3.3.2相似三角形判定定理的证明 课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，通过“探究与应用”模块，以作图、已知求证、推理证明为学习支架，衔接平行线分线段成比例等前置知识，引导学生逐步构建定理证明思路。 其亮点在于以几何直观为基础，通过详细推理步骤培养推理意识，结合例题及动点问题提升应用意识。如定理证明中作辅助线构造全等三角形，动点问题用变量表示线段列比例式。助力学生发展逻辑思维，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

第2课时 相似三角形判定定理的证明 第三章　图形的相似 3 探究与应用 定理1　两角分别相等的两个三角形相似 1.已知:如图3-3-13,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 探究 相似三角形判定定理的证明方法 推理证明 图3-3-13 证明: 如图,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E, 则∠ADE=∠B,∠AED=∠C, =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). 图3-3-13 过点D作AC的平行线,交BC于点F, 则=(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). ∴=. 图3-3-13 ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF.∴=. ∴==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. 图3-3-13 ∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B', ∴△ADE≌△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'. 图3-3-13 证明文字命题的步骤 (1)根据命题画出图形; (2)根据图形和命题写出已知和求证; (3)分析证明思路,写出证明过程. 再 温故 定理2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2.已知:如图3-3-14,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',=. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 图3-3-14 证明: 如图,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E, 图3-3-14 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=. 图3-3-14 ∵=,AD=A'B', ∴=.∴=. ∴AE=A'C'. 而∠A=∠A',∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 定理3　三边成比例的两个三角形相似 3.已知:如图3-3-15,在△ABC和△A'B'C'中,==. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 证明: 如图,在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE. 图3-3-15 ∵=,AD=A'B',AE=A'C', ∴=. 而∠BAC=∠DAE, 图3-3-15 ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴=. 又=,AD=A'B', ∴=.∴=. ∴DE=B'C'.∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 图3-3-15 三角形相似的三个判定定理: 定理1:　　　　角分别相等的两个三角形相似.  定理2:两边成比例且　　　　相等的两个三角形相似.  定理3:　　　　边成比例的两个三角形相似.    概括新知 两 如图3-3-16,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OD=2OA,OC=2OB. (1)求证:△AOB∽△DOC; 应用 　灵活选择判定定理证明三角形相似 例 图3-3-16 证明:(1)∵OD=2OA,OC=2OB, ∴==. 又∵∠AOB=∠DOC, ∴△AOB∽△DOC. 图3-3-16 (2)点E在线段OC上,若AB∥DE,求证:OD2=OE·OC. 解：(2)由(1)得△AOB∽△DOC. ∴∠ABO=∠DCO. ∵AB∥DE, ∴∠ABO=∠EDO, ∴∠DCO=∠EDO. 又∵∠DOC=∠EOD,∴△DOC∽△EOD, ∴=,∴OD2=OE·OC. 图3-3-16 判定两个三角形相似的基本思路 (1)若有一对等角,则可找另一对等角,或证明夹这对等角的两边成比例. (2)若有两边成比例,则可找夹角相等,或证明三边成比例. (3)若已知两个三角形均为等腰三角形,则可找顶角相等,或找底角相等,或证明三边成比例. 理 思路 【延伸拓展】 与相似三角形有关的动点问题　 如图3-3-17,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始,沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点B开始,沿BC边以2 cm/s的速度向点C运动.如果点P,Q分别从点A,B 同时出发,几秒后,以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC 相似? 图3-3-17 解:设x s后,以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似,此时,AP=x cm,BP=(6-x) cm,BQ=2x cm. ∵∠B=90°,∴分两种情况讨论: ①若△BPQ∽△BAC,则=, 即=, 解得x=3; 图3-3-17 ②若△BPQ∽△BCA,则=, 即=, 解得x=1.2. 综上所述,1.2 s或3 s后,以P,B,Q为顶点的三角形 与△ABC相似. 图3-3-17 解决与相似三角形有关的动点问题,通常设运动的时间为t,用含有t的代数式表示相关线段的长度,根据三角形相似对应边成比例列出算式,解方程得到结论. 学 方法 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如图3-3-18,在四边形ABCD中,已知∠ADC=∠BAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 (　　) A.CA平分∠BCD B.= C.AC2=BC·CD D.∠DAC=∠ABC | 课堂检测 | C 图3-3-18 2.如图3-3-19,在菱形ABCD中,点E在边BC上,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,连接AC交DE于点P,连接BP.求证:PB2=PE·PF.   图3-3-19 证明:∵在菱形ABCD中,点E在边BC上,AC 是菱形的对角线, ∴CD=CB,∠DCP=∠BCP,CD∥AB, ∴∠CDP=∠F. 图3-3-19 在△DCP与△BCP中, ∵CD=CB,∠DCP=∠BCP,CP=CP, ∴△DCP≌△BCP(SAS), ∴∠CDP=∠CBP, ∴∠CBP=∠F. 又∵∠BPE=∠FPB, ∴△BPE∽△FPB, 图3-3-19 ∴=, ∴PB2=PE·PF. $