精品解析：北京市第四中学2026-2027学年九年级上学期开学测试数学试题

数学练习 学生 须知 1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间100分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效． 一、选择题（每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．里面二次根式即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】A.=2 ，可化简； B. = ，可化简； C. ，是最简二次根式； D. = ，可化简； 故选C 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质. 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 3. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由四边形是正方形，是正三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 4. 下图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（ ） A. 中位数，上四分位数 B. 中位数，下四分位数 C. 众数，上四分位数 D. 众数，下四分位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数、众数、上四分位数、下四分位数的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，视力为和的人数之和为（人）， ∵视力为的人数为人，出现的次数最多， ∴众数为， ∵中位数是将一组数据从小到大排列后，处于中间位置的数，且（人）， ∴中位数为第个数据和个数据的平均数，这两个数据的位置不确定，故不能确定中位数； 下四分位数是将数据从小到大排列后，前一半数据的中位数，即第个数据和第个数据的平均数，这两个数据的位置不确定，故不能确定下四分位数； 上四分位数是将数据从小到大排列后，后一半数据的中位数，即第个数据和第个数据的平均数，这两个数都为，故能确定上四分位数； 综上所述，根据目前已知的数据分析确定的有众数，上四分位数． 5. 如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，得到，结合已知得到，求解即可． 【详解】解：矩形，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， 故． 6. 如图，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线，是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（ ） A. 65 B. 75 C. 85 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移性质将平移至，使转化为，构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解：将点向下平移个单位得到点，连接交于点，过点作于点，此时最短．  平移， ，，   四边形为平行四边形，  ，   最短路线长. 过点作过点的垂线于点， 则水平直角边，垂直直角边， 在中，，   最短路线长为． 7. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点出发沿线段运动到点，小兰从点出发，以相同的速度沿逆时针运动一周回到点，两人的运动路线如图1所示，其中．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点的距离与时间（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（ ） A. 小红的运动路程比小兰的长 B. 两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇 C. 当小红运动到点的时候，小兰已经经过了点 D. 在4.84秒时，两人的距离正好等于的半径 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题． 【详解】解：、由图象可知：小红9.68秒时，到达终点，而小兰17.12秒到达终点，小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意； 、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点距离相等，故本选项不符合题意； 、由小兰到点D需17.12÷2=8.56秒，而7.49秒的时刻两人与点距离相等可知：当小红运动到点的时候，小兰还没有经过了点，故本选项不符合题意； 、当小红运动到点的时候，两人的距离正好等于的半径，此时，故本选项正确； 故选：． 【点睛】此题考查的是根据函数图象，找出正确结论，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象是直线，点，在直线上，且满足，则下列四个推断正确的有（ ） ①点在直线上； ②若直线与直线及轴不能围成一个三角形区域，则； ③若，则； ④若直线与轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积为，则的最小值等于4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先确定直线恒过定点，再结合一次函数性质、代数式变形、三角形面积公式逐一判断各推断． 【详解】解：①将代入，得， ∴点在直线上，①正确； ②直线与及轴不能围成三角形，分两种情况： 若直线与平行，则； 若直线过与轴的交点， 将代入解析式得， 解得， ∴或，②错误； ③∵在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即式子符号与一致， 又∵，， ∴， ∵， ∴，，即， 又， ∴， ∵，且， ∴， ∴，③正确； ④当时，， ∴直线与轴正半轴交点为， 当时， 解得， ∴直线与轴正半轴交点为， 根据题意得，， 解得， 三角形面积， 令，则，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，两边同除以得，当且仅当时取等号， ∴，即的最小值为，④正确． 综上，正确的推断有①③④，共3个． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 10. 已知，是方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可． 【详解】解：对于方程，二次项系数为，常数项为， ∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得． 11. 请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可． 【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件； ，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题． 12. 当时，代数式x2＋2x＋2的值是__________ 【答案】18 【解析】 【分析】首先把x2＋2x＋2化为（x+1）2+1，然后把代入，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：x2＋2x＋2=（x+1）2+1， 当时，原式=． 故答案为：18． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，直线与直线、直线分别交于、两点．若点、的纵坐标分别为、，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别联立与两个一次函数解析式，求出和，再计算的值即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得 故； 根据题意，得， 解得 故； ． 14. 如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据无缝拼接的图形面积不变，可求出正方形的边长，再根据拼接方式找出相等的线段，设，再将其他线段表示出来，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的面积为， ∴正方形的面积为，则正方形的边长为； 如图所示， ， 正方形上方两个三角形由和组成， 下方梯形由四边形和四边形组成， ∵是等腰三角形，且， ∴， 设， 则, ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， 则． 15. 如图，四边形中，，，，，的面积是的面积的两倍、则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质，关键是辅助线的作法； 延长到点，使，连接，作于，通过论证可得，继而是等边三角形，设，可得，利用勾股定理列方程可解． 【详解】解：延长到点，使，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 设 ∵的面积是的面积的两倍 ∴的面积是的面积的两倍 即：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即：． 故答案为：． 16. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 【答案】 ①. 5 ②. 6 【解析】 【分析】根据单循环比赛规则，每个班需与其余5个班各赛一场，每天进行3场比赛，先计算总天数，再根据已知比赛排除重复对阵，推理得到结果． 【详解】解：6个班进行单循环比赛，总比赛场次为，每天同时进行3场比赛，因此总天数为； 根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为： 第一天：， 第二天：， 第三天：， 第四天：， 剩余第五天未进行的比赛为： 因此第五天与（3）班比赛的是（6）班． 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解:       【小问2详解】         18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 19. 如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作于点E，在中根据勾股定理求出的长，由等腰三角形的性质得出，在中根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论． 【详解】连接，过点C作于点E， ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 20. 已知四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：四边形是平行四边形， ． __________ 平分， ． ______________________ ． 又， ______________________ 又， 四边形为平行四边形． 又， 平行四边形是菱形（______________________）（填推理依据）． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）；；；邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据题干信息逐步作图即可； （2）根据题干信息逐步完善推理依据与推理过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且，连接AE交OD于点F，连接OE． （1）求证：； （2）若菱形ABCD的边长为4，，求AE的长． 【答案】 （1）证明：连接EC， ∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC=AC，AD=AB. ∵DE//AC且DE=AC ∴DE=OA=OC ∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形， ∴OE=AD， ∴OE=AB； （2） 【解析】 【分析】(1)连接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=AC，易证得四边形OADE是平行四边形，继而可得OE=AB即可； (2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可. 【详解】（1）略 (2)∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠OCE=90°. ∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，∴AO=AC=2， ∴在矩形OCED中，CE=OD==2 ∴在Rt△ACE中，AE==2 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OADE是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键; 22. 某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】（1） （2） 元或元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【小问1详解】 解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； 【小问2详解】 解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； 【小问3详解】 解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 23. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】（1） （2）的最小值是； 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ； 【小问2详解】 解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 24. 一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小云想利用统计学知识估计照片总数，于是从中随机抽取20张照片，将其编号作为样本，数据整理如下： ．20张照片的编号： 4，8，15，25，34，39，41，48，68，79，85，86，89，91，102，104，110，121，144，147 b．20张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数： 最小值 最大值 平均数 中位数 4 147 72 m （1）写出表中m的值； （2）设照片总数为n，所有照片编号分别为1，2，…，n，这n个数的平均数和中位数均为． ①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数为__________． ②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数为__________， 小云发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是__________（填“”或“”）； （3）小云想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用表示随机抽取的20张照片编号从小到大排序，则从0到的平均间隔长度为，从到的平均间隔长度为，直接写出此时估算出照片的总数（结果取整数）． 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，中位数的实际运用，掌握平均数的计算方法，中位数的计算方法，根据平均数，中位数估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据中位数的计算方法即可求解； （2）①20张照片编号的平均数为，个数的平均数为，由此列式求解即可；②20张照片编号的中位数为，个数的中位数为，由此列式求解即可；根据20张照片编号的最大值为即可求解； （3）根据题意可得20张照片的编号中，从到的平均间隔长度为，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：20张照片的编号是第10，11张照片的编号的平均数， ∴， ∴m的值为； 【小问2详解】 解：①20张照片编号的平均数为，个数的平均数为， ∴， 解得，； ②20张照片编号的中位数为，个数的中位数为， ∴， 解得，； ∵20张照片编号的最大值为，且， ∴不合理的结果是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：从0到的平均间隔长度为，从到的平均间隔长度为， 根据题意，20张照片的编号中， ∴， 解得，， ∴估算出照片的总数． 25. 某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． （1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· （2）根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； （3）现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】（1）， （2），7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【小问1详解】 表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． 【小问2详解】 由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． 【小问3详解】 该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 26. 已知函数的图象为L，L经过点和． （1）求b，c的值； （2）过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 【答案】（1）b的值为，c的值为1 （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将点和分别代入图象为L的函数解析式即可求得结果； （2）①先将已知条件代入，得到图象为L的函数解析式，点T的坐标和直线的解析式，再分别令，求得点M和点N的坐标，从而利用纵坐标之差求出线段的长度； （3）根据题意先分析出和的图象，再由点M和点N不重合得到，从而分情况讨论出线段的表达式，最后对线段进行分类讨论，结合图象并利用解一元一次不等式求得a的取值范围． 【小问1详解】 解：∵L经过点， ∴，解得：， 又∵L经过点，且， ∴，解得：， ∴b的值为，c的值为1． 【小问2详解】 解：①由（1）知，， 当，时， ，，直线为， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴； ②由题意知， 如图，当时： ∴与均呈上升趋势， ∵点M和点N不重合， ∴， 又∵过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N， 如图，此时分情况讨论： （i）当时，； （ii）当时，， 同理，如图，当时，与时，线段的表达式相同， 对于线段的长进行分类讨论： （i）如图，当时， 此时恒成立，存在最小值，在取得， ∴； （ii）如图，当时， ∴， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是； （iii）如图，当时， ∴无论和在任何位置都肯定不存在最小值， ∴此时恒不成立， 综上所述，a的取值范围是． 27. 如图1，中，，点在上，且满足，点在射线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． （1）请直接写出与的数量关系； （2）求证：点是的中点； （3）如图2，取的中点，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 延长至，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是的中点. （3）解：，理由如下： 如图，连接， ∵是的中点，的中点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可； （2）如图，延长至，使，连接，证明，，可得，进一步可得，证明，延长至，使，再结合平行四边形的性质可得结论. （3）如图，连接，证明，，再证明，进一步可得结论. 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和线段，如果存在点使得以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则称是线段和线段的“玉兰点”． （1）已知，，，．则在，，中，是线段和线段的“玉兰点”的是___________________； （2）已知，，，．如果存在线段和线段的“玉兰点”，则所有可能的取值为___________________； （3）已知点．如果对于轴正半轴上的任意一点，总能找到轴上长度为的线段以及轴上长度为的线段，使得线段和线段的“玉兰点”位于线段上，则的最大值为___________________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“玉兰点”的定义与利用坐标求线段的长度，利用全等三角形的判定确定答案； （2）利用距离公式与全等三角形的性质确定点的坐标，从而确定可能的取值； （3）先根据全等三角形的面积相等求出点横纵坐标之间的关系，再根据点到轴的最大距离为1，到轴的最大距离为确定的取值范围，即找到点的运动轨迹；再将点的坐标设出来，将直线的解析式求出来；因为点是两条直线的交点，联立两个解析式求出的表达式。最后根据的取值范围求解． 【小问1详解】 解：由点的坐标可知：， , ∴， ∴, ∴点满足题意； ， ∵， ∴与不全等， ∴点不满足题意； ， ∴, ∴， ∴点满足题意； 综上所述，点与是线段和线段的“玉兰点”． 【小问2详解】 解：由题意可知， 设线段和线段的“玉兰点”为点， ∵与全等， ∴两三角形的对应边相等； 则必有一边为，必有一边为， 当，点的运动轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 如图所示， ①当点是在过点平行于轴的直线上时，且点三点共线时， ，此时点的坐标为， ∴； ②当点是在过点平行于轴的直线上时，且点三点共线时， ，此时点的坐标为， ∴，解得； 当，点的运动轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 如图所示， ， ①点是在过点平行于轴的直线上时，且点三点共线时， ，此时点的坐标为， ∴； ②点是在过点平行于轴的直线上时，且点三点共线时， ，此时点的坐标为， ∴，解得； 综上所述，所有可能的值为． 