5.3实际问题与一元一次方程（方案选择问题）跟踪练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程方案选择问题，通过基础计算、多方案比较到综合决策的三层设计，培养抽象能力与模型观念，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一方案计算|单选（购物优惠/通讯业务）、填空（分段计费），强化方程建模基础| |中档|多方案比较|填空（合并购物省钱）、解答题（师生门票方案选择），培养推理意识| |提高|综合方案设计与优化|解答题（租车方案/会员优惠决策），融合分类讨论，发展应用意识|

5.3实际问题与一元一次方程（方案选择问题） 一、单选题 1．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案: ①一次性购物在元(不含元)以内，不享受优惠； ②一次性购物在元(含元)以上，元(不含元)以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在元(含元)以上，一律享受八折优惠； 小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款(   )元 A． B． C． D． 2．七年级某班为奖励学习进步的学生，购买了两种文具：单价为6元/本的笔记本和单价为4元/支的水笔，正好花费60元，则购买方案共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 4．一家健身俱乐部收费标准为180元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次收费（元） A类 1500 100 B类 3000 60 C类 4000 40 例如，购买A类会员年卡，一年内健身20次，消费1500+100×20＝3500元．若一年内在该健身俱乐部健身55次，则最省钱的方式为（　　） A．购买C类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买A类会员年卡 D．不购买会员年卡 5．某商场出售茶壶和茶杯，茶壶每只15元，茶杯每只3元，商店规定购一只茶壶赠一只茶杯，某人共付款171元，得茶壶、茶杯共30只(含赠品在内)，则此人购得茶壶的只数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 6．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．某校为更好的进行大阅读活动的开展，购买了名著《三国演义》套、《西游记》套，共用了元，《三国演义》每套比《西游记》每套多元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套元，可列方程为__________． 8．书店举行购书优惠活动： ①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折； ③一次性购书超过200元，一律按原价打七折. 小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_________. 9．小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8.5折”．小明测算了一下，如果买100支，比按原价购买可以便宜27元，每支铅笔的原价是________． 10．某超市十一优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款120元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省_____元． 11．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 12．小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳米，青蛙每次跳米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个饮水站，当它们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米． 三、解答题 13．春天到了，学校准备组织一次研学旅游，安排10名教师带领学生去某景区研学．已知该景区的门票为每人40元．该景区推出甲、乙两种优惠方案，甲方案：教师门票全部免费，学生门票打8折；乙方案：师生门票都打7折．设参加本次研学活动的学生共有名． (1)请用含的代数式分别表示甲、乙两种方案应付的门票费用； (2)当时，选择哪一种方案更省钱？当时呢？ (3)随着的值的变化，请你探究如何选择哪一种方案更省钱，直接写出你的结论． 14．七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 15．某中学组织学生春游，原计划租用可坐乘客30人的A种客车若干辆，发现有15人没有座位；若改为租用可坐乘客45人的B种客车，则可少租5辆，且恰好坐满． (1)原计划租用A种客车多少辆？这次春游去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共20辆，要求B种客车不超过6辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆900元，B种客车租金为每辆1200元，应该怎样租车才最合算？租金最低是多少？ 16．“6.18”购物节某超市做促销活动，现给出以下两种优惠方式，且同一用户每日限使用一种优惠方式． 方式一：满200元减30元； 方式二：九折（单笔消费满220元才可使用） 设李阿姨在活动期间到该超市购物金额为元，结合以上条件，李阿姨选择哪种优惠方式付款更省钱？ 17．茶为国饮，中国是茶的故乡和茶文化的发祥地，古时就有“神农尝百草，日遇七十二毒，得茶而解之”的传说．产自汉中的汉中仙毫曾荣获第31届巴拿马国际博览会绿茶类唯一金奖．某公司采购员到茶叶市场为公司购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元） 方式一：金卡会员 2000 650 方式二：银卡会员 500 800 (1)设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元，请分别写出，与之间的关系式； (2)此采购员如何购买更优惠？ 18．某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋．现有甲、乙两家出租屋，甲家已经装修好，每月租金为2400元；乙家未装修，每月租金为1600元，但若装修成与甲家房屋同样的规格，则需要自己支付装修费3.2万元．设租用时间为个月，所需租金为元． (1)请分别写出租用甲、乙两家房屋的租金、与租用时间之间的函数关系； (2)试判断租用哪家房屋更合算，请写出详细分析过程．（请用“式的比较”和“图象的比较”两种方法进行解答） 19．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D A B C 1．C 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物有两种情况：①没有超过100元，即是90元；②刚好100，享受九折优惠，也是90元；第二次购物就只有一种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；计算出他两次购物的实际款数，相加即是他应付款数，再根据优惠计算即可； 【详解】解：第一次购物可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同(折扣率不同)， ①没有超过100元，即是90元，则实际购物为90； ②一次性购物在元(含元)以上，元(不含元)以内，享受九折优惠，设实际购物为x元，依题意得：x×0.9=90， 解得x=100元； 第二次购物消费270元，满足一次性购物在元(含元)以上，元(不含元)以内，享受九折优惠； 设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.9=270， 解得：x=300元； ∴他两次购物的实质价值为90+300=390或100+300=400，均超过了350元，因此均可以按照8折付款： 390×0.8=312(元)， 400×0.8=320(元)， 综上所述：如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款312元； 故答案为：C. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键. 2．B 【分析】列二元一次方程，并利用列举法求解即可. 【详解】假设购买了x根水笔，y本笔记本，则4x+6y=60，即2x+3y=30.其中，3的倍数有3，6，9，12，15，18，21，24，27（30不合题意），我们发现偶数有4个，分别为 x=12,y=2; x=9,y=4; x=6,y=6; x=3,y=8所以，购买方案有4种 【点睛】2x必定是偶数，3y必定是3的倍数，它们的和为30，符合条件的有4种. 3．D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同． 故选：D 4．A 【分析】首先求出一年内在该健身俱乐部健身55次，购买A类、B类、C类会员年卡的情况下各消费多少元；然后把它和不购买会员年卡的情况下健身55次的费用比较大小即可． 【详解】解：购买A类会员年卡，一年内健身55次，消费：1500+100×55＝7000（元） 购买B类会员年卡，一年内健身55次，消费：3000+60×55＝6300（元） 购买C类会员年卡，一年内健身55次，消费：4000+40×55＝6200（元） 不购买会员年卡，一年内健身55次，消费：180×55＝9900（元） ∵6200＜6300＜7000＜9900， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 5．B 【详解】分析：设买茶壶x只，那么赠x只茶杯，所以要买（30-2x）茶杯，然后根据共付款171元即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【解答】解：设买茶壶x只， 依题意得：15x+3（30-2x）=171， 解得：x=9 故此人购得茶壶的只数为9只． 故选B 点睛：此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题时要明确真正要付款的茶杯数目是关键． 6．C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 7． 【分析】设《西游记》每套x元，则《三国演义》每套（x+15）元，根据总价=单价×购买数量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设《西游记》每套x元，则《三国演义》每套（x+15）元，根据题意得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．248元或296元 【分析】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，分x≤、＜x≤、＜x≤100及x＞100四种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元， 根据题意得：当3x≤100，即x≤时，x＋3x＝229.4， 解得：x＝57.35（舍去）； 当100＜3x≤200，即＜x≤时，x＋0.9×3x＝229.4， 解得：x＝62， ∴x＋3x＝248； 当3x＞200且x≤100，即＜x≤100时，x＋0.7×3x＝229.4， 解得：x＝74， ∴x＋3x＝296； 当x＞100时，0.9x＋0.7×3x＝229.4， 解得：x≈76.47（舍去）． 答：小丽这两次购书原价的总和是248元或296元． 故填：248元或296元. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分x≤、＜x≤、＜x≤100及x＞100四种情况，列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 9．1.8元 【分析】设每支铅笔的原价是元，按原件买100支总价为，打8.5折的总价为， 两者之差为27元，列出方程求解即可. 【详解】设每支铅笔的原价是元， 根据题意得：， 解得 答：每支铅笔的原价是1.8元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握单价×数量=总价的等量关系是解题的关键. 10．40.8或12 【分析】按照优惠条件第一次付120元时，所购买的物品价值不会超过300元，不享受优惠，因而第一次所购物品的价值就是120元；300元的9折是270元，因而第二次的付款288元所购买的商品价值可能超过300元，也有可能没有超过300元．计算出两次购买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数． 【详解】(1)若第二次购物超过300元， 设此时所购物品价值为元，则90%=288，解得：=320， 两次所购物价值为120+320=440＞300， 所以享受9折优惠，因此应付440×90%=396(元)． 这两次购物合并成一次性付款可节省：120+288-396=12(元)． (2)若第二次购物没有过300元，两次所购物价值为120+288=408(元)， 因为408＞300， 所以享受9折优惠，这两次购物合并成一次性付款可以节省：408×10%=40.8(元) 故答案为：40.8或12． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用．能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键． 11．80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 12． 【分析】本题需先求出小白兔和青蛙第一次到达饮水站时各自需要跳的次数，对比得到先开始喝水的一方，再计算此时另一方跳跃的总路程即可． 【详解】解：先将各数化为假分数：，，， 到达饮水站时，跳跃总路程为饮水站间隔的正整数倍， 设小白兔跳次第一次到达饮水站，可得： ，其中为正整数， 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即小白兔第一次到达饮水站需要跳次， 设青蛙跳次第一次到达饮水站，可得： ， 其中为正整数 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即青蛙第一次到达饮水站需要跳次， 因为，所以青蛙先到达饮水站开始喝水， 此时小白兔跳的总路程为：． 13．