求； (2)当点在射线上移动时， ①有同学猜想：在上述条件下，始终成立．该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请举出反例； ②连接，若，求的大小． 【变式10-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【变式10-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．点C为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【变式10-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【题型11 特定几何模型中的角度求和】 【例11】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________． 【变式11-1】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【变式11-3】（25-26八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【题型12 内外角性质的规律探究】 【例12】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 【变式12-1】如图，，直线被直线所截，分别平分分别平分分别平分交于点依此规律，得角，则__________度，__________度． 【变式12-2】如图，若分别为角两边上的任意一点，连接与的平分线交于点也为角两边上的任意一点，连接与的平分线交于点按这样规律，则_____． 【变式12-3】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则的值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $