4.1 整式 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件围绕整式展开，涵盖单项式、多项式、同类项核心知识点。课堂从港珠澳大桥路程问题切入，结合上章代数式观察共同特点引出单项式定义，再通过对比单项式与多项式的区别联系过渡到多项式，最后借运算律探究同类项合并，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以真实情境（如冬奥会邮票、国旗尺寸）为载体，培养数学眼光，通过定义辨析、合并步骤训练数学思维，用代数式表达实际问题发展数学语言。采用实例剖析与能力训练结合的教学方法，帮助学生深化理解，教师可提升教学效率。

整式 模块一： 单项式 问题：港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥。一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h，在海底隧道 和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h。汽车在主桥上行驶th的路程是多少千米？ 路程＝速度×时间 92×t＝92t 观察：我们来看92t和上一章中遇到过的一些代数式 a2，0.9p，a2h， 这些代数式有什么共同特点？ 字母与字母的积 数与字母的积 92t，a2，0.9p，a2h， 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式。 单独的一个数或一个字母也是单项式． 如：-6，x都是单项式。 －3x2y3 单项式 的系数 概念 2＋3＝5是这个单项式的次数 概念 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 说一说单项式92t，a2，0.9p，a2h的系数和次数分别是多少？ 92t的系数是92，次数是1 a2的系数是1，次数是2 0.9p的系数是0.9，次数是1 a2h的系数是，次数是3 一次单项式 二次单项式 一次单项式 三次单项式 对于一个非零的数，规定它的次数为0． 思考：a 和－a 的系数和次数分别是什么？由此得出什么结论？ a 的系数是1，次数是1； －a 的系数是－1，次数是1． 结论：单项式的系数包括它前面的性质符号．单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写， “－1”的符号“－”不能省略． 分析：用单项式的定义进行判断． （3）的分母中含字母a；（6）是数和字母的和． 解：单项式有（1）（2）（4）（5）（7）（8）． 例1：下列式子中，单项式有哪些？ （1）－3； 　（2） x2y； （3） ； （4） ； （5）－ ab2； （6） ； （7）n2； （8）π＋2． 判定单项式时需要注意的地方: 1 单独的一个数或一个字母也是单项式． 2 单项式中不能含有加、减运算． 3 单项式的分母中不能含有字母． 例2：用单项式填空，并指出它们的系数和次数． （1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积________ ． （2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则这个长方 体包装盒的体积为________cm3． （3）有理数n的相反数是________． 解：(1)ah，它的系数是 ，次数是2 (2)xyz，它的系数是1，次数是3 (3) －n，它的系数是－1，次数是1 （4）《北京2022年冬奥会———冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会 冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚 (2套)，如图所示．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了m张这种版式的邮票作为奖品，共花费________元． 解：(4)， 它的系数是，次数是1 (5)《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3∶2，有五种通用尺度 (尺寸规格)．若一种尺度的国旗的长为acm， 则这种尺度的国旗旗面的面积为________cm2. 解：(5)a2，它的系数是，次数是2 1.下列式子中单项式的个数是( ) 2a，xy2，－，，－x，(a＋1)，，3000. A.4 B.5 C.6 D.7 C 2.下列说法正确的是__________．（只填写序号） ① 不是单项式； ②0不是单项式； ③ 是单项式； ④ 不是单项式． ①③④ 单项式 2a2 −1.2h xy2 −t2 系数 2 −1.2 1 1 次数 2 1 3 2 2 3.填表： 4.若(m－2)x2yn是关于 x，y 的一个五次单项式，求m，n应满足的条件？　 解：∵(m－2)x2yn是关于x，y 的五次单项式 ∴m－2≠0 且 2＋n＝5 ∴m≠2 ，n＝3 5.填空，并指出单项式的系数与次数： （1）全校学生总数是x，其中女生占总数48%，则女生人数是_______，男生人数是_______; （2）一辆长途汽车从杨柳村出发,3h后到达距出发地s km的溪河镇,这辆长途汽车的平均速度是____km/h； （3）产量由m kg增长10%，就达到_______kg. 0.48x 0.52x 1.1m 单项式 次数 定义 系数 由数或字母的积组成的式子叫做单项式 数字因数，包括性质符号 各个字母的指数和 模块二： 多项式 思考：在上一章中，我们还遇到一些代数式 ，，，， 这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 都可以看作几个单项式的和 以看作单项式与的和 以看作单项式与的和 几个单项式的和叫做多项式 x² －2x ＋18 ＋x² 多项式的首项前面为正号时，“＋” 省略不写． 多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 不含字母的项叫做常数项。 多项式中的项前面的“－”一定要写． －2x 常数项 多项式的次数 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． x² －2x ＋18 二次三项式 说一说：，的项和次数分别是什么？ 次数：2，项数：3 一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数． 多项式里，次数最高项的次数，就是多项式的次数，而不是所有项的次数的和． 想一想：多项式的次数与单项式的次数有什么区别？ 单项式 多项式 整式 ，，， 92t，a2，0.9p，a2h 单项式与多项式统称整式 例1：请指出下列式子中的多项式。 （1） xy3－5x＋3; （2） ; （3） ; （4）－7． 分析：根据“多项式是几个单项式的和”进行判断即可． 解：（1）可看成单项式 xy3，－5x，3的和； （2）可看成单项式，的和； （3）分母中含有字母，显然不符合题意； （4）是单项式． 所以（1）（2）是多项式． 例2：用多项式填空，并指出它们的项和次数． （1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为____________。 （2）m为一个有理数，m的立方与２的差为_____。 （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆。第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为_________。 解：（1）2a+2b，它的项分别为2a ， 2b ，次数是1 （2）m3－2，它的项分别为m3 ，－2，次数 是3 （3）2a－12b ，它的项分别为2a ，－12b，次 数是1 注意：多项式中的每一项都包含它前面的正负号． （4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为____________。 解：（4）18a2+4ab ，它的项分别为18a2 ，4ab ，次 数是2 1．下列式子：，其中是多项式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 A 2．多项式与单项式的次数相同，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 C 3．已知多项式是关于x的二次三项式，则k的值为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 B 4.把多项式按x的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． C 我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 5.已知代数式：①，② ，③，④，⑤， ⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有_________________；（填序号） (2)属于多项式的有_________________；（填序号） (3)属于整式的有_________________．（填序号） ①②⑥ ③⑤ ①②③⑤⑥ 整式 多项式 单项式 项 次数 系数 次数 单项式中的数字因数 所有字母的指数的和 多项式中的每个单项式叫做多项式的项 多项式中次数最高项的次数 模块三： 同类项 想一想：如何计算72a+120a呢？ 解:（1）根据分配律可得 72×2＋120×2＝(72＋120)×2＝192×2＝384， 72×(－2)＋120×(－2)＝(72＋120)×(－2)＝192×(－2)＝－384 探究1： （1）运用运算律计算： 72× 2＋120×2＝______； 72×(－2)＋120×(－2)＝ ______ ． （2）根据 （1）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理： 72a+120a ＝ ______ ． 探究1： （1）运用运算律计算： 72× 2＋120×2＝______； 72×(－2)＋120×(－2)＝ ______ ． （2）根据 （1）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理： 72a+120a ＝ ______ ． 观察这个式子，可以发现它与（1）中的式子有相同的结构，并且字母 a 代表的是一个乘数，因此根据分配律也有 化简： 72a+120a ＝(72＋120) a＝192a． 探究2：填空： （1）72a－120a＝( )a　　　 （2）3m2＋2m2＝( )m2　　　 （3）3xy2－4xy2＝( )xy2 上述运算有什么共同特点？你能从中得出什么规律？ (72－120)a＝－48a (3+2) m2＝5m2 (3