(1)甲：元；乙：元 (2)，选择甲省钱；，选择乙省钱 (3)当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，选择乙方案更省钱 【分析】本题考查列代数式解实际问题，一元一次方程，代数式的值，掌握列代数式解实际问题，一元一次方程，代数式的值是解题关键． （1）根据票价八折×学生数列代数式，根据票价七折×师生人数列代数式即可； （2）将的具体数值分别代入（1）中得到的两个代数式，比较其大小即可得出结论； （3）先求出甲乙两种方案费用之差，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：甲：（元） 乙：（元） （2）解：把代入（元） 把代入（元） ， 选择甲省钱； 把代入（元） 把代入（元）   ， 选择乙省钱； （3）解：当时，解得：， 当时，选择甲方案更省钱， 当时，两种方案费用相同， 当时，选择乙方案更省钱. 14．(1) 解：选择方案二更省钱，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二更省钱． (2)二班有36人 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及一元一次方程的应用，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答； （2）先设二班有人，再列出方程，然后解方程，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设二班有人， 根据题意得，， 解得， 答：二班有36人． 15．(1)A种客车16辆，春游去了495人 (2)共7种方案： 方案1：A种客车14辆，B种客车6辆； 方案2：A种客车15辆，B种客车5辆； 方案3：A种客车16辆，B种客车4辆； 方案4：A种客车17辆，B种客车3辆； 方案5：A种客车18辆，B种客车2辆； 方案6：A种客车19辆，B种客车1辆； 方案7：A种客车20辆，B种客车0辆 (3)租用A种客车20辆，B种客车0辆最合算，最低是18000元 【分析】（1）列一元一次方程求解即可； （2）根据题意列不等式进行求解； （3）根据题意列出解析式，分析解析式求出最值． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车辆，则B种客车辆，根据题意得， ， 解得， ∴（人）， 答：A种客车16辆，春游去了495人； （2）解：设租用A种客车辆，则B种客车辆，根据题意得， ， 解得， ， 解得， 又∵， 综上可得， ∴共7种方案： 方案1：A种客车14辆，B种客车6辆； 方案2：A种客车15辆，B种客车5辆； 方案3：A种客车16辆，B种客车4辆； 方案4：A种客车17辆，B种客车3辆； 方案5：A种客车18辆，B种客车2辆； 方案6：A种客车19辆，B种客车1辆； 方案7：A种客车20辆，B种客车0辆； （3）解：设总租金为W元，租用A种客车辆，则 ， 因为，所以W随的增大而减小， 当时，W最小，（元）． 答：租用A种客车20辆，B种客车0辆最合算，最低是18000元． 16． 当时，选择方式一更省钱；当时，两种优惠方式花费相同；当时，选择方式二更省钱 【分析】先分别用含的代数式表示出两种优惠方式的付款金额，再通过列方程和不等式比较两种方案的花费，分情况得到不同场景下更省钱的选择． 【详解】解：由题意得， 因为，所以方式一可享受满减，付款金额为元； 因为满足使用条件，所以方式二可享受九折优惠，付款金额为元； 当方式一比方式二省钱时，可得不等式，解得， 结合，得，此时选择方式一更省钱； 当两种优惠花费相等时，可得方程，解得，此时两种优惠方式花费相同； 当方式二比方式一省钱时，可得不等式，解得，此时选择方式二更省钱． 17．(1)， (2)当购买茶叶大于时，按方式一购买更优惠；当购买茶叶等于时，方式一和方式二所需总费用相等，任选一种方式即可；当购买茶叶小于时，按方式二购买更优惠． 【分析】（1）根据题意, 总费用会员卡费用茶叶费用，写出一次函数关系式即可； （2）通过比较（1）中两种购买方式的总费用，即可得到更优惠的购买方案． 【详解】（1）解：由题意可知，与之间的关系式为，与之间的关系式为． （2）解：当时，方式一更优惠，即，解得； 当时，两种方式总费用相等，即，解得； 当时，方式二更优惠，即，解得． 答：当购买茶叶大于时，按方式一购买更优惠；当购买茶叶等于时，方式一和方式二所需总费用相等，任选一种方式即可；当购买茶叶小于时，按方式二购买更优惠． 18．(1)租用甲家房屋时：；租用乙家房屋时： (2)①由题意可知： ， 解得：， 即当租用40个月时，两家租金相同． ②由， 解得：； 即当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算． ③由， 解得：， 即当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算． 方法（二）图象如下： 观察图象可知：当租用40个月时，两家租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家更合算；当租用时间小于40个月时，租甲家更合算 【分析】（1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题目要求分两种方法进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意， 租用甲家房屋时：； 租用乙家房屋时：； （2）略 19．(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)赠甲书包1个，乙书包3个 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据数量＝总价÷单价结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）先假设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意：总利润=总销售额-总成本，其中赠送的书包不产生销售收入，但其成本已包含在总成本中，则可列出方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得． 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得． 解得． ∵， ∴． ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110． ∴该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：分三种情况： ①购进甲种书包88个，乙种书包112个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立； ②购进甲种书包89个，乙种书包111个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得，， 故甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． ③购进甲种书包90个，乙种书包110个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立． 综上，甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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