25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习按基础题（9题）、中档题（7题）、综合题（1题）分层，覆盖根与系数关系的求根和积、代数式求值、待定字母等知识点，从单一应用到综合拓展，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|单一知识点直接应用|以选择填空为主，巩固根与系数关系的基本运算，培养符号意识| |中档题|跨情境综合应用|结合矩形周长面积、错解分析等问题，发展模型意识与推理能力| |综合题|拓展探究与迁移|类比推导三次方程韦达定理，提升创新意识与数学思维深度|

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础题 知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.已知x₁,x₂是方程 的两个实数根，则 ( ) A.-9 B.-8 C.9 D.8 2.已知一元二次方程 有两个不相等的实数根x₁,x₂,则x₁x₂的值为 . 3.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x₁，x₂的和与积. 知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值 4.已知一元二次方程 的两根分别为m,n,则m+n-mn的值为( ) A.25 B.16 C.9 D.7 5.已知x₁，x₂是一元二次方程 的两根，不解方程求下列各式的值： 知识点3 利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值 6.已知x₁,x₂是关于x的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 7.若一元二次方程 的两根为-1和 3，则n的值是( ) A.-3 B.3 C.-2 D.2 8.如果一元二次方程 的两个根互为相反数，那么( ) A. m=0 B. m=-1 C. m=1 D.以上结论都不对 9.已知关于x的一元二次方程 m+2=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，且 则实数m= . 中档题 10.若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11. 若矩形的长和宽是方程 的两根，则该矩形的周长和面积分别是( ) A.3 和 B.12 和3 C.6 和3 D.6和 12.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是-1和-5；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2.则原来的方程是( ) D. x²+6x+6=0 13.一元二次方程 □x+2=0的两根为m,n,且 mn(m+n)=14,其中“□”表示一个数，则“□”为 . 14.若关于x的一元二次方程的两根为x₁,x₂,且则m的值为 . 15.若一元二次方程 的两根为α，β，则 3β的值为 . 16.已知关于x的一元二次方程 m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且 求 m的值. 综合题 17.法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法时，发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系，由于韦达最早发现这种特殊关系，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理的一种推导过程如下：已知关于x的一元二次方程 0(a≠0)的两个根分别为 ax₁x₂,由此可得 因此 即为韦达定理. (1)类比探究：类比以上方法推导出关于x的一元三次方程 0(a≠0)的韦达定理.(假设此方程有3个实数根) (2)拓展应用：若一元三次方程 30=0有三个根求 的值. 1. D 2.3 3.解: (3)方程化为 (4)方程化为 4. D 5.解：由题可知 6.-3 7. A 8. B 9.3 10. C 11. D 12. D 13.7 14.12 15.10 16.解:(1)证明:∵a=1,b=-(m+2),c=m-1,∴△=b²-4ac= 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)由题意，得 即 整理，得 解得 的值为-2或1. 17.解：(1)设关于x的一元三次方程 的三个根为 则 由此可得 ,则x₁ (2)∵x₁,x₂，x₃是一元三次方程 的三个根， 学科网（北京）股份有限公司 $