5.3 实际问题与一元一次方程 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元一次方程”，涵盖配套、工程、销售盈亏、比赛积分及方案选择问题。通过工厂参观、图书整理、打折销售等生活情境导入，衔接方程解法，以问题分析、列表梳理为支架，引导学生从实际问题抽象等量关系建立方程模型。 其亮点在于以生活问题为载体，通过列表分析、分类讨论等方法，培养学生数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（逻辑推理与运算）、数学语言（建立方程模型）。如配套问题用表格呈现生产关系，方案选择通过分类比较费用，助力学生提升实际问题解决能力，也为教师提供结构化教学流程与丰富例题。

5.3 实际问题与一元一次方程 课时1 配套问题与工程问题 能够找出配套问题、工程问题中的已知量和未知量，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示题中的相等关系. 掌握用一元一次方程解决实际问题的方法与步骤，获得分析实际问题的思路与方法. 1 2 学习目标 某中学学生暑假到工厂参观，若车间共48位工人，每人每分钟可生产5支中性笔套或3支中性笔芯，某中性笔套盒有1支中性笔套和2支中性笔芯.他们如何配合，才能使生产的笔套和笔芯刚好配套？ 情境导入 3 前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用．生活中，有很多需要进行配套的问题，如餐桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗? 新知探究 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 问题1：题中哪些是已知量？哪些是未知量？ 配套问题 已知量：22名工人，每人每天生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母； 未知量：安排生产螺钉的人数和安排生产螺母的人数. 典型例题 问题2：题中“每天生产的螺钉和螺母刚好配套”是什么意思呢？ 每天生产的螺钉和螺母刚好配套”也就是每天工人生产螺钉数量的2倍是每天工人生产螺母的数量，即当每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套. 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 配套问题 典型例题 问题3：每天生产的螺母数量如何求呢？每天生产的螺钉数量又如何求呢？ 每天生产的螺母数量=参与生产螺母的工人数量×2000； 如果设 𝑥名工人生产螺钉，怎样列方程？ 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 配套问题 每天生产的螺钉数量=参与生产螺钉的工人数量×1200； 典型例题 列表分析： 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺钉 𝑥 1200 螺母 2000 × ＝ 1200 𝑥 人数和为22人 22－𝑥 螺母总产量是螺钉的2倍 × ＝ 2000(22－𝑥) 等量关系：螺母总量 = 螺钉总量×2 典型例题 8 解：设应安排𝑥名工人生产螺钉，(22－𝑥) 名工人生产螺母. 依题意，得2000(22－𝑥)＝2×1200𝑥 . 解方程，得𝑥＝10. 所以22－𝑥＝12. 答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母. 列表分析： 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺钉 𝑥 1200 螺母 2000 × ＝ 1200 𝑥 22－𝑥 × ＝ 2000(22－𝑥) 典型例题 9 列表分析： 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数 螺钉 𝑥 1200 螺母 2000 1200𝑥 22－𝑥 2000(22－𝑥) 1200𝑥 法二：设应安排𝑥名工人生产螺钉，(22－𝑥)名工人生产螺母. 依题意，得 解方程，得𝑥＝10. 所以 2－𝑥＝12. 典型例题 10 生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路： 1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； 2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 要点归纳 某中学学生暑假到工厂参观，若车间共48位工人，每人每分钟可生产5支中性笔套或3支中性笔芯，某中性笔套盒有1支中性笔套和2支中性笔芯.他们如何配合，才能使生产的笔套和笔芯刚好配套？ 若设其中𝑥人生产笔套，则生产笔芯的人数为 人，根据题意，可列方程 ． (48－𝑥) 2×5𝑥＝3(48－𝑥) 回看开头的题目： 新知探究 回答下列问题： 1. 一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_____. 2. 一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是___________，此时剩余的工作量是________________. 工程问题 新知探究 13 2. 工作时间=___________÷____________； 工作量、工作时间、工作效率的关系： 1. 工作量=___________ × ____________； 3. 工作效率=___________÷____________. 工作时间 工作效率 工作量 工作效率 工作量 工作时间 为简便起见，通常设总工作量为“1”. 2. 如果工程为多方合作完成，则合作完成时的工作效率是各方的工作效率相加. 1. 如果已知工作时间，那么“时间的倒数”就是工作效率. 要点归纳 例2 整理一批图书，由一人做需40 h完成，现在计划先由一些人整理4h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作 ，假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理 问题：题中有哪些数量？相等关系是什么？如何列方程求解？ 本题是工程问题，这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.在此基础上，学生小组合作探究. 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人1h完成的工作量）为40𝑥,𝑥人先整理4h完成的工作量为，增加2人后再整理8h完成的工作40量为，这两个工作量之和应等于总工作量. 典型例题 解：设先安排𝑥人整理4h. 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程 =1 解方程，得 𝑥=2 答：应先安排2人进行整理. 这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题. 例2 整理一批图书，由一人做需40 h完成，现在计划先由一些人整理4h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作 ，假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理 典型例题 16 用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？ ①审题，分析题目中的数量关系； ②设适当的未知数并表示未知量； ③根据题目中的相等关系列方程； ④解这个方程； ⑤检验所得的未知数的值是否为所列方程的解，以及方程的解是否符合题意； ⑥根据题意写出答案. 要点归纳 17 解：设剩下的部分需要 𝑥 小时完成，根据题意得： 解得 𝑥 = 6. 答：剩下的部分需要 6 小时完成. 一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？ 基础练习 实际问题与 一元一次方程 配套问题 1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； 2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 工程问题 工作量 = 工作效率×工作时间. 工作总量 = 各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量 = 各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量 = 各工作者的工作量之和. 课堂小结 1.某校社团课28名学生制作长方体礼品盒,每人每小时可做60个侧面或90个底面,一个礼品盒要一个侧面和两个底面组成,为了使每小时制作的成品刚好配套,应该分配多少名学生做侧面,多少名学生做底面?设分配𝑥名学生做侧面,则可列方程为(　 　) A.60𝑥=2×90(28-𝑥)　 B.60𝑥=90(28-𝑥) C.90𝑥=60(28-𝑥)　 D.2×60𝑥=90(28-𝑥) 2.某服装车间有54名工人,每人每天可加工上衣8件或裤子10条,应怎样分配人数才能使每天生产的上衣和裤子配套?设有𝑥人做上衣,则做裤子的人数为_______人,根据题意,可列方程为________________,解得𝑥=______.  D 54-𝑥 8𝑥=10(54-𝑥) 30 随堂小练 查漏补缺 3.某班组每天生产60个零件才能在规定时间内完成一批零件生产任务,实际该班组每天比计划多生产了4个零件,结果比规定的时间提前5天完成,若设该班组要完成的零件生产任务为𝑥个,则可列方程为 (　 　) A.-=5　 B.-=5 C.-=5　 D.-=5 C 随堂小练 查漏补缺 4.某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付,若全部由1个工人生产需要150天才能完成.为了快速完成生产任务,现计划由一部分工人先生产3天,然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务.假设每名工人的工作效率相同. (1)前3天应先安排多少多工人生产? (2)增加6名工人一起工作后,若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件,如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统,要使每天生产的A型和B型配件刚好配套,应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少人? 随堂小练 能力提升 解:(1)设前3天应先安排𝑥名工人生产. 根据题意,得+=1, 解得𝑥=15. 答:前3天应先安排15名工人生产. (2)由题意,得总共有15+6=21名工人生产. 设安排a名工人生产A型配件,则安排(21-a)名工人生产B型配件. 根据题意,得2×600a=3×650(21-a), 解得a=13,21-13=8. 答:应安排13名工人生产A型配件,安排8名工人生产B型配件. 随堂小练 能力提升 5.3 实际问题与一元一次方程 课时2 销售中的盈亏问题 能够分析打折销售中的数量关系，利用成本(进价)、售价、标价、利润、利润率之间的关系，列方程解决实际问题. 体验运用方程解决实际问题的过程,培养抽象、概括、分析问题和解决问题的能力. 1 2 学习目标 生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息，你知道它们的意思吗？ 情境导入 1.作为消费者,在销售中你最关心的是什么? 2.如果你是商家,在销售中你最关心什么? 折扣 利润 情境导入 销售价占标价的百分率. 例如某种服装打7折即按标价的70%出售. 购进商品时的价格(有时也叫进价). 在销售商品时的售出价(有时称成交价). 在销售时标出的价(有时称定价). 理解销售问题中的基本数量并分析它们之间的相等关系. 成本价： 售价： 标价： 打折： 利润： 利润率(盈利率)： 在销售商品的过程中的纯收入. 即：利润=售价-成本价 利润占进价的百分率. 即：利润率= ×100% 利润 成本价 新知探究 (1)原价100元的商品打8折后价格为______元； (2)原价100元的商品提价50%后的价格为_____元； (3)进价80元的商品以100元卖出，利润率是________； (4)原价𝑥元的商品打6折后价格为_______元； (5)原价𝑥元的商品提价40%后的价格为_______元； (6)原价100元的商品提价p%后的价格为______________元. 80 150 25% 0.6𝑥 1.4𝑥 100(1+p%)𝑥 思考： 新知探究 思考：你估计盈亏情况是怎样的？ 分析：有同学可能认为，一件盈利25%，另一件亏损25%，合起来是不盈不亏；实际上，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元. 【探究】一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 新知探究 思考：销售的盈亏决定于什么？总售价是？ 总成本(两件衣服的成本之和)是？ 总售价(120元)＞总成本 总售价(120元)＜总成本 总售价(120元)＝总成本 盈 利 亏 损 不盈不亏 【探究】一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 新知探究 现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？ 盈利的一件 解：设盈利25%的那件衣服进价是𝑥元. 根据题意，得𝑥+0.25𝑥=60 解方程，得𝑥=48 解：设亏损25%的那件衣服进价是𝑦元. 根据题意，得𝑦-0.25𝑦=60 解方程，得𝑦=80 亏损的一件 两件衣服的成本（即进价）. 新知探究 两件衣服的进价是 𝑥＋𝑦＝48＋80＝128(元) 而两件衣服的售价是 60＋60＝120(元) 因为进价大于售价， 由此可知卖这两件衣服总共亏损8元. 【探究】一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 新知探究 【思考】如果商店将两件进价60元的衣服售出，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 60+60×25%=75 盈利的一件 亏损的一件 60-60×25%=45 两件衣服的进价是:60＋60＝120(元) 而两件衣服的售价是75＋45＝120(元) 因为进价等于售价， 由此可知卖这两件衣服不盈不亏. 新知探究 销售中的盈亏问题的重要关系： 1.售价、进价、利润的关系：利润=售价-成本价(进价) 2.进价、利润、利润率的关系： 3.标价、折扣数、商品售价的关系： 4.商品售价、进价、利润率的关系： 商品售价=商品进价×(1+利润率) 利润率= ×100% 或 利润=成本价(进价)×利润率 利润 成本价 商品售价=标价× 折扣数 10 要点归纳 35 一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元? 