5-1 方程 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程，涵盖定义、方程的解、等式性质及应用。通过登山队追及问题导入，先以算术方法回顾旧知，再引导列方程，搭建从算式到方程的学习支架，衔接小学与初中知识。 其亮点在于以实际问题（如纪念币面积、笔记本购买）培养数学眼光，通过方程判断、解的检验训练数学思维，列方程过程强化数学语言。采用实例创新与归纳总结，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

一元一次方程 模块一： 从算式到方程 （一） 问题：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？ (1)你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？ (3-1)÷(1.2-0.8)=5(h) 问题：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？ (2) 当两队会合时，甲、乙两队各自距大本营的路程之间有什么关系？如果设出发x小时后两队会合，你能用一个含x的等式来表示这个关系吗？ 1.2x+1=0.8x+3 问题：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程 (3)你还能找出其他相等关系，并用一个含x的等式来表示吗？ 1.2x=0.8x+3-1 问题：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 甲队距一号营地的路程=乙队距一号营地的路程 实例1：用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 分析：买3个大水杯的钱数=买4个小水杯的钱数 解：设大水杯的单价为x元，则小水杯的单价为(x－5)元． 因为用买 3个大水杯的钱，可以买4个小水杯， 所以 3 x＝4(x －5) 实例2：如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4000mm2，长和宽的比为8:5（即宽是长的）。这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 纪念币的长×宽=纪念币的面积 解：设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽可以表示为x mm，面积可以表示为x2 mm。已知纪念币的面积为4000 mm2， 所以 x2 =4000. 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程 。 介绍：在我国古代，一般 用 “天元” “地元” “人元” “物元”等表示未知数。17世纪，法国数学家笛卡儿最早使用x，y，z等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今。 例3：根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ 解：(1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x。根据“女生比男生多80人”，列得方程 0.52x-(1-0.52)x=80 例3：根据下列问题，设未知数并列出方程： (2)如图所示，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长。 解： (2)设正方形绿地的边长为x m，那么扩大后的绿地面积为(x2+5x) m2。根据“扩大后的绿地面积是500 m2”，列得方程 x2+5x=500 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数 学解决实际问题的一种方法． 这个过程可以表示如下： 实际问题 方程 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 1.下列式子中，是方程的是( ) A. B. C. D. B 2.根据下列条件，能列出方程的是( ) A.与的差的 B.一个数的是的平方 C.比的多 D.甲数的倍与乙数的 B 3.中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算九章算术其中有一列为： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程为_______________． 4.根据题意，列方程： 的倍与的和等于，则可列方程为_____________； 的倍与的和比的大，则可列方程为_______________； 将边长为的正方形的一边减小后得到一个长方形若长方形的面积为，则可列出方程为____________． 5.某班举行了演讲活动，班长安排小勤去购买奖品，下图是小勤与班长的对话： 若找回元钱，设购买笔记本本，请根据小勤与班长的对话，列出方程． 解：． 定义 方程 列方程 设未知数 找相等关系 列方程 模块二： 从算式到方程 （二） 　　1．含有___________的________叫做方程． 未知数 等式 　　2．列方程的一般步骤： 　　（1）设未知数，一般求什么就设什么为 x． 　　（2）分析题意，找相等关系． 　　（3）根据相等关系列方程． 试一试：方程1.2x+1=0.8x+3中未知数 x 的值是多少？ 当x=5时，左边=1.2×5+1=7，右边=0.8×5+3=7，这时方程左、右两边的值相等。 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 （solution)。 x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解 求方程的解的过程，叫作解方程。 例1：(1)x=2，x=是方程2x=3的解吗？ (2)x=10，x=20是方程3x=4(x5)的解吗？ 解：(1)当x=2时，方程2x=3的左边=2×2=4，右边=3，方程左、右 两边的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解； 当x=时，方程2x=3的左边=2× =3，右边=3，方程左、右两 边的值相等，所以x=是方程2x=3的解。 解： (2)当x=10时，方程3x=4(x5)的左边=3×10=30，右边=4× (105)=20，方程左、右两边的值不相等，所以x=10不是方 程3x=4(x5)的解； 当x=20时，方程3x=4(x5)的左边=3×20=60，右边=4×(20 5)=60，方程左、右两边的值相等，所以x=20是方程3x=4(x5) 的解。 例1：(1)x=2，x=是方程2x=3的解吗？ (2)x=10，x=20是方程3x=4(x5)的解吗？ 思考1：x=60是方程的解吗？x=80呢？ 解：当x=60时，方程的左边= × =2250，右边=4000，方程左、右两边的值不相等，所以x=60不是方程 的解； 当x=80时，方程的左边= × =4000，右边=4000，方程左、右两边的值相等，所以x=80是方程 的解。 说一说：如何检验某个值是不是方程的解？ x＝a（a为常数） 方程 1.2x+1=0.8x+3左右两边 是方程的解 代入 等式成立 等式不成立 不是方程的解 如： 思考2：观察方程 1.2x+1=0.8x+3，3x=4(x−5)，0.52x− (1−0.52)x=80。 它们有什么共同特征？ 一般地，如果方程中只含有一个未知数 （元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 ① 只含有一个未知数； ② 未知数的指数都是1； ③ 含未知数的式子都是整式 （一元） （一次） （整式方程） 　　（1）　 ； 　　例2：判断下列方程是否是一元一次方程？若不是，请说明理由． （2）3x－4y＝12； 　　（3）－5x2＋x＝3； （4） ． 　　解：（1）是； 　　（2）含有两个未知数 x 和 y ，不是一元一次方程； 　　（3）未知数 x 的最高次数是 2 ，不是一元一次方程； 　　（4）等式的左边不是整式，不是一元一次方程． 　　判断一个式子是一元一次方程时，必须满足： 　　（1）是方程； 　　（2）只含有一个未知数； 　　（3）未知数的次数都是 1； 　　（4）化简后，未知数的系数不为 0； 　　（5）方程中分母不含未知数． 1．下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． D 2．下列方程的解是的方程是（     ） A． B． C． D． C 3.若关于 x 的方程 是一元一次方程，则 n 的值为 . 2 或－2 4.已知＝1是方程的解，则的值是 ________. 解：把x=1代入中，得 ， 解得k=-2， 则2k+3=-4+3=-1． -1 5.整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是________． x 0 2 0 定义 一元一次方程 解方程 解方程 方程的解 检验某个值是否是方程的解 模块三： 等式的性质 思考：在小学，我们已经知道：等式两边同时加 （或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为０的正数，结果仍相等．引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试． 3＋2＝5 3+2 +(−4) ＝5 +(−4) 3+2 −(−6) ＝5 −(−6) (3+2) ×(−3)＝5 ×(−3) (3+2) ÷(−5)＝5 ÷(−5) 一般地，等式有以下性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数 （或式子），结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a＝b，那么a±c＝b±c 如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b，c≠0，那么 　　等式的性质抓“两同” （1）同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算． （2）同一个数（或式子）：等式两边加或减的必须是同一个数（或式子），乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为 0 的数． 例1：据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果2x=5−x，那么2x+____=5； （2）如果m+2n=5+2n，那么m=____； （3）如果x= −4，那么____·x=28； （4）如果3m=4n，那么m= ____·n. x 5 −7 2 根据等式的性质1，等式两边加x,结果仍相等 根据等式的性质1，等式两边减2n,结果仍相等。 根据等式的性质2，等式两边乘−7，结果仍相等 根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 利用等式的性质可以解方程． 例2：利用等式的性质解下列方程. (1) x + 7 = 26; (2) 5x = 20 ; (3) 解：(1)方程两边减7，得 x + 7 －7 = 26－7 于是 x = 19 解：(2)方程两边除以－5 ，得 = 于是 x = 4 解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x＝m (常数)的形式．等式的性质是转化的重要依据． 例2：利用等式的性质解下列方程 (3) 解：(3)方程两边加5，得 化简，得 方程两边乘 －3，得 x =－27 x=－27是原方程的解吗? 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 检验：将 x = －27 代入方程的左边， 方程左、右两边的值相等，所以 x =－27 是方程的解. 1．若，则下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． C 2．下列各式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若则． D．若，则． D 3．利用等式的性质解方程：(1)；(2)． 解: (1)方程两边减，得 ， 于是 ； 解: (2)方程两边加3，得 ， 化简，得， 两边乘2，得， 于是． 4.利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 解: (1)方程两边都减，得 ， 两边都除以，得 ； 解: (2)方程两边都加，得 ， 两边都除以，得 ． 5.在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 解：（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2,等式两边同时除以不为0的一个数,等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 5.在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 性质 等式的性质 利用等式的性质解方程 等式的性质 1 等式的性质 2 $