3.3.2相似三角形判定定理的证明 课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，核心涵盖两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例三大定理，以平行线分线段成比例定理为基础，通过构造全等三角形的辅助线方法，搭建从基础到定理推导的学习支架。 其亮点在于分步骤呈现严谨证明过程，结合徐州模拟题、太原期中题等实例，培养学生推理能力与应用意识，课堂小结系统梳理判定定理及证明思路，助力学生构建知识体系，教师可借助此资料提升教学效率，学生能深化逻辑思维与数学表达能力。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.3.2相似三角形判定定理的证明 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学3.3.2相似三角形判定定理的证明专项练习 核心知识点回顾：本节核心为三大相似三角形判定定理的严谨证明，依托平行线分线段成比例定理推导。1.两角分别相等的两个三角形相似；2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；3.三边成比例的两个三角形相似。证明核心思路为：在大三角形中截取线段构造平行，造出与小三角形全等的中间三角形，结合比例性质、全等判定完成证明，是相似几何证明题的核心依据。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 证明“两角分别相等的两个三角形相似”的核心依据是（） A. 全等三角形判定定理 B. 平行线分线段成比例定理 C. 勾股定理 D. 黄金分割性质 2. 已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，则下列结论正确的是（） A. △ABC≌△DEF B. △ABC∽△DEF C. 两边必相等 D. 无法判定关系 3. 证明两边成比例且夹角相等的三角形相似时，构造辅助线的方式是（） A. 作高线垂直底边 B. 截取对应线段相等，作平行线 C. 连接三角形中线 D. 作角平分线 4. 下列条件中，能直接通过定理证明两三角形相似的是（） A. 一个角相等，两条边相等 B. 三边对应成比例 C. 仅有一组直角相等 D. 两组边对应相等 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 相似三角形判定定理证明的基础定理是________。 6. 两角分别相等的两个三角形________，这是最常用的相似判定定理。 7. 两边成比例且________相等的两个三角形相似，注意必须是对应夹角。 8. 证明三边成比例相似定理时，需先构造________三角形，再推导全等，进而证相似。 三、解答题（共56分） 9.（18分）请完整证明：两角分别相等的两个三角形相似。 10.（18分）已知在△ABC和△A'B'C'中，$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$$，∠A=∠A'，求证：△ABC∽△A'B'C'。 11.（20分）结合所学定理，证明三边成比例的两个三角形相似。 参考答案与详细解析 1. B 解析：所有相似三角形判定定理的证明，均以平行线分线段成比例定理为核心推导依据，通过构造平行线得到比例线段，完成相似证明。 2. B 解析：两角对应相等，满足相似三角形判定定理，可判定两三角形相似，无边长相等条件，不能判定全等。 3. B 解析：该定理证明的标准辅助线做法：在长边上截取对应等线段，作平行线构造相似三角形，再结合全等判定完成证明。 4. B 解析：三边对应成比例是相似三角形判定定理之一，其余选项条件不足，无法判定相似。 5. 平行线分线段成比例定理 6. 相似 7. 对应夹角 8. 相似 9. 证明：已知△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。在AB上截取AD=A'B'，过D作DE∥BC交AC于E。由平行线定理得△ADE∽△ABC，又∠ADE=∠B=∠B'，结合∠A=∠A'，AD=A'B'，可证△ADE≌△A'B'C'，等量代换得△ABC∽△A'B'C'。 10. 证明：在AB上截取AD=A'B'，作DE∥BC交AC于E，则△ADE∽△ABC，得$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$。结合已知比例及∠A=∠A'，可证△ADE≌△A'B'C'，由此推出△ABC∽△A'B'C'。 11. 证明：设$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$$，在AB、AC上截取对应线段作平行线，构造相似三角形，证得构造三角形与原小三角形全等，依据相似传递性，可证三边成比例的两三角形相似。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题1 证明：两角分别相等的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 探究新知 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C， = (平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例)。 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则 = (平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例)。 A B C A′ B′ C′ D E F 探究新知 知识点1 相似三角形判定定理的证明 ∴= 。 ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形。 ∴DE = CF。 ∴= 。 ∴ = = 。 而∠ADE = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠AED = ∠C， ∴ △ADE∽△ABC(相似三角形的定义)。 ∵ ∠A = ∠A′，∠ADE = ∠B = ∠B′，AD = A′B′， A B C A′ B′ C′ D E F ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 探究新知 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题2 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 探究新知 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则 ∠B = ∠ADE，∠C = ∠AED， ∴ △ABC∽△ADE(两角分别 相等的两个三角形相似)。 ∴ = 。 ∵ ，AD = A′B′， ∴ = 。∴ = 。 ∴ AE = A′C′。 A A′ B C B′ C′ D E 而∠A = ∠A′， ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 探究新知 知识点 相似三角形判定定理的证明 （第1题） 1.[徐州模拟] 如图，在中，若， ， ，则 的长为( ) A A.15 B.9 C.12 D.18 返回 举一反三 7 2. 如图，点，，，在同一条直线上， ， 若使 ，则还需添加一个条件是______________________ （只需填一个）。 （答案不唯一） （第2题） 返回 举一反三 8 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题3 证明：三边成比例的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， 。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 探究新知 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD = AB′，AE = A′C′，连接DE。 ∵ ，AD = A′B′，AE = A′C′， ∴ 。 而 ∠BAC = ∠DAE， ∴ △ABC∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)。 ∴ 。 A B C A′ B′ C′ D E 探究新知 知识点1 相似三角形判定定理的证明 又，AD = A′B′， ∴ 。 ∴ 。 ∴ DE = B′C′。 ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 A B C A′ B′ C′ D E 探究新知 定理 两角分别相等的两个三角形相似。 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 三边成比例的两个三角形相似。 相似三角形判定定理的证明思路： 第一步：构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形； 第二步：证明另一个三角形与所构造的三角形相似； 第三步：利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 探究新知 回顾相似三角形判定定理的证明过程，你对几何证明有哪些新的认识? 证明过程中，需要通过作辅助线用定理1证明定理2， 同样的定理3的证明用到了定理2，体现了数学转化的思想。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 探究新知 3.下列条件中能判定与 相似的有________（填序号）。 ① ，，， ， ， ； ② ， ， ； ③，，， 。 ①②③ 返回 举一反三 14 4.[太原期中] 如图，点,,在一条直线上， 与相交于点， 。 （1）求证： ； 证明： ， 。 。 。 举一反三 15 （2）连接，求证： 。 [答案] ， 。 又 ， 。 返回 举一反三 16 （第5题） 5.如图，在中，是 边上的点，连 接交于点，延长交 的延长线于点 ，则图中的相似三角形共有( ) D A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 返回 举一反三 17 6.如图，四边形、四边形和四边形 都是正方形，那么 _______,____ 。 45 （第6题） 返回 举一反三 18 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 证明思路： ①构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形； ②证明另一个三角形与所构造的三角形相似； ③利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。 相似三角形 的判定定理 课堂小结 谢谢观看 THANKS $