问题解决活动：利用相似三角形测高 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用相似三角形测高”，通过旗杆测量、泰勒斯测金字塔故事导入，连接相似三角形判定与性质，以影子法、标杆法、镜子反射法的示意图和步骤搭建学习支架。 其亮点是融合《海岛算经》历史案例与合作探究，通过多种测量方案培养数学眼光（抽象实际问题为模型）、数学思维（推理相似关系）和数学语言（比例式表达高度），助力学生发展建模能力，为教师提供丰富教学素材与活动设计思路。

第三章　图形的相似 问题解决活动：利用相似三角形测高 2026年7月26日星期日2时18分58秒 1 1.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的高度(如测量旗杆高度问题)等的实际问题。 2.能综合应用三角形相似的判定条件和性质解决问题，加深对相似三角形的理解和认识。 3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。 2026年7月26日星期日2时18分58秒 2 你想知道学校旗杆的高度吗？利用相似三角形的相关知识，使用标杆、皮尺 等工具，就可以测出学校旗杆的高度. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 探究点1：利用相似三角形测量高度 ∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵∠AOB =∠DFE = 90°， ∴△ABO ∽△DEF. ∴ . 2026年7月26日星期日2时18分58秒 4 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆 (或路灯杆) 的高度. 活动方式：分组活动、全班交流研讨. 活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具. 【合作探究】 你能想到哪些方法测量？ 2026年7月26日星期日2时18分58秒 　利用阳光下的影子测量 特别说明：这种方法是直接运用相似三角形的原理.事实上，太阳离我们非常 遥远，因此可以把太阳光线近似看成平行光线.在同一时刻，两物体影长之比 等于其对应高的比. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 拟订计划 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出旗杆高度的表达式。 方案一 利用阳光下的影子测量旗杆的高度(影子法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项         如图所示，∵AE∥BC， ∴∠AEB = ∠CBD。 又∵∠ABE=∠CDB =90°， ∴△ABE∽△CDB ∴ = ， 即CD = 。 人的身高AB，人的影长BE，旗杆的影长BD。 人的影长和旗杆的影长必须是同一时刻测量得到的，“同一时刻”是利用影子测量 物 体高度的前提条件。 皮尺 2026年7月26日星期日2时18分58秒 方案二 利用标杆测量旗杆的高度(标杆法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项                       观测者的眼睛与地面的距离AB，标杆的高度EF，观测者与标杆之间的距离BF，观测者与旗杆之间的距离BD。 观测者的眼睛 (点A)、标杆的顶端(点E)和旗杆的顶端(点C)必须要“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时旗杆底部必须可到达。 如图所示，∵EF∥CD， ∴∠1 = ∠2 = 90°。 ∵∠3 = ∠3， △AEM∽△ACN， ∴ = ， 易知AM = BF，AN = BD， EM = EF-MF = EF-AB。∵BF，BD，EF，AB可测， ∴可求得CN的长度， ∴CD=CN+ND = CN+AB。 标杆、 皮尺 2026年7月26日星期日2时18分58秒 如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合. 方法 3：利用镜子反射 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由. A F E O ┐ ┐ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 B 反射角等于入射角 2026年7月26日星期日2时18分58秒 你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 【想一想】 上述几种测量方法各有哪些优缺点？ 【议一议】 2026年7月26日星期日2时18分58秒 【例1】小明和他的同学在太阳光下行走，小明身高1.4 m，他的影长为1.75m，他同学的身高为1.6 m，求此时他同学的影长. 解：设他同学的影长为x m， ∵同一时刻物高与影长成正比例， ∴ ＝ ，解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解， ∴他同学的影长为2 m. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 （2025秋•宝安区期中）在一次综合实践课上，小华测得旗杆的 影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附 近一座纪念塔的影子长为60米，求这座纪念塔的高度. 解：∵旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为 13米， ∴旗杆的高度为 ＝5（米）. 设这座纪念塔的高度为x米，由题意可得 ＝ ， 解得x＝25， 即这座纪念塔的高度为25米. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 请你解决下列问题。 1.某单位的摄像系统记录了一犯罪嫌疑人作案的全过程。请你设计一个方案，估计该犯罪嫌疑人的身高。 在拍摄的图片中选择一个参照物(如门框等)，测量图片中犯罪嫌疑人的高度、参照物的高度，以及参照物的实际高度，通过计算图片中参照物的高度与参照物的实际高度之比，便可估计犯罪嫌疑人的身高。 知识点1 利用相似三角形测高 2026年7月26日星期日2时18分58秒 请你解决下列问题。 2.选择一幢高楼或一棵大树，测量其高度，并撰写活动报告。 可参照本节测量旗杆的高度的方案，在本题所给的活动报告表中撰写活动报告，答案略。 知识点1 利用相似三角形测高 2026年7月26日星期日2时18分58秒 【读一读】 刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产. 《海岛算经》最早附于《九章算术注》之后，唐初开始单行. 刘徽在该书中精心选编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远 问题的，其中第一个问题是测算海岛的高、 远问题，因此得名.