精品解析：吉林长春市新解放学校初中部2026-2027学年上学期九年级开学数学收心练习

2026-2027学年上学期九年级数学学科试题 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达1600亿元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据1600亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：1600亿． 3. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘多项式的法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，运算符合法则，故该选项正确，符合题意． 5. 如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 6. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 7. 如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转得到，根据余弦值求角的度数得到，结合矩形的性质得到，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴，则， ∴， ∴ ． 8. 如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点的坐标，利用点是中点表示出的长度，再结合三角形面积公式求出的值，最后根据反比例函数的几何意义（结合的符号）确定的值． 【详解】解：设点的坐标为， 轴于点， ， 点为的中点， ， ， ， 即， 点在反比例函数上， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 不等式 的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，通过移项、系数化为1即可得到解集． 【详解】解：对不等式， 移项，得， 系数化为1，得． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时判别式等于0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：原方程为一元二次方程的一般形式，其中，，常数项为， 因为方程有两个相等的实数根， 所以判别式， 解得 12. 如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由尺规作图可得是的垂直平分线，容易证明，则，因此． 【详解】解：在中，， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示．已知两人10次投掷的平均成绩相同．甲、乙两人成绩方差较小的是________． 【答案】乙 【解析】 【详解】解：从图看出：甲选手的成绩波动较大，乙选手的成绩波动较小； 故甲、乙两人成绩方差较小的是乙． 14. 如图， 中，，以AB为直径的交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，， ．给出下面四个结论： ①； ② ； ③； ④点C是AE的中点． 上述结论中，正确的结论的序号有_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据余角的性质证明即可判断①；证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可判断②④；根据，得出，证明，得出，即可判断③ 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，故③错误； ∵， ∴； ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④． 三、解答题（共7题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入计算即可． 【详解】解： ； 将代入得：原式． 16. 甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三个书店购书． （1）甲在A书店购书的概率为 ； （2）用列表或画树状图的方法，求甲、乙2名学生不在同一书店购书的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据甲学生到书店购书有3种选择，到A书店的概率即可求得； （2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，再将符合题意的结果除以所有结果，即可解答． 【小问1详解】 解：甲学生到书店购书有A、B、C，3种选择，故到A书店的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图， 如图共有9种等可能性结果．甲、乙2名学生不在同一书店购书的结果有6种， ∴甲、乙2名学生不在同一书店购书的概率为． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画格点C，使； （2）在图②中画格点D，使； （3）在图③中画格点E，使． 【答案】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： （3）解：如图所示为所求： 【解析】 【分析】（1）利用水平网格线与竖直网格线互相垂直即可作图； （2）取格点，使得，，连接，易证是等腰直角三角形，即可作出； （3）利用网格线的特征，取格点，使得，连接，利用邻补角的定义即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 为落实“每日一节体育课”的倡议，力旺中学拟购置一批排球，预算总额设定为3000元．已知A品牌每个排球的单价是B品牌每个排球单价的倍，如果全部购买B品牌，可比全部购买A品牌多买20个．求B品牌每个排球的单价． 【答案】B品牌每个排球的单价为50元 【解析】 【分析】先设B品牌排球的单价为x元，根据A、B单价的关系表示出A品牌单价，再根据总预算固定，购买B品牌比购买A品牌多20个的等量关系列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解：设B品牌每个排球的单价为元，则A品牌每个排球的单价为元， 根据题意得， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，符合题意， 答：B品牌每个排球的单价为50（元）． 19. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：）．装置内液体体积为V（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：） 装置内液体体积V（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（）与x（）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为___________ ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据（）与（）满足一次函数关系，使用待定系数法求解即可； （2）先得到每增加，体积增加，再求解高度即可． 【小问1详解】 解：设，代入 和得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当探针刚接触液面时有，此时， 设该装置底面积为S， ∴， ∵， ∴每增加，体积增加， ∴． ∴． 即当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为． 20. 【问题情境】某数学兴趣小组在探究正方形中的动点问题时，进行了如下操作： 如图，在边长为8的正方形中，点、分别是边、上的动点，且满足．