3.6问题解决活动：利用相似三角形测高课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用三角形相似测高”，通过校园旗杆测高情境与刘徽《海岛算经》历史问题导入，关联七年级全等测距离知识，搭建从已有知识到相似三角形应用的学习支架。 其亮点是融合历史智慧与现实探究，设计标杆法、平面镜法、影长法三种方案，通过小组合作测量、误差分析等活动，培养数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理与严谨分析）和数学语言（模型表达），提升学生解决实际问题能力，为教师提供完整的实践教学流程。

第三章 图形的相似 问题解决活动：利用三角形相似测高 新版北师大数学九年级上册 学习目标 1.通过分析现实中的测高问题,回顾相似三角形的判定与性质,理解利用相似三角形测高的数学原理. 2.通过小组合作设计测量方案,掌握利用标杆、皮尺等工具测量不可直接到达物体高度的三种基本方法,能写出高度表达式并进行计算. 3.通过实地测量与方案对比,体会转化的数学思想，提高解决实际问题的能力,培养严谨求实的科学态度. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 作为一名数学学习者,当你凝视这根旗杆时，如果用一把普通的皮尺,你能精确测出它的高度吗？是没有梯子？还是不能爬上去？其实,不用登高,也不用复杂的仪器,只要利用我们学过的相似三角形知识,就能把这根“遥不可及”的旗杆高度“搬”到地面上来计算！准备好迎接这个挑战,让我们一起化身“校园侦探”,利用数学知识去破解旗杆的真实高度吧！ 仰视视角下,庄严的红砖教学楼与高耸的国旗杆相映成辉,绿树的生机点缀其间,构成了一幅标准的校园风景画. 问题构建 穿越千年的数学智慧 快速阅读课本96页内容：在1700多年前,我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中就解决了一个难题:如何测量海岛上一座山峰的高度？他没有飞机，没有卫星,只用了两根标杆和一把尺子就算出了山峰的高度.他是怎么做到的呢？ 刘徽利用了相似三角形的原理,通过测量标杆高度、标杆间距以及人后退的距离,建立比例关系计算出山峰高度.这是世界上最早的测量数学专著中的经典问题,体现了我国古代数学的辉煌成就. 问题构建 问题1:今天我们也面临一个类似的问题:学校的旗杆很高,我们无法直接爬到顶端测量它的高度.类比七年级借助全等测距离的方法，我们能不能像刘徽一样,用简单的工具和数学知识解决这个问题？ 应该可以,七年级借助三角形全等测量了河流的宽度,今天利用相似三角形对应边成比例的性质,将不可直接测量的高度转化为可测量的线段长度. 追问1:我们能直接用皮尺测量旗杆的高度吗？为什么？ 不能.因为旗杆太高,无法直接攀爬测量,且顶端没有固定点,直接测量存在安全隐患和操作困难. 追问2:回顾我们学过的相似三角形知识,相似三角形有哪些性质可以帮助我们解决这个问题？ 相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 问题构建 追问3:根据同学们课下研究的方法,这个测量活动对工具和方法有哪些基本要求？ 工具要求:简单易得（如标杆、皮尺、平面镜等）,测量准确； 方法要求：操作简便,安全可行,误差较小，能利用相似三角形原理. 小组展示：方法一-----标杆法 在旗杆和人之间立一根标杆,调整位置,使人的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端在同一直线上. 问题构建 借助数学抽象后得出右侧的测量方法图,请组长说明需要测量的长度和计算方法. 测量对象 图示 字母表示 测量原理 计算方法 标杆 CD 相似三角形 △CGE∽△AHE 眼睛下学生身高 EF 旗杆到标杆距离 BD 标杆到学生距离 DF 问题构建 小组展示：方法二-----平面镜法 将平面镜放在地面上,人后退到能从镜子中看到旗杆顶端的位置 测量对象 图示 字母表示 测量原理 计算方法 镜子到国旗杆底部距离 BE 相似三角形 △CDE∽△ABE 眼睛下学生身高 CD 镜子到学生距离 DE 问题构建 小组展示：方法三-----影长法 同时测量旗杆的影长和学生的影长 测量对象 图示 字母表示 测量原理 计算方法 国旗杆影长 BF 相似三角形 △CDE∽△ABF 学生身高 CD 学生影长 DE 协作破冰 问题2:对比这三种方案,它们有什么共同点和不同点？ 