《海岛算经》是中国最早 的一部测量数学专著也是中国古代高度发达 的地图学的数学基础. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 《海岛算经》第一个问题的大意是： 如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高 3 丈的标杆 BC 和 DE，两杆之间的距离 BD =1 000 步，D，B，H 成一线；从 B 处退行 123 步到 F，人的眼睛贴着地面观察 A 点，A，C，F 三点成一线；从 D 处退行127 步到 G，从 G 观察 A 点，A，E，G 三点也成一线. 试计算山峰的高度 AH 及 HB 的长 (这里 1 步 = 6 尺，1 丈 = 10 尺，结果用丈表示). 怎样利用相似三角形求得线段 AH 及 HB 的长呢？请你试一试! A H C B F D G E 2026年7月26日星期日2时18分58秒 A H C B F D G E CB = ED = 3丈 = 30尺，BD = 1 000步 = 6 000尺， BF = 123步 = 738尺，DG = 127步 = 762尺. 利用这两个比例式可以求得 HB =184500 尺 = 18450 丈， AH = 7530 尺 = 753 丈. 由 △AHF ∽ △CBF，得 ； 由 △AHG ∽ △EDG，得 ； 2026年7月26日星期日2时18分58秒 　利用标杆测量 特别说明：使用这种方法时，观察者的眼睛必须与标杆的顶端、物体的顶端 “三点共线”，标杆与地面要垂直. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 1.小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影长BA为15米，同时在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(　　) A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米 A 2026年7月26日星期日2时18分58秒 2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是(　　) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米 C 2026年7月26日星期日2时18分58秒 【练一练】3. 如图小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么 该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B A B P D C 2026年7月26日星期日2时18分58秒 A C B 4. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米． 8 2026年7月26日星期日2时18分58秒 【例2】（2025•绵阳期末）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度 进行测量.他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处，然 后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2 m至A点时，看大 树顶部F的视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB 为1.6 m，竹竿CD长3 m，求大树的高度. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 解：如图，过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，则BH⊥CD， ∴∠BGD＝∠BHF＝90°. 由题意得AB＝CG＝EH＝1.6 m，AC＝BG＝2 m，CE＝GH＝10 m， ∴BH＝BG＋GH＝2＋10＝12（m）. ∵CD＝3 m， ∴DG＝CD－CG＝3－1.6＝1.4（m）. ∵∠DBG＝∠FBH， ∴△BDG∽△BFH， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，解得FH＝8.4， ∴EF＝FH＋EH＝8.4＋1.6＝10（m）， ∴大树的高度EF为10 m. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 5.如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2 m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚离标杆的距离为1 m，离大树底部的距离为9 m，王刚的眼睛离地面的高度AB为1.5 m，那么大树EF的高度为多少？ 2026年7月26日星期日2时18分58秒 解：如图所示，过点A作AH⊥EF，垂足为H，交CD于点G。 由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，故四边形ABDG、四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形， 所以AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF， 所以∠AGC＝∠AHE＝90°。 又因为∠CAG＝∠EAH，所以△ACG∽△AEH， 所以＝，即＝， 所以EH＝4.5 (m)， 所以EF＝EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)。 答：大树EF的高度为6 m。 G H 2026年7月26日星期日2时18分58秒 （2025•龙岗区开学）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用 长3.2 m的竹竿做测量工具.移动竹竿，使旗杆影子的顶端与竹竿影子的顶端 恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m，与旗杆相距22 m，求旗杆的高度. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 解：对图形进行点标注，如图所示. ∵ED⊥AD，BC⊥AC， ∴ED∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴ ＝ . ∵AD＝8 m，AC＝AD＋CD＝30 m，ED＝3.2 m， ∴ ＝ ， ∴BC＝12，即旗杆的高为12 m. 2026年7月26日星期日2时18分58秒 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 物体高度 物体影长 = 参照物高度 参照物影长 利用人、标杆被测物体构造相似三角形 利用物理中的入射角等于反射角构造相似三角形 2026年7月26日星期日2时18分58秒 $