问题解决活动：利用相似三角形测高（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“利用相似三角形测高”，通过红杉、乐山大佛等高大物体情境导入，引导学生从现实问题出发，复习相似三角形知识，构建“理论-方法-实践”学习支架，衔接相似三角形判定与实际应用。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过分组合作测量旗杆（阳光下影子、标杆、镜子反射），结合泰勒斯测金字塔、刘徽《海岛算经》案例，培养抽象能力与推理意识。课堂小结系统梳理方法，当堂反馈强化应用，助力学生发展模型观念与实践能力，也为教师提供丰富活动设计与跨学科素材。

问题解决活动： 利用相似三角形测高 第三章 图形的相似 北师版 九年级（上） 1.通过测量旗杆高度的活动，复习巩固相似三角形的有关知识.（重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点） 素养目标 世界上最高的树 —— 红杉 乐山大佛 埃及金字塔 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 情境导入 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 探究点1：利用相似三角形测量高度 ∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵∠AOB =∠DFE = 90°， ∴△ABO ∽△DEF. ∴ . 新知探究 4 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆 (或路灯杆) 的高度. 活动方式：分组活动、全班交流研讨. 活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具. 【合作探究】 你能想到哪些方法测量？ 新知探究 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 方法 1：利用阳光下的影子 如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长. 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？ 说明你的理由. 新知探究 方法 2：利用标杆 如图，每个小组选一名 同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆.观测者适当调整自已所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自已的眼睛恰好在一条直线上，这时其他 同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离， 以及观测者的脚到标杆底端的距离， 然后测出标杆的高. 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由. 新知探究 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交 EF 于 M， A E C D F B N M ∵人、标杆、旗杆都垂直于地面， ∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°. ∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA. ∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN . ∴ . 新知探究 如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合. 方法 3：利用镜子反射 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由. A F E O ┐ ┐ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 B 反射角等于入射角 新知探究 你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 【想一想】 上述几种测量方法各有哪些优缺点？ 【议一议】 新知探究 【读一读】 刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产. 《海岛算经》最早附于《九章算术注》之后，唐初开始单行. 刘徽在该书中精心选编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远 问题的，其中第一个问题是测算海岛的高、 远问题，因此得名.《海岛算经》是中国最早 的一部测量数学专著也是中国古代高度发达 的地图学的数学基础. 新知探究 《海岛算经》第一个问题的大意是： 如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高 3 丈的标杆 BC 和 DE，两杆之间的距离 BD =1 000 步，D，B，H 成一线；从 B 处退行 123 步到 F，人的眼睛贴着地面观察 A 点，A，C，F 三点成一线；从 D 处退行127 步到 G，从 G 观察 A 点，A，E，G 三点也成一线. 试计算山峰的高度 AH 及 HB 的长 (这里 1 步 = 6 尺，1 丈 = 10 尺，结果用丈表示). 怎样利用相似三角形求得线段 AH 及 HB 的长呢？请你试一试! A H C B F D G E 新知探究 A H C B F D G E CB = ED = 3丈 = 30尺，BD = 1 000步 = 6 000尺， BF = 123步 = 738尺，DG = 127步 = 762尺. 利用这两个比例式可以求得 HB =184500 尺 = 18450 丈， AH = 7530 尺 = 753 丈. 由 △AHF ∽ △CBF，得 ； 由 △AHG ∽ △EDG，得 ； 新知探究 【练一练】1. 如图小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么 该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B A B P D C 新知探究 A C B 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米． 8 新知探究 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 物体高度 物体影长 = 参照物高度 参照物影长 利用人、标杆被测物体构造相似三角形 利用物理中的入射角等于反射角构造相似三角形 课堂小结 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( ) A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m A A 当堂反馈 3. 如图 ，利用标杆 BE 测量建筑物的高度. 如果标杆 BE 高 1.2 m，测得 AB = 1.6 m，BC = 12.4 m，楼高 CD 是多少？ 解： ∴ EB∥CD. ∵EB⊥AC，CD⊥AC ， ∴△ABE∽△ACD. ∴CD = 10.5 m. 1.2 12.4 1.6 当堂反馈 4. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的 水平距离 DC = 20 米， 求旗杆的高度. A B C D G E F 当堂反馈 A B C D G E F 解：由题意可，得 △DEF∽△DCA， ∵DE = 0.5 m，EF = 0.25 m，DG = 1.5 m，DC = 20 m ， 则 解得：AC = 10. 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. ∴ 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $