5-2 解一元一次方程 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦解一元一次方程，系统涵盖合并同类项、移项、去括号、去分母四大核心步骤。课堂导入从购买计算机、分图书等现实问题切入，引导学生发现数量关系，知识点从基础到复杂递进，搭建连贯学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过实例剖析和能力训练发展数学思维，如分图书问题引导列方程、行程问题强化模型意识。采用问题驱动和步骤小结法，助力学生掌握解题逻辑，教师教学更具条理性与高效性。

解方程 模块一： 合并同类项 1．合并同类项： （1）3x＋2x－x＝_______； （2）2a＋5a－4a＝______． 2 ．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的____，字母连同它的指数和________。 4x 3a 和 不变 3．说一说等式的性质。 等式的性质1：如果a＝b，那么a±c＝b±c 等式的性质2：如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b，c≠0，那么 4．利用等式的性质解下列方程． （1）x－5＝6； （2） 　　　　　 解：（1）方程两边加 5，得 x－5＋5＝6＋5．于是，x＝11． （2）方程两边乘 3，得 3× ＝5×3．于是，x＝15．　　 　　解方程就是把方程逐步转化为 x＝m（其中 m 是常数）的形式． x＋2x＋4x＝140 问题：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ 前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台 分析：设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台. 根据 “三年共购买计算机140台”,可以得到如下相等关系： “各部分量的和＝总量” 是一个基本的相等关系. 思考：上面解方程中 “合并同类项”起了什么作用？ 合并同类项是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x＝m（其中m为常数）的形式. 例1：解下列方程 (1) ；(2) 解:(1)合并同类项，得 系数化为1，得 解：(2)合并同类项，得 系数化为1，得 13 根据等式的性质解一元一次方程时，得到的x=m就是方程的解（想一想为什么）.今后，检验环节通常可以省略. 你能说一说这列数的规律吗？ 第1个数＋第2个数＋第3个数＝－1701 例2：有一列数1，−3，9，− 27，81，−243，…，其中第n个数是(−3)n−1（n>1），如果这列数中某三个相邻数的和是−1701，那么这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与−3的乘积． 解：设所求三个数中的第1个数是x，则后两个数分别是−3x，9x． 由三个数的和是− 1701，得 x－3x＋9x＝－1701 合并同类项，得 7x＝－1701 系数化为1，得 x＝－243 所以 －3x＝729 9x＝－2187 答：这三个数分别为－243，729，－2187 . 第1个数＋第2个数＋第3个数＝－1701 1.下列各方程中，合并同类项正确的是( ) A.由，得 B.由，得 C.由，得 D.由，得 D 2.三个连续偶数的和是-72，其中最小的一个偶数是( ) A.-22 B.-24 C.-26 D.-28 C 3.解下列方程 (1)3x＋2x－x＝－12； (2)2x－4x＝－6＋7 解：(1)合并同类项，得 4x＝－12 系数化为1，得 x＝－3 解：(2)合并同类项，得 －2x＝1 系数化为1，得 x＝ 4．解下列方程 (1) (2) 解：（1）合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； （2）合并同类项，得 系数化为1，得 ． 5.“” 是新规定的某种运算符号，设，求中x的值． 解： ， ， 即：， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， x的值为． 解方程 解一元一次方程 ——合并同类项 合并同类项 系数化为 1 列方程 审题 设未知数 列方程 模块二： 移 项 问题：把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本．这个班有多少名学生？ 想一想：这批书的总数有几种表示方法？它们之间有什么关系？ 2种 第1种：每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书(3x+20)本 设这个班有x名学生． 第2种：每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书(4x-20)本 问题：把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本．这个班有多少名学生？ 第1种：每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书(3x+20)本 第2种：每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书(4x-20)本 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子 应相等，根据这一相等关系列得方程： 3x＋20＝4x－25 “表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系． 思考：方程3x+20=4x－25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与－25)，怎样才能把它转化为x=m（常数）的形式呢？ 为了使方程的右边没有含x的项，等式两边减4x，利用等式的性质1，得 3x+20－4x=－25 为了使方程的左边没有常数项，等式两边减20，利用等式的性质1，得 3x－4x=－25－20 3x ＋20 ＝ 4x －25 3x －4x ＝－25 －20 把某项从等式的一边 移到另一边时，这项有什么变化？ 即把原方程左边的20变为－20移到右边，把右边的4x变为－4x移到左边． 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． 移项要 变号 问题：把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本．这个班有多少名学生？ 解：设这个班有x名学生，根据题意可列方程 3x＋20＝4x－25 移项，得 3x－4x=－25－20 合并同类项，得 －x=－45 系数化为1，得 x＝45 答：这个班有45名学生. 说一说：移项的依据是什么？解方程中移项起到了什么作用？移项时要注意什么？ （1）移项的依据是等式的性质1。 （2）通过移项，可以使含未知数的项与常数项分别位于方程的左、右两边，使方程更接近于x=m的形式。 （3）移项要注意改变符号。 例1：解下列方程 (1)3x＋7＝32－2x； 解：(1)移项，得 3x＋2x＝32－7 合并同类项，得 5x＝25 系数化为1，得 x＝5 (2)移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 x＝－8 例2：某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100 t. 新旧工艺的废水排量之比为2:5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程 环保限制最大量(旧工艺)＝环保限制最大量(新工艺) 5x－200＝2x＋ 100 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2x t和5x t ． 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 5x－200＝2x＋ 100 移项，得 5x－2x＝100＋200 合并同类项，得 3x＝300 系数化为1，得 x＝100 所以 2x＝200， 5x＝500 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为200 t和500 t. 1．方程的解是（     ） A． B． C． D． A 2．解下列方程(1)； (2)． 解：（1）移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 3．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（    ） A． B． C． D． C 4.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格是y元.有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ A 5.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ 解：设木条长为x尺，则：绳长为尺，依题意得： 解得：； 答：木条长为尺． 解方程 解一元一次方程 ——移项 合并同类项 系数化为 1 注意事项 移项要变号 项数较多时，可先合并同类项再移项 移项 模块三： 去括号 问题：某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时）,全年的用电量是150000 kW·h. 这个工厂去年上半年平均每月的用电是多少？ 　　解：设去年上半年平均每月的用电量是x kW·h，则下半年平均每月的用电量是(x－2 000)kW·h；上半年的用电量是6x kW·h，下半年的用电量是6(x－2 000)kW·h． 根据全年的用电量是150000 kW·h，列得方程 　　6x＋6(x－2 000)＝150 000 去括号，得 6x+6x －12000=150000 移项，得 6x+6x =150000+12000 合并同类项，得 12x=162000 系数化为1，得 x=13 500 答：这个工厂去年上半年平均每月用电量是 13500 kW·h． 　　6x＋6(x－2 000)＝150 000 当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤． 移 项 合并同类项 系数化为1 说一说：通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的方程的一般步骤吗？ 去括号 例1：解下列方程： （1）2x－(x＋10)＝5x＋2(x－1)； （2）3x－7(x－1)＝3－2(x＋3) 解：去括号，得 2x－x－10＝5x＋2x－2 移项，得 2x－x－5x－2x＝－2＋10 合并同类项，得 −6x＝8 系数化为1，得 解：去括号，得 3x－7x＋7＝3－2x－6 移项，得 3x－7x＋2x＝3－6－7 合并同类项，得 －2x＝－10 系数化为1，得 x＝5 例2：一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h．已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度. 分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等．根据这个相等关系，可以列方程求出船在静水中的平均速度． 顺水路程＝逆水路程 顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间 2(x＋3)＝2.5(x－3) 解：设船在静水中的平均速度为 xkm/h ，则顺水速度为(x＋3) km/h ，逆水速度为(x－3) km/h ， 根据往返路程相等，列得方程 2(x＋3)＝2.5(x－3) 去括号，得 2x＋6＝2.5x－7.5 移项及合并同类项，得 －0.5x＝－13.5 系数化为１，得 x＝27 答：船在静水中的平均速度为27km/h. 1．如果的值与的值互为相反数，那么等于（    ） A． B． C． D． A 2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何?译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?设共有x辆车，可列方程为（ ） A． B． C． D． D 3．解下列方程： (1)； (2) 解：（1）去括号，得： ， 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ∴； 解：（2）去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： ； 4．已知关于x的一元一次方程，★处被盖住了一个数字，且方程的解是，那则★处的数字是（    ） A． B．1 C．2 D．3 B 5.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ 解：设木条长为x尺，则：绳长为尺，依题意得： 解得： ； 答：木条长为尺． 合并同类项 系数化为 1 去括号 移项 “－”号不要漏乘 移项变号 系数相加 解一元一次方程 ——去括号 模块四： 去分母 问题：如图所示，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距70 km．某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如下表所示．王家庄距翠湖的路程有多远？ 解：设王家庄距翠湖的路程为x km，则王家庄距青山的路程为(x－50) km，王家庄距绿水的路程 为(x＋70) km．由表可知，汽车从王家庄 到青山的行驶时间为3h，从王家庄到绿水的行驶 时间为5h． 根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程 你还能列得其他方程吗？ 这个方程中未知数的系数不是整数，如果能化去分母，把未知数的系数化成整 数，就可以使解方程中的计算更简便些． 我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等．这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘15，得 5(x－50)＝3(x＋70) 去分母，得 5(x－50)＝3(x＋70) 去括号，得 5x－250＝3x＋210 移项，得 5x－3x＝210＋250 合并同类项，得 2x＝460 系数化为1，得 x＝230 合并同类项 系数化为1 去分母 移项 5(3x＋1)－10×2＝(3x－2)－2(2x＋3) 15x＋5－20＝3x－2－4x－6 15x－3x＋4x＝－2－6－5＋20 16x=7 去括号 方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数10 解方程： 2= 你能说出每个步骤的依据吗？ 解一元一次方程的一般步骤包括： 去分母、去括号、移项、合并同类 项、系数化为1等． 通过这些步骤，可以使以狓为未知数的一元一次方程 逐步转化为x＝m的形式． 这个过程主要依据等式的性质和运算律等． 例1：解下列方程（1） 解：（1）去分母（方程两边乘4），得 2(𝑥＋1)－4＝8＋(2－𝑥) 去括号，得 2𝑥＋2－4＝8＋2－𝑥 移项，得 2𝑥＋𝑥＝8＋2－2＋4 合并同类项，得 3𝑥＝12 系数化为1，得 x＝4 对于2x+2-4=8+2-x,也可以先合并同类项，再移项， 解：（2）去分母（方程两边乘6），得 18𝑥＋3(𝑥－1)＝18－2(2𝑥－1). 去括号，得 18𝑥＋3𝑥－3＝18－4𝑥＋2 移项，得 18𝑥＋3𝑥＋4𝑥＝18＋2＋3 合并同类项，得 25𝑥＝23 系数化为1，得 𝑥＝ 例2：解下列方程（2） 例3：解下列方程（3） 　　分母中含有小数时，一般先利用分数的性质将其转化为整数，再去分母． 解：（3）分母化整数，得 去分母，得 20x＝6＋3(12－3x) 去括号，得 20x＝6＋36－9x 移项，得 20x＋9x＝6＋36 合并同类项，得 29x＝42 系数化为 1，得 x＝ 　　利用去分母解一元一次方程时需要注意的问题： 　　（1）分子如果是多项式，要先加上括号，再去分母； 　　（2）整数项不要漏乘各分母的最小公倍数，特别是整数 1； 　　（3）分母中含有小数时，一般先利用分数的性质将其转化为整数，再去分母． 1．解方程，去分母正确的是（    ）． A． B． C． D． D 2．下列解方程去分母正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 C 3．解方程：(1)；(2) 解：（1）去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 解：（2）去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 4.解下列方程：；． 解：(1)去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 5.王强骑自行车从地到地，陈立骑自行车从地到地，两人都沿同一公路匀速前进，到达目的地后立即停止运动． 若，两地间的路程为，王强的速度比陈立的速度快，王强先出发，陈立出发后两人相遇，求两人的速度各是多少． 若两人在上午时同时出发，到上午时，两人还相距，到中午时，两人又相距，求，两地间的路程． 解： (1)设陈立的速度是xkm/h，则王强的速度是(x+4)km/h．根据题意，得 (3+1)(x+4)+3x＝100， 解得x＝12．∴x+4＝12+4＝16． 答：陈立的速度是12km/h，王强的速度是16km/h． (2)设A，B两地间的路程为ykm． 根据题意，得，解得y＝126． 答：A，B两地间的路程为126km． 解一元一次方程 ——去分母 合并同类项 系数化为 1 去括号 移项 “－”号不要漏乘 移项要变号 系数相加 去分母 不能漏乘没有分母的项 $