解：设这件夹克的成本价为𝑥元，那么: 这件夹克的标价为______________元; 这件夹克的实际售价用𝑥表示为________________元: 由此，列出方程得:____________________; 解方程,得𝑥=______; 答:这件夹克的成本价是_____元. (1+50%)𝑥 (1+50%)𝑥·80% (1+50%)𝑥·80%=60 50 50 基础练习 实际问题与 一元一次方程 利润 商品利润= 商品售价－商品进价 利润率 折扣 商品利润 利润率 = 商品进价 ×100% 商品进价 商品售价 = ×(1 + 利润率) 折扣数 商品售价 = 标价× 10 课堂小结 1.(1)一件衣服的进价为200元,售价为250元,利润是________元,利润率是__________.  (2)一件衣服的进价为150元,利润为30元,售价是__________元,利润率是__________.  (3)一件衣服的进价为120元,利润率为25%,售价是__________元,利润是________元.  (4)一件衣服的售价是360元,利润率为20%,进价是__________元,利润是________元.  50 25% 180 20% 150 30 300 60 随堂小练 查漏补缺 2.超市店庆促销,某种书包原价每个𝑥元,第一次降价打八折,第二次降价每个又减10元,经两次降价后售价为90元,则得到方程 (　 　) A.0.8𝑥-10=90　 B.0.08𝑥-10=90　 C.90-0.8𝑥=10　 D.𝑥-0.8𝑥-10=90 3.某人以八折的优惠价买了一套服装,比原价省了25元,则买这套服装实际用了(　 　) A.31.25元 B.60元 C.125元 D.100元 A D 随堂小练 查漏补缺 4.一件商品提价25%后,想恢复原价,则需降价 (　 　) A.25%　 B.20% C.30%　 D.不能恢复到原价 5.某甜品店进行促销活动,同一种甜品第一件正价,第二件半价,现购买同一种甜品2件,相当于这两件甜品售价与原价相比共打了(　 　) A.五折　 B.五五折 C.七折　 D.七五折 B D 随堂小练 能力提升 6. 已知甲、乙两件服装的成本共500元,服装店分别以30%和20%的利润率定价后进行销售,该服装店共获利130元,甲、乙两件服装的成本各是多少元? 解:设甲服装的成本为𝑥元, 由题意,得30%𝑥+20%(500-𝑥)=130, 解得𝑥=300, 则500-𝑥=200. 答:甲、乙两件服装的成本分别为300元和200元. 随堂小练 能力提升 7.某电器销售商为促销产品,将某种电器打折销售,若按标价的六折出售,每件将亏本36元;若按标价的八折出售,每件将盈利52元. (1)这种电器每件的标价是多少元? (2)为保证盈利为10%,可打几折出售? 解:(1)设这种电器每件的标价为𝑥元, 由题意,得0.6𝑥+36=0.8𝑥-52,解得𝑥=440. 答:这种电器每件的标价是440元. (2)这种电器每件进价为0.6×440+36=300(元), 300×(1+10%)=330(元),330÷440=0.75. 答:可打七五折出售. 随堂小练 能力提升 5.3 实际问题与一元一次方程 课时3 比赛积分问题 通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力. 会分析表格中的数据,从数据中找出隐含的条件 1 2 学习目标 你喜欢看比赛吗？你对各种比赛中的积分规则有了解吗？ 情境导入 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 某次篮球联赛积分榜如表所示： （1）胜一场和负一场各积多少分？ （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 新知探究 46 思考：你能从表格中了解到哪些信息？ 总积分=每队胜场总积分＋负场总积分； 总比赛场次=每队的胜场数＋负场数； 胜场总积分=胜1场得分×胜场数… 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 新知探究 问题1 胜一场和负一场各积多少分？ 由钢铁队得分可知负一场积1分. 你能进一步算出胜一场积多少分吗？ 分析：设胜一场积x分,根据表中其他任何一行可以列方程求解,这里以第一行为例. 解：设胜一场积 𝑥 分，则有 10𝑥＋1×4＝24. 解得𝑥＝2. 经检验，𝑥＝2 符合题意. 所以，胜一场积 2 分. 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 新知探究 问题2 用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. 解：若一个队胜 m 场，则负 (14－m) 场，胜场积分为 2m，负场积分为 14－m，总积分为 2m + (14－m) = m + 14. 即胜 m 场的总积分为 (m + 14) 分. 新知探究 问题3 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 解：设一个队胜 𝑥 场，则负 (14－𝑥) 场， 依题意得 2𝑥＝14－𝑥. 