连接、交于点，连接，取中点，连接． 【探究发现】 （1）小力在探究中发现无论点、在、边上如何运动，总有．以下是小力的部分证明过程： 证明：四边形是正方形， ，， ． 请你帮助小力完成上述证明过程． （2）小旺在探究的最小值时，发现由（1）可知，又为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，因此求的最小值可转化为求的最小值． 小明提供了以下两种思路： 方法一：设，利用勾股定理建立相关函数表达式进行求解； 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接，通过构造平行四边形进行求解． 请你结合以上思路，或自己思考其他方法，求出的最小值为________，则的最小值为________． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）证明，推出，在中，证明，即可得到； （2）方法一：设，则，．在中，由勾股定理得到，再根据二次函数的性质和直角三角形的性质即可求解； 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接，证明是等腰直角三角形，得到点在的角平分线上，当时，取得最小值，即取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方法一：设，则，． 在中， 由勾股定理得： ， ∵， ∴当时，有最小值32； ∴的最小值为； ∵，M为的中点， ∴． ∴的最小值为， 答：的最小值为；的最小值为． 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即点在的角平分线上， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， 此时是等腰直角三角形， ∵， ∴的最小值为； 同理的最小值为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M在直线上，其横坐标为m，作射线，将射线绕点O顺时针旋转，旋转后的射线交抛物线于点P． （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点P与抛物线顶点重合时，求m的值； （3）延长至点Q，使，连结．设的边与坐标轴相交于点C（点C不与点O重合）． ①当轴时，求的值； ②当的面积与的面积相等时，直接写出m的值． 【答案】（1），顶点坐标 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出的值，即可解答； （2）由题意可得是直角三角形且，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）①证明，得到，再根据，即可解答；②分交轴于点，交轴于点，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可得， ∴是直角三角形且， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 解：①如图，设交轴于点， ∵轴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，当交轴于点时，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； 如图，当交轴于点时，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则， 同理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 令， 解得， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级数学学科试题 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达1600亿元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据1600亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 不等式 的解集是_________． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 12. 如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 13. 甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示．已知两人10次投掷的平均成绩相同．甲、乙两人成绩方差较小的是________． 14. 如图， 中，，以AB为直径的交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，， ．给出下面四个结论： ①； ② ； ③； ④点C是AE的中点． 上述结论中，正确的结论的序号有_________． 三、解答题（共7题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三个书店购书． （1）甲在A书店购书的概率为 ； （2）用列表或画树状图的方法，求甲、乙2名学生不在同一书店购书的概率． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画格点C，使； （2）在图②中画格点D，使； （3）在图③中画格点E，使． 18. 为落实“每日一节体育课”的倡议，力旺中学拟购置一批排球，预算总额设定为3000元．已知A品牌每个排球的单价是B品牌每个排球单价的倍，如果全部购买B品牌，可比全部购买A品牌多买20个．求B品牌每个排球的单价． 19. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：）．装置内液体体积为V（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：） 装置内液体体积V（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（）与x（）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为___________ ． 20. 【问题情境】某数学兴趣小组在探究正方形中的动点问题时，进行了如下操作： 如图，在边长为8的正方形中，点、分别是边、上的动点，且满足．连接、交于点，连接，取中点，连接． 【探究发现】 （1）小力在探究中发现无论点、在、边上如何运动，总有．以下是小力的部分证明过程： 证明：四边形是正方形， ，， ． 请你帮助小力完成上述证明过程． （2）小旺在探究的最小值时，发现由（1）可知，又为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，因此求的最小值可转化为求的最小值． 小明提供了以下两种思路： 方法一：设，利用勾股定理建立相关函数表达式进行求解； 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接，通过构造平行四边形进行求解． 请你结合以上思路，或自己思考其他方法，求出的最小值为________，则的最小值为________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M在直线上，其横坐标为m，作射线，将射线绕点O顺时针旋转，旋转后的射线交抛物线于点P． （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点P与抛物线顶点重合时，求m的值； （3）延长至点Q，使，连结．设的边与坐标轴相交于点C（点C不与点O重合）． ①当轴时，求的值； ②当的面积与的面积相等时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $