3.5.2平面直角坐标系中的位似变换-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中的位似变换，通过△OAB顶点坐标乘2或-2等问题导入，结合坐标对比表引导探究，从具体案例归纳位似中心、相似比规律，构建从图形相似到坐标变换的学习支架。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光（几何直观、空间观念）和数学思维（推理意识），通过例题、中考题及四种变换对比表，帮助学生抽象坐标变化模型，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.5.2平面直角坐标系中的位似变换 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学3.5.2平面直角坐标系中的位似变换专项练习 核心知识点回顾：在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心的位似变换有固定坐标变化规律。若原图形上点的坐标为(x，y)，位似比为k，则位似变换后对应点的坐标为(kx，ky)或(−kx，−ky)。其中，坐标同号为同侧位似，异号为异侧位似。位似图形的边长、周长比等于位似比k，面积比等于k²，坐标系中位似变换不改变图形形状，只改变图形大小与位置，是数形结合的核心考点。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 以原点为位似中心，位似比为2，点A(3，−1)的对应点坐标为（） A. (6，−2) B. (1.5，−0.5) C. (3，2) D. (−6，2)或(6，−2) 2. 平面直角坐标系中位似变换的位似中心默认常为（） A. (1，1) B. 坐标原点 C. x轴上任意点 D. y轴上任意点 3. 点P(2，4)以原点为位似中心，位似比为$$\frac{1}{2}$$缩小，对应点坐标为（） A. (4，8) B. (1，2) C. (2，2) D. (−1，−2) 4. 坐标系中两图形位似比为1:4，则面积比为（） A. 1:4 B. 1:8 C. 1:16 D. 4:1 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 以原点为位似中心，位似比为k，点(x，y)的对应点坐标为________或________。 6. 点A(−2，3)以原点为位似中心，位似比为3，对应点坐标为________。 7. 坐标系中位似图形的周长比等于________，面积比等于________。 8. 位似变换后图形与原图形形状________，大小发生改变。 三、解答题（共56分） 9.（18分）已知△ABC三个顶点坐标为A(1，2)、B(3，1)、C(2，3)，以原点为位似中心，位似比为2，求放大后△A'B'C'各顶点的坐标。 10.（18分）在平面直角坐标系中，四边形顶点M(2，0)、N(4，2)、P(2，4)、Q(0，2)，以原点为位似中心，位似比为$$\frac{1}{2}$$缩小，求缩小后图形的周长比与面积比。 11.（20分）已知点B(4，−2)，以原点为位似中心得到对应点B'(−2，1)，求本次位似变换的位似比，并说明是同侧还是异侧位似。 参考答案与详细解析 1. D 解析：原点为位似中心，存在同侧、异侧两种位似情况，对应坐标为(2×3，2×(-1))=(6，−2)、(-2×3，-2×(-1))=(−6，2)。 2. B 解析：教材坐标系位似变换题型中，默认位似中心为坐标原点，是基础固定考点。 3. B 解析：位似比$$\frac{1}{2}$$，坐标对应缩放，(2×$$\frac{1}{2}$$，4×$$\frac{1}{2}$$)=(1，2)。 4. C 解析：位似图形面积比为位似比的平方，1²:4²=1:16。 5. (kx，ky)；(−kx，−ky) 6. (−6，9)或(6，−9) 解析：位似比3，包含正负两种位似变换情况。 7. 位似比；位似比的平方 8. 不变 9. 解：以原点为位似中心，位似比2，各顶点坐标横纵坐标分别乘2。A'(2，4)、B'(6，2)、C'(4，6)。答：放大后顶点坐标为A'(2，4)、B'(6，2)、C'(4，6)。 10. 解：坐标系中位似图形周长比等于位似比，面积比等于位似比平方。位似比为$$\frac{1}{2}$$，因此周长比为1:2，面积比为1:4。 11. 解：位似比=对应点坐标比值，取横坐标计算：$$-2\div4=-\frac{1}{2}$$，位似比绝对值为$$\frac{1}{2}$$。坐标符号相反，为异侧位似。答：位似比为$$\frac{1}{2}$$，属于异侧位似。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 问题 如图，在平面直角坐标系中，△OAB三顶点的坐标分别是O(0，0)，A(3，1)，B(2，3)。 将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点， 以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗?如果位 似，指出位似中心和相似比。 位似； 位似中心是坐标原点O，相似比为2。 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 A B y x 原坐标 O(0,0) A(3,0) B(2,3) 横纵坐标乘2 O′(0,0) A′(6,0) B′(4,6) 探究新知 问题 如图，在平面直角坐标系中，△OAB三顶点的坐标分别是O(0，0)，A(3，1)，B(2，3)。 如果将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘-2呢? 位似； 位似中心是坐标原点O，相似比为2。 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 A B y x 原坐标 O(0,0) A(3,0) B(2,3) 横纵坐标乘-2 O′(0,0) A′(-6,0) B′(-4,-6) 探究新知 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)。 (1)将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘， 得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与 四边形ABCD位似吗?如果位似，指出位似中 心和相似比。 位似，位似中心为点O，相似比为。 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 -10 -8-6 -4-2O 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 A B C D y x 探究新知 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)。 (2)如果将点A，B，C，D的横坐标、 纵坐标 都乘-呢? 位似，位似中心为点O，相似比为。 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 -10 -8-6 -4-2O 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 A B C D y x 探究新知 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)。 (3)你还能提出更一般性的问题吗? 如：在平面直角坐标系中，将一个四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形和原四边形位似吗? 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 探究新知 位似多边形对应点的坐标的变化规律： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|。 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 探究新知 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 （第1题） 1.如图，以原点为位似中心，将 放大为原 来的2倍后得到，若，则点 的坐标 为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 8 （第2题） 2.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标 分别为，，。以点 为位似中 心，在第三象限内得到与的相似比为 的位 似图形，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 （第3题） 3.[浙江中考] 如图，五边形, 是以 坐标原点为位似中心的位似图形，已知点, 的 坐标分别为,。若的长为3，则 的 长为( ) C A. B.4 C. D.5 返回 举一反三 10 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)， A(6，0)，B(3，6)，C(-3，3)。以原点O为位似中心画一个四边形，使它与 四边形OABC位似，且相似比是 。 分析：为了使画出的四边形与原四边形的相似比为，需要将原四边形每 个顶点的横坐标、纵坐标都乘多少? 例1 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 探究新知 B C A 解：如图，有两种画法。 画法一：将四边形OABC各顶点的横坐标、 纵坐标都乘，得到O(0，0)，A′(4，0)， B′(2，4)，C′(-2，2)； 在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′， 用线段依次连接点O，A′，B′，C′，O， 则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形。 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 y x B′ C′ A′ 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 探究新知 画法二：将四边形OABC各顶点的横坐标、 纵坐标都乘-，得到O(0，0)，A″(-4，0)， B″(-2，-4)，C″(2，-2)； 在平面直角坐标系中描出点A″，B″，C″， 用线段依次连接点O，A″，B″，C″，O， 则四边形OA″B″C″也是符合要求的四边形。 知识点2 位似图形的画法 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 y x B C A A″ C″ B″ 探究新知 剪纸是我国历史悠久的民间艺术形式之一，它是人们对吉祥、幸福的一种寄托。如图，将一幅剪纸图案放在直角坐标系中，已知其上点A(-1，4)。若以原点O为位似中心，将原图案放大，得到的新图案与原图案的相似比为2，则点A 的对应点A′的坐标是 。 跟踪训练 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 (-2，8)或(2，-8) 探究新知 名称 变换规律 变换方式 平移 轴对称 旋转 位似 四种常见的图形变换的比较： 对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度 以x轴为对称轴：对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴：对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比 全等变换 相似变换 探究新知 4.[广东中考] 如图，把放大后得到，则与 的相似比是_____。 （第4题） 返回 举一反三 16 5.[扬州期中] 如图，在平面直角坐标系 中， 点，若四边形关于点 的位似图形 为四边形，且四边形 的面积是 四边形面积的4倍，则在第一象限内的点 的坐标为______。 返回 举一反三 17 知识点2 在平面直角坐标系中画位似图形 6.[安徽中考] 如图，在由边长为1个单位长度的小正 方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ， 的顶点和 均为格点（网格线的交点）。已 知点和的坐标分别为和 。 返回 举一反三 18 （1）在所给的网格图中描出边的中点，并写出点 的坐标； 解：如图所示，点即为边的中点，点的坐标为 。 举一反三 19 （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点 的对 应点为，请在所给的网格图中画出 。 解：如图所示， 即为所求作的三角形。 返回 举一反三 20 （第7题） 7.[日照期中] 如图，在平面直角坐标系中，正方 形与正方形是以点 为位似中心的位 似图形，且相似比为，两个正方形在点 的同侧， 点，，在 轴上，其余顶点在第一象限，若正 方形的边长为6，则点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 21 （第8题） 8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点 的 坐标为。若以原点 为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点的对应点 的坐标是 ( ) B A. B.或 C. D.或 返回 举一反三 22 9.如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点 是位似中心。已知点，点，则点 的坐标为____________ ________（结果用含， 的式子表示）。 返回 举一反三 23 10.如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为 ， 点的坐标为 ，则这两个正方形的位似中心的坐标为____________ _____。 或 返回 举一反三 24 11.在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标 分别为，， ，位置如图 所示。 （1）将 的三个顶点的横、纵坐标分别乘 ，得到对应的点，， ，请画出 ，并直接写出与 的位 似中心的坐标以及相似比; 举一反三 25 解：由题意得,, ，如 图， 即为所要求作的三角形。 与的位似中心的坐标为 ，相 似比为 。 举一反三 26 （2）与 的面积比为_____; （3）在（1）的条件下，若为内部的一点，则点 在 内部的对应点 的坐标为____________。 返回 举一反三 27 图形的 位似 画法 找准位似中心，由相似比确定关键 点的对应点，顺次连接各对应点 直角坐标系中的位似变换： (a，b) (ka，kb)或(-ka，-kb) 以原点为位似中心 k为相似比 课堂小结 谢谢观看 THANKS $