解得 𝑥＝. 𝑥表示所胜的场数，必须是整数，所以𝑥＝不符合实际. 由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分. 注意：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际. 如题中𝑥的值必须是整数，所以结果不符合实际，由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分. 新知探究 50 回溯例题的探究过程，对于我们使用方程解决实际问题有什么启发？ 1.用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义. 2.利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断. 对于图表信息题目，它的一般解题步骤是什么呢？ ①识图表：整体阅读，搜素图表资料中的有效信息，关注数据变化及图 表细节的暗示； ②用图表：通过阅读、观察、分析图表中信息，找出等量关系； ③建模型：找出等量关系后，建立合理的方程模型，解决问题， 要点归纳 例 学校组织知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是 5 名参赛者的得分情况: 参赛者 𝑎 B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 （1）由表格知，答对一题得______分，答错一题得_____分. 5 -1 （2）参赛者 F 得了 82 分，他答对了几道题？ 解：设他答对了𝑥道题，则答错了(20-𝑥)道题. 根据题意，得5𝑥-(20-𝑥)=82，解得𝑥=17. 答：他答对了 17 道题. 典型例题 （3）参赛者G说他得80分，你认为可能吗？ 解方程，得 解：设参赛者G答对𝑥道题. 检验，不符合题意，即参赛者G得80分不可能. 例 学校组织知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是 5 名参赛者的得分情况: 参赛者 𝑎 B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 典型例题 在一次数学测验中，老师出了25道选择题，每个题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的，老师的评分标准是：答对一题给4分，不答或答错一题倒扣1分，问： （1）一名同学得了90，这位同学答对了几道题？ 解：设该同学答对𝑥道题，根据题意答错（25-𝑥）道题. 依据题意得：4𝑥-（25-𝑥）=90 解得：𝑥=23 答：这位同学答对了23道题. 基础练习 解：设该位同学答对𝑦道题，根据题意答错（25-𝑦）道题. 解得：𝑦=17 答：这位同学答对了17道题. 依据题意得：4𝑦-（25-𝑦）=60 在一次数学测验中，老师出了25道选择题，每个题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的，老师的评分标准是：答对一题给4分，不答或答错一题倒扣1分，问： （2）一名同学得了60，这位同学答对了几道题？ 基础练习 实际问题与 一元一次方程 表格中的数量关系 解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题. 注意 用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义． 课堂小结 1.父亲与小强下棋(设没有平局),父亲胜一盘记2分,小强胜一盘记3分,下了10盘后,两人得分相等,则小强胜的盘数是(　 　) A.2盘 B.3盘 C.4盘 D.5盘 2.一份试卷共25道选择题,规定答对一道题得4分,答错或不答一题扣1分,有人得了80分,则此人答对了________道题.  C 21 随堂小练 查漏补缺 3.现有一摞数学书,总厚度为120 cm,下表是拿走数学书本数与余下书的厚度之间的关系: 根据此表提供的信息,估计数学书一共有(　 　) A.57本 B.58本 C.59本 D.60本 D 随堂小练 查漏补缺 4.中国足球超级联赛规定:每队胜场得3分,平场得1分,负场得0分.某球队胜的场数比平的场数的4倍还多1场,共得了68分,则该队共平了 (　 　) A.3场 B.4场 C.5场 D.6场 C 5.某电视台举行知识竞赛,共设25个选择题,每题必答,答对一题得4分,答错一题得-1分.下列说法中错误的是(　 　) A.可能会有参赛者低于0分 B.参赛者得60分,他答对了17道题 C.答对24个题的得分是答对12个题得分的2倍 D.每个参赛者的得分都是5的倍数 C 随堂小练 查漏补缺 6.学校在科技节期间组织“自然科学知识”竞赛活动,共设24道选择题,各题分值相同,每题必答. 参赛者 答对题数 答错题数 得分 王亮 24 0 120 张倩 23 1 114 刘强     96 李丽     82 陈佳 14 10 60 上表记录了5位参赛者的得分情况. (1)刘强答对了几道题? (2)李丽的得分是否有误?为什么? 随堂小练 能力提升 (1)刘强答对了几道题? 解:(1)因为王亮答对24题得了120分,所以答对一题得分120÷24=5(分), 设答错一题扣𝑥分, 由张倩的分数可得23×5-𝑥=114, 解得𝑥=1,即答错一题扣1分. 设刘强答对𝑦道题,则答错(24-𝑦)道题, 由题意,得5𝑦-(24-𝑦)=96, 解得𝑦=20. 答:刘强答对了20道题. 随堂小练 能力提升 (2)李丽的得分有误. 理由:设李丽答对𝑎道题,则答错(24-𝑎)道题, 由题意,得5𝑎-(24-𝑎)=82, 解得𝑎=, 因为不是整数, 所以李丽的得分有误. (2)李丽的得分是否有误?为什么? 随堂小练 能力提升 5.3 实际问题与一元一次方程 课时4 方案选择问题 能够用一元一次方程解决方案选择问题. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力. 1 2 学习目标 现在空调非常普及，你知道空调的收费标准吗？ 小华爸爸这几天又高兴又发愁，高兴的是空调价格大降价，发愁的是不知如何选择不同能耗的空调，请同学们帮忙出主意. 情境导入 【探究】购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.他打算从两款空调中选购一台，表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kw·h） 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 不同空调的综合费用比较 新知探究 空调的能效等级主要根据制冷效率来划分，是衡量空调性能的重要参数. 能效等级越高，意味着在相同的制冷或制热效果下，空调的能耗越低，即越省电. 新知探究 分析:空调的综合费用 = 空调的售价 + 电费 确定不变 与使用时间有关 如何计算这两款空调的综合费用？ 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kw·h） 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 新知探究 如何计算这两款空调的综合费用？ 分析:在这个问题中,选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关，设空调的使用年数是t， 1级能效空调的综合费用是 3000+0.5×640t =3000+320t 3级能效空调的综合费用是2600+0.5×800t =2600+400t 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kw·h） 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 新知探究 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等. 列方程 3000+320t=2600+400t 解得 t=5 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即 (3000+320t)+(2600+400t) 也就是 3000+320t+80(t-5) 这样，当t＜5时，80（t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 新知探究 70 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低. 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10 年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算. 通常，1级能效空 调既节能又省钱！ 新知探究 审题 借助数轴 设未知数 用未知数表示费用 列表分析 列方程 费用相同 分类讨论 更优惠 找不等关系 比较大小 要点归纳 例 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒10元,经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠．该班需买球拍6副,乒乓球若干盒（不小于6盒）. （1）当购买多少盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样？ 解:（1）设当购买乒乓球𝑥盒时,两种优惠办法付款一样.根据题意，得 解得𝑥=36. 答：当购买36盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样. 40×6+10(𝑥-6)=(40×6+10𝑥)×90%. 典型例题 （2）当购买20盒乒乓球时,请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ 当购买20盒乒乓球时， 去甲商店需付款：40×6+10×(20-6)=380（元） 去乙商店需付款：(40×6+10×20)×90%=396（元) 因为380元<396元，所以当购买20盒乒乓球时, 去甲商店购买划算. 例 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒10元,经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠．该班需买球拍6副,乒乓球若干盒（不小于6盒）. 典型例题 去甲商店需付款：40×6+10(40-6)= 580（元) 因为576元<580元，所以当购买40盒乒乓球时, 去乙商店购买划算. 去乙商店需付款：(40×6+10×40)×90%=576(元) 例 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒10元,经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠．该班需买球拍6副,乒乓球若干盒（不小于6盒）. （3）当购买40盒乒乓球时,请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ 典型例题 （1）解决这种问题的关键是什么？ （2）解决这种问题的步骤是什么？ 找分界点，确定相等关系 观察，分析，判断，解答，验证 要点归纳 实际问题与 一元一次方程 核心因素 解决空调综合费用问题需要明确“哪种空调更省钱”与“使用时间”有关. 解决方法 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案. 课堂小结 1.假期张老师和王老师带领学生乘车外出参加实践活动,甲、乙两车的票价一样.甲车主说“每人八折”,乙车主说“学生九折,老师减半”,张老师计算了一下,不论坐谁的车,费用都一样,则张老师和王老师带的学生人数为 (　 　) A.6名 B.7名 C.8名 D.9名 2.为配合某市组织的“我读书,我快乐”读书节活动,某书店推出一种优惠卡,每张卡售价20元,凭卡购书可享受八折优惠.小丽同学到该书店购书,她先买优惠卡再凭卡付款,结果节省了10元.若此次小丽同学不买卡直接购书,则她需付款_________元.  A 150 随堂小练 查漏补缺 3.某市按以下规定收取每月水费:若每月每户用水不超过20 m3,则每立方米按1.2元收费;若超过 20 m3,则超过部分每立方米按2元收费.若某户居民某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元,则这个月共用多少立方米的水?设这个月共用𝑥 m3的水,下列方程中正确的是 (　 　) A.1.2×20+2(𝑥-20)=1.5𝑥 B.1.2×20+2𝑥=1.5𝑥 C.𝑥=1.5𝑥 D.2𝑥-1.2×20=1.5𝑥 A 随堂小练 查漏补缺 4.新华书店推出优惠方案:①一次性购书不超过100元,不享受优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元,一律打九折;③一次性购书超过200元,一律打八折.若李明同学一次性购书付款162元,则李明同学所购书的原价可能是 (　 　) A.180元 B.202.5元 C.180元或202.5元 D.180元或200元 C 随堂小练 查漏补缺 5.梦洁和嘉丽同时从A地去往B地,她们乘坐了两辆不同价格的出租车,梦洁乘坐的是起步4公里8元,以后每公里收1.2元;嘉丽乘坐的是起步3公里6元,以后每公里收1.3元,结果发现两人的车费仅差1.5元,则两地之间的距离是 (　 　) A.20公里　 B.21公里 C.25公里　 D.26公里 D 随堂小练 查漏补缺 6.某班准备举行一次羽毛球比赛.去商店购买羽毛球拍和羽毛球,每副球拍25元,每只球2元,甲商店说:“羽毛球及球拍都打九折”,乙商店说:“买一副球拍赠送2只羽毛球”. (1)班上准备买2副羽毛球拍及4只羽毛球,问到哪家商店购买合算? 解：(1)到甲商店购买所需费用为 25×0.9×2+2×0.9×4=52.2(元), 到乙商店购买所需费用为25×2=50(元). 因为52.2>50, 所以到乙商店购买合算. 随堂小练 能力提升 6.某班准备举行一次羽毛球比赛.去商店购买羽毛球拍和羽毛球,每副球拍25元,每只球2元,甲商店说:“羽毛球及球拍都打九折”,乙商店说:“买一副球拍赠送2只羽毛球”. (2)若必须买2副羽毛球拍,则应当买多少只羽毛球时到两家商店才一样合算? (2)设若必须买2副羽毛球拍,则应当买𝑥只羽毛球时到两家商店才一样合算. 依题意,得25×0.9×2+2×0.9𝑥=25×2+2(𝑥-4), 解得𝑥=15. 答:若必须买2副羽毛球拍,则应当买15只羽毛球时到两家商店才一样合算. 随堂小练 能力提升 (3)设购买𝑥只羽毛球. 甲商店的购买费用为25×0.9×2+2×0.9𝑥=1.8𝑥+45, 乙商店的购买费用为25×2+2(𝑥-4)=2𝑥+42=1.8𝑥+45+0.2(𝑥-15), 所以当𝑥<15,0.2(𝑥-15)是负数,到乙商店更合算; 当𝑥>15,0.2(𝑥-15)是正数,到甲商店更合算. 答:当购买羽毛球的数量少于15只时,到乙商店更合算;当购买羽毛球的数量超过15只时,到甲商店更合算. (3)在(2)的条件下,当买多少只羽毛球时到甲商店更合算?当买多少只羽毛球时到乙商店里更合算? 随堂小练 能力提升 $