第11课时 图形的位似（一）—— 位似图形与作图 课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦位似图形的概念、性质及作图，通过复习相似三角形对应边关系、相似比等知识，从“图形相似”自然过渡到“按中心作出”，搭建从一般相似到特殊位似的学习支架。 其亮点在于以橡皮筋放大器、投影缩放等现实情境引导观察，培养数学眼光，通过问题链辨析相似与位似的核心区别，发展推理意识，规范“连中心—取对应点—连新图形”的作图步骤强化数学语言。助力学生建立空间观念，教师可借助结构化探究流程提升教学效率。

第11课时 图形的位似（一）—— 位似图形与作图 复习导入 3 1. 相似三角形的对应边有什么关系？ 2. 相似比为2表示什么？相似比为又表示什么？ 3. 如果要把图形放大或缩小，怎样保证形状不变？ 对应边成比例，所有对应线段按同一比例变化。 相似比2表示对应长度放大2倍；表示对应长度缩小为原来的一半。 要保证形状不变，就要让对应点按同一比例移动。 本课任务 4 由“图形相似”走向“图形如何按中心作出” 观察现象 橡皮筋、投影中的放大与缩小 寻找共同点 对应点是否经过同一个中心 形成概念 位似中心、位似比、位似图形 规范作图 连中心—取对应点—连新图形 情境1：橡皮筋放大器 5 图形每个点沿同一个中心向外移动，为什么形状仍然保持不变？ A B C O E D F 思考： 1. 哪个点控制了所有点的移动方向？ 2. 原图与新图为什么仍然相似？ 3. 对应点到这个点的距离怎样变化？ 情境1：学生思考与教师解惑 6 1. 如果每个点都沿着同一点向外或向内移动，这个点可能是什么？ 2. 形状不变说明原图与新图具有什么关系？ 3. 仅仅相似，能否说明它们一定由同一个中心得到？ 这个公共点叫位似中心。 图形形状不变，说明原图与新图相似。 但“相似”不一定有共同中心；位似是在相似的基础上增加了“对应点连线经过同一点”的条件。 情境2：投影缩放 7 投影放大后，图形大小改变但形状不变：位似比大于1和小于1时有什么不同？ A B C O D E F A B C O D F F 学生任务 比较左、右两图： 1. 新点在原点外侧还是内侧？ 2. 哪个图形相似比大于1？ 3. 哪个图形相似比小于1？ 情境2：从现象到概念 8 1. 相似比为2时，对应点相对于中心怎样排列？ 2. 相似比为时，对应点相对于中心怎样排列？ 3. 能否用一个比例式表示两种情况？ 相似比2>1时，新点在原点外侧；相似比<1时，新点在中心与原点之间。 两种情况都满足对应点与中心共线，且对应距离成同一比例。 可写为 方法提示：共同条件：同一中心、同一比例、对应点共线。 概念建构：什么是位似？ 9 比较橡皮筋放大和投影缩放： 1. 两个图形除了相似，还有什么共同约束？ 2. 这个共同点叫什么？ 3. 从中心到对应点的距离比叫什么？ 两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个点，这个点叫位似中心。 从位似中心到对应点的距离比叫位似比，等于相似比。 位似图形具有中心性和比例性。 位似图形：有共同位似中心的相似图形；位似比：对应距离的比。 位似图形的性质 10 若△ABC与△DEF位似，位似中心为O： 1. 哪些点一定与O共线？ 2. 对应线段之间有什么关系？ 3. 位似图形是否一定相似？ A、D、O共线；B、E、O共线；C、F、O共线。 对应边平行，对应线段按同一比例变化。 位似图形一定相似，因为位似本身就是特殊的相似关系。 核心性质：对应点与位似中心共线；对应边平行；位似图形相似。 作图探究：相似比为2 11 以O为位似中心，把△ABC放大为相似比2的△DEF。先想作图顺序。 1. 作图第一步是直接量边，还是先连什么？ 2. D、E、F分别应落在哪些射线上？ 3. 如何保证OD=2OA、OE=2OB、OF=2OC？ 第一步先连接OA、OB、OC，确定对应点所在射线。 在射线OA、OB、OC上分别取D、E、F，使OD=2OA、OE=2OB、OF=2OC。 最后顺次连接D、E、F。 方法提示：作图核心：先连中心与顶点，再按比例取点。 作图规范步骤 12 已知△ABC、位似中心O、位似比2，作△DEF。 第1步：连接OA、OB、OC，确定三条射线。 第2步：在射线OA、OB、OC上分别取D、E、F。 第3步：使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC。 第4步：顺次连接D、E、F，得到位似图形△DEF。 即时训练一：判断位似比与点位 13 1. 位似比为3，对应点应在原点外侧还是内侧？ 2. 位似比为，对应点应在什么位置？ 3. 若OD=2OA，位似比是多少？ k=3>1，新点在原点外侧。 0<k=<1，新点在中心与原点之间。 OD/OA=2，所以位似比为2。 判断点位时先看k与1的大小。 方法提示：k>1：放大，点在外侧；0<k<1：缩小，点在内侧。 即时训练二：相似与位似辨析 14 判断下列说法： 1. 位似图形一定相似。 2. 相似图形一定是位似图形。 3. 对应点连线经过同一点，是判断位似的重要条件。 1正确：位似是特殊的相似。 2错误：相似图形还必须具有共同位似中心，不能只看形状和比例。 3正确：对应点共线且共线于同一中心，是位似的核心特征。 方法提示：判断位似要同时检查：相似关系和共同位似中心。 例题1：作相似比为2的位似图形 15 已知△ABC和点O，以O为位似中心作△DEF，使△DEF与△ABC位似，相似比为2。 1. 为什么不能直接把AB、BC、CA分别放大2倍？ 2. D、E、F分别怎样确定？ 3. 作图后用什么条件检查？ 位似作图必须体现中心O，不能只放大边长。 连接OA、OB、OC，在三条射线上取D、E、F，使OD=2OA、OE=2OB、OF=2OC。 检查：O、A、D；O、B、E；O、C、F分别共线，且距离比均为2。 方法提示：作位似图形的本质：从位似中心出发找对应点。 例题2：相似比为1/2的缩小图形 16 若相似比为1/2，仍以O为位似中心作△ABC的位似图形。 1. 新点取在射线的哪一段？ 2. 新点与O、原点的先后顺序是什么？ 3. 作图步骤与放大图形有什么相同和不同？ 连接OA、OB、OC，在OA、OB、OC的线段内部取D、E、F，使OD=OA、OE=OB、OF=OC，再顺次连接D、E、F。 相同点是都先连中心、按比例取点、最后连接；不同点是新点在中心与原点之间。 方法提示：0<k<1时作缩小图，新点在线段内部。 边界澄清：相似不等于位似 17 比较两种情况： A. 两个三角形对应边成比例、对应角相等。 B. 两个三角形相似，且对应点连线交于同一点O。 哪一种一定能称为位似？为什么？ A只能说明相似，不一定有共同位似中心。 B满足位似的附加条件：对应点连线经过同一个点O，因此一定是位似图形。 位似 = 相似 + 共同中心 + 同一比例。 判断位似不能只看“形状相同、边成比例”，还要找共同位似中心。 课堂检测一：选择、填空、判断 18 请独立完成，先写答案，再补理由。 1. 位似图形的两个基本特征是（ ） A. 对应边相等 B. 对应点连线经过同一点，且对应距离成同一比例 C. 面积相等 D. 只有形状相同 2. 已知位似中心O，若OD=2OA，则位似比为____。 3. 相似比为1/2时，对应点一定在原点外侧。（ ） B 2 错 课堂检测二：证明与解答 19 4. 已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O。求证：A、D、O；B、E、O；C、F、O分别共线。 证明：由位似定义，存在位似中心O，使每一对对应点与O在同一直线上。因此A、D、O；B、E、O；C、F、O分别共线。 5. 以O为位似中心，将△ABC按相似比1:3缩小，请写出作图步骤。 解：连接OA、OB、OC，在OA、OB、OC上分别取D、E、F，使OD=OA、OE=OB、OF=OC，顺次连接D、E、F。 课堂小结与课后作业 20 核心结构：相似图形 → 共同中心 → 位似图形 → 按比例作图 核心概念：位似中心、位似比、对应点共线。 作图路径：连中心与顶点 → 按位似比取对应点 → 顺次连接 → 检查共线与比例。 边界提醒：相似不一定是位似；位似比大于1放大，小于1缩小。 $