25.2.4 一元二次方程与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册
2026-09-06
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摘要：
**基本信息**
分层设计梯度合理，从根与系数关系的基础应用到综合问题解决，覆盖概念理解、运算推理及几何情境应用，适配新授课知识巩固，培养抽象能力、推理意识与模型意识。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|基础|根与系数关系直接应用|选择填空为主，考查两根和积计算（如选择1-5、填空1-3）|
|中档|知识点综合应用|结合判别式、逆向构造方程（如选择6-10、填空4-6）|
|综合|跨情境应用|几何模型（矩形问题）、参数取值与根的性质讨论（解答3-5）|
内容正文：
人教版 九上数学 第二十五章 一元二次方程
25.2.4 一元二次方程与系数的关系 同步练习
考试时间：45分钟 满分：100分
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1. 若一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知一元二次方程的两根为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3. 一元二次方程的一个根为1，则另一个根和k的值分别是（ ）
A． B． C． D．
4. 若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 若是方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知两个根分别是和，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
7. 若方程中有一个根为，另一个根非0，则满足（ ）
A． B． C． D．
8. 若是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10. 已知是一元二次方程的两根，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
1. 若是方程的两根，则__________，__________
2. 已知方程有一个根是1，则另一个根是__________，__________
3. 已知两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是__________
4. 若是方程的两个实数根，则__________
5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则m的值是__________
6. 若方程的两根之差是1，则__________
三、解答题（共5题，共46分）
1. （8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求：
（1）k的取值范围；（4分）
（2）若方程的两根满足，求k的值。（4分）
2. （8分）已知一元二次方程的两根分别为，求下列代数式的值：
（1）；（4分）
（2）。（4分）
3. （10分）已知关于x的方程：
（1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？（5分）
（2）若方程的两个实数根满足，求k的值。（5分）
4. （10分）已知矩形的长和宽分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的对角线长为，求m的值以及矩形的周长。
5. （10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根：
（1）求m的取值范围；（4分）
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的两根之和与两根之积。（6分）
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九年级上册数学课时练习参考答案
一、选择题
1. C 2. D 3. A 4. B 5. A 6. A 7. C 8. C 9. B 10. A
二、填空题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
三、解答题
1. 解答过程：
（1）∵方程有两个实数根，∴判别式（1分）
即（2分）
解得（4分）
（2）由根与系数的关系得：（1分）
代入等式得：（3分）
∵，符合题意，∴（4分）
综上，（1）；（2）。
2. 解答过程：
由根与系数的关系得：（1分）
（1）（4分）
（2）（4分）
综上，（1）；（2）。
3. 解答过程：
（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴是一元二次方程，则，且（1分）
计算判别式：（3分）
令，解得，结合，得（5分）
（2）由根与系数的关系得：（2分）
化简（3分）
解方程：，经检验，不符合（1）中条件，舍去，故不存在满足条件的k（5分）
4. 解答过程：
设矩形的长为a，宽为b，由根与系数的关系得：（2分）
∵矩形对角线长为5，由勾股定理得（3分）
又，代入得：
（6分）
解得，∵矩形边长为正，所以，当时，，舍去，故（8分）
此时，矩形周长为（10分）
综上，，矩形周长为10。
5. 解答过程：
（1）∵方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根，∴
（1分）
计算判别式：
（2分）
解得，且，故（4分）
（2）满足条件的最大整数m为（2分）
设方程两根为，由根与系数的关系得：
（6分）
综上，（1）；（2）两根之和为，两根之积为。
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