共同点：都利用了相似三角形对应边成比例的原理,都将不可直接测量的高度转化为可测量的水平距离和已知高度. 不同点：构造相似三角形的方法不同；所需工具不同；适用场景不同（影长法需要晴天,平面镜法需要平整地面,标杆法适用范围最广）；测量误差来源不同. 问题3:回到《海岛算经》的问题,刘徽用的是哪种测量方法？你能根据题目中的数据,写出山峰高度AH和HB的表达式吗？ 协作破冰 刘徽用的是双标杆法,是标杆法的延伸. 设AH=x丈，HB=y丈 由△AHF∽△CBF得： 由△AHG∽△EDG得: ：联立方程可解得： x=75丈，y=30750尺=3075丈 问题4:在实地测量前,我们需要做哪些准备工作？ 分组分工（测量员、记录员、计算员、安全员）；检查工具是否完好；明确测量步骤和注意事项；设计好数据记录表格 协作破冰 问题5:测量过程中,如何减小测量误差？ 多次测量取平均值；标杆要竖直放置；平面镜要水平放置；测量水平距离时皮尺要拉直；人眼观察时要保持同一高度 问题6:如果测量时发现标杆不够高，无法看到旗杆顶端，该怎么办？ 可以将标杆向远离旗杆的方向移动，或者人向后退，直到能看到旗杆顶端；也可以使用两根标杆（双标杆法） 问题7:在实地测量过程中，你们小组遇到了哪些困难？是如何克服的？ 风大标杆不稳→用重物固定； 地面不平→选择平整区域； 读数误差→多人读数核对等 教师示范 追问1:各小组测量的旗杆高度可能不完全相同，造成差异的原因有哪些？ 测量工具的精度不同；测量方法的误差； 操作不规范（如标杆不竖直、皮尺未拉直）；读数时的人为误差；环境因素（如风、光线） 追问2:除了测量旗杆高度，利用相似三角形测高的方法还能解决生活中的哪些问题？ 测量大树、高楼、山峰的高度；测量河流、峡谷的宽度；计算不能直接到达的两点之间的距离等 我国古代数学有着辉煌的成就，刘徽的智慧令人敬佩；数学来源于生活，又服务于生活；只要我们善于思考，就能用数学知识解决很多实际问题. 教师示范 第三小组活动报告展示 巩固拓展 巩固拓展 当堂检测 1.小明用平面镜法测量学校旗杆的高度.他将平面镜放在离旗杆底部15 米的地面上,然后沿着旗杆底部与平面镜的直线后退,当他后退到离平面镜2米的地方时,恰好能在镜子中看到旗杆顶端.已知小明的眼睛离地面的高度是1.6米,求旗杆的高度. 解:设旗杆高度为x米.由入射角等于反射角可知∠ACB=∠ECD,又因为∠ABC=∠EDC=90°,所以△ABC∽△EDC. 根据相似三角形对应边成比例得：， 即x/1.6=15/2，解得x=12米. 当堂检测 2.南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《问题解决活动：利用相似三角形测高》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 当堂检测 根据活动报告，求南阳解放纪念碑AB的高度（结果精确到0.1 m） 解：如图，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形 ，，， ∴， ， ， ， ， ． ， 答：南阳解放纪念碑的高度约为 反思总结 1.本节课我们学习了哪几种利用相似三角形测高的方法？它们的数学原理分别是什么？ 2.在解决“不可直接测量物体高度”这类问题时，我们用到了什么数学思想方法？ 3.通过本节课的学习，你对“数学来源于生活，又服务于生活” 这句话有了哪些新的理解？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第97页 第1题 二、素养类作业 课本第97页 第2题 仿照第三小组报告设计书写 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $