3.4.2相似三角形周长和面积的性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长和面积的性质，核心知识点为周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，延伸至相似多边形的性质。课堂通过“相似比为2的三角形周长与面积比”等具体问题导入，从特殊到一般推导定理，搭建从具体实例到抽象证明的学习支架，衔接相似三角形定义与性质的前期知识。 其亮点在于以问题驱动探究，通过严格证明（如相似比k的周长比、面积比推导）培养数学思维中的推理能力，结合专项练习与“举一反三”题组（如平移重叠面积问题）强化数学语言表达与应用意识。采用“问题-推导-练习-小结”的学科特色教学方法，帮助学生深化对性质本质的理解，提升逻辑推理与解题能力，也为教师提供系统的教学资源与分层训练素材。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.4.2相似三角形周长和面积的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学3.4.2相似三角形周长和面积的性质专项练习 核心知识点回顾：本节重点掌握相似三角形两大核心性质：1.相似三角形的周长比等于相似比；2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。该性质可由对应边成比例、三角形面积公式推导得出，是几何计算高频考点。解题关键：周长、边长、对应特殊线段比统一为相似比，面积比必须平方，做题严禁混淆比例关系。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 两个相似三角形相似比为1:2，则它们的周长比为（） A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 4:1 2. 已知△ABC∽△DEF，相似比为3:4，则面积比为（） A. 3:4 B. 4:3 C. 9:16 D. 16:9 3. 若两个相似三角形面积比为25:16，则它们的相似比为（） A. 5:4 B. 4:5 C. 25:16 D. 16:25 4. 下列说法正确的是（） A. 面积比等于相似比 B. 周长比等于相似比的平方 C. 相似比越大，面积越小 D. 周长比等于对应边长比 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 相似三角形________的比等于相似比，面积比等于相似比的________。 6. 两相似三角形相似比为2:5，它们的周长比为________，面积比为________。 7. 已知△ABC∽△A'B'C'，面积比为9:4，则周长比为________。 8. 相似三角形周长之比为3:1，若大三角形面积为36，则小三角形面积为________。 三、解答题（共56分） 9.（18分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC的周长为16cm，求△DEF的周长。 10.（18分）两个相似三角形的相似比为4:1，小三角形面积为5cm²，求大三角形的面积。 11.（20分）△ABC∽△A'B'C'，已知对应边长比为3:2，△ABC周长为24，面积为18，求△A'B'C'的周长和面积。 参考答案与详细解析 1. A 解析：相似三角形周长比等于相似比，直接可得周长比1:2。 2. C 解析：面积比为相似比的平方，3²:4²=9:16。 3. A 解析：相似比为面积比的算术平方根，√25:√16=5:4。 4. D 解析：周长比、边长比、特殊线段比均等于相似比，面积比为相似比平方。 5. 周长；平方 6. 2:5；4:25 解析：周长比等于相似比，面积比为平方比。 7. 3:2 解析：先开方，面积比9:4，相似比、周长比为3:2。 8. 4 解析：周长比3:1，面积比9:1，小三角形面积=36÷9=4。 9. 解：∵相似三角形周长比等于相似比，∴C△ABC:C△DEF=2:3。设△DEF周长为x cm，则16:x=2:3，解得x=24。答：△DEF周长为24cm。 10. 解：相似比4:1，面积比16:1。设大三角形面积为S，则S:5=16:1，解得S=80cm²。答：大三角形面积为80cm²。 11. 解：相似比3:2，周长比3:2，面积比9:4。周长：24÷3×2=16；面积：18÷9×4=8。答：△A'B'C'周长为16，面积为8。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 问题1 如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少?面积比呢? 设BC，B′C′边上的高分别为h，h′。 因为△ABC∽△A′B′C′，相似比为2， 所以AB = 2A′B′，BC = 2B′C′，AC = 2A′C′，h = 2h′， 所以周长比为 = = 2 。 所以面积比为 = = 4 。 探究新知 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 问题2 如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么你能求△ABC与△A′B′C′ 的周长比和面积比吗? △ABC与△A′B′C′的周长比是k，面积比是k²。 探究新知 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 证明：相似三角形的周长比等于相似比。 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′对应边上的高。 求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为k， ∴ = = k。 ∴ = = = k。 探究新知 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 证明：面积比等于相似比的平方。 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′对应边上的高。 求证： = k2。 证明：∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为k， ∴ = k。 ∴ = = = k2。 探究新知 定理 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 探究新知 知识点1 相似三角形周长的比等于相似比 1.已知与相似，且相似比为，则与 的周 长之比是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.已知，若与的相似比为， 的 周长为40，则 的周长为( ) B A.50 B.60 C.70 D.80 返回 举一反三 8 3.已知的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的 ， 其最长边为12，则 的周长是( ) C A.54 B.36 C.27 D.21 返回 举一反三 9 如图，已知在△ABC中，DE∥BC。 (1)若AD ׃ AB = 2 ׃ 3，则S△ADE ׃ S△ABC = 。 (2)若D是AB的中点，△ADE的面积为3， 则△ABC的面积为 = 。 例1 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 12 探究新知 两个相似四边形的周长比等于相似比吗?两个相似n边形呢? 设两个相似n边形的边长分别为，，···，和，，···，。 根据相似多边形的性质可知，相似多边形的对应边成比例， 利用等比性质 两个相似四边形的周长比等于相似比。 两个相似多边形的周长比等于相似比。 知识点2 相似多边形的性质 探究新知 两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗?你能利用相似三角形的性质说明吗? 知识点2 相似多边形的性质 如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k，AC，A′C′分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的对角线。 A D A′ D′ B C B′ C′ ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k， ∴ = k，∠ABC = ∠A′B′C′。 ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴ = k2， 同理， = k2。 ∴ = = k2 。 探究新知 相似多边形的性质： 两个相似多边形的面积比等于相似比的平方； 两个相似多边形的对应对角线之比等于相似比； 两个相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。 知识点2 相似多边形的性质 探究新知 （第4题） 4.[岳阳期中] 如图，在中，， 。 若的周长为6，则 的周长为( ) B A.12 B.18 C.24 D.26 返回 举一反三 14 5.如图，与交于点，且。若，则 __。 （第5题） 返回 举一反三 15 已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，相似比为2。若AB = 6cm，BC = 12cm，那么矩形A′B′C′D′的周长是 cm，面积是 cm²。 例2 18 18 知识点2 相似多边形的性质 探究新知 如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积S△GEC是△ABC面积S△ABC的一半。已知BC = 2，求△ABC平移的距离。 例3 知识点2 相似多边形的性质 A D G B E C F 探究新知 解：根据平移的性质可知，EG∥AB。 ∴ ∠GEC = ∠B，∠EGC = ∠A。 ∴ △GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。 ∴ = ()2 = (相似三角形的面积比等于相似比的平方)， 即 = ∴ EC² = 2。 ∴ EC = 。 ∴ BE = BC-EC = 2-，即△ABC平移的距离为2-。 知识点2 相似多边形的性质 A D G B E C F 探究新知 知识点2 相似三角形面积的比等于相似比的平方 6.已知，且，。若 的面积为80， 则 的面积为( ) C A.160 B.40 C.320 D.20 返回 举一反三 19 7.如图，在矩形中，是 边上一点，且 ，与相交于点，若 的面 积是3，则 的面积是( ) D A.3 B.6 C.9 D.27 返回 举一反三 20 8. 已知两个相似三角形的面积比为 ，若较小三角形的周 长为12，则较大三角形的周长为____。 16 返回 举一反三 21 9.如图，点，分别在的边，上，，， 分别是，的中点，若，则 __。 返回 举一反三 22 10.［教材习题变式］ 如图，在中， ，求 与四边形 的面积比。 举一反三 23 解： ， 。 又， ， ， 。 返回 举一反三 24 ①相似多边形的周长比等于相似比 ②相似多边形的面积比等于相似比的平方 ③相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比 周长比等于相似比 相似三角形的性质 周长 面积 面积比等于相似比的平方 拓展 课堂小结 谢谢观看 THANKS $