【小问3详解】 解：设线段和线段的“玉兰点”为点， ∵和全等， ∴， 由题意知， ∴，解得，即， 又∵点在轴的正半轴，求的最大值， ∴点在第一象限内，且， ∴， ∵和全等，， ∴必有一边为，必有一边为， ∴点到轴的距离小于等于1，到轴的距离小于等于， ∴， 即点的运动轨迹为； 设点的坐标为，直线的解析式为， 将点，分别代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴联立，解得， 当取得值无限大时，无限接近0， 又∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 学生 须知 1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间100分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效． 一、选择题（每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 3. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 下图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（ ） A. 中位数，上四分位数 B. 中位数，下四分位数 C. 众数，上四分位数 D. 众数，下四分位数 5. 如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线，是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（ ） A. 65 B. 75 C. 85 D. 90 7. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点出发沿线段运动到点，小兰从点出发，以相同的速度沿逆时针运动一周回到点，两人的运动路线如图1所示，其中．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点的距离与时间（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（ ） A. 小红的运动路程比小兰的长 B. 两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇 C. 当小红运动到点的时候，小兰已经经过了点 D. 在4.84秒时，两人的距离正好等于的半径 8. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象是直线，点，在直线上，且满足，则下列四个推断正确的有（ ） ①点在直线上； ②若直线与直线及轴不能围成一个三角形区域，则； ③若，则； ④若直线与轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积为，则的最小值等于4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 已知，是方程的两个根，则___________． 11. 请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 12. 当时，代数式x2＋2x＋2的值是__________ 13. 在平面直角坐标系中，直线与直线、直线分别交于、两点．若点、的纵坐标分别为、，则___________． 14. 如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 15. 如图，四边形中，，，，，的面积是的面积的两倍、则的长为________． 16. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，四边形中，，，求四边形的面积． 20. 已知四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：四边形是平行四边形， ． __________ 平分， ． ______________________ ． 又， ______________________ 又， 四边形为平行四边形． 又， 平行四边形是菱形（______________________）（填推理依据）． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且，连接AE交OD于点F，连接OE． （1）求证：； （2）若菱形ABCD的边长为4，，求AE的长． 22. 某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 23. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 24. 一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小云想利用统计学知识估计照片总数，于是从中随机抽取20张照片，将其编号作为样本，数据整理如下： ．20张照片的编号： 4，8，15，25，34，39，41，48，68，79，85，86，89，91，102，104，110，121，144，147 b．20张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数： 最小值 最大值 平均数 中位数 4 147 72 m （1）写出表中m的值； （2）设照片总数为n，所有照片编号分别为1，2，…，n，这n个数的平均数和中位数均为． ①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数为__________． ②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数为__________， 小云发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是__________（填“”或“”）； （3）小云想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用表示随机抽取的20张照片编号从小到大排序，则从0到的平均间隔长度为，从到的平均间隔长度为，直接写出此时估算出照片的总数（结果取整数）． 25. 某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． （1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· （2）根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； （3）现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 26. 已知函数的图象为L，L经过点和． （1）求b，c的值； （2）过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 27. 如图1，中，，点在上，且满足，点在射线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． （1）请直接写出与的数量关系； （2）求证：点是的中点； （3）如图2，取的中点，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和线段，如果存在点使得以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则称是线段和线段的“玉兰点”． （1）已知，，，．则在，，中，是线段和线段的“玉兰点”的是___________________； （2）已知，，，．如果存在线段和线段的“玉兰点”，则所有可能的取值为___________________； （3）已知点．如果对于轴正半轴上的任意一点，总能找到轴上长度为的线段以及轴上长度为的线段，使得线段和线段的“玉兰点”位于线段上，则的最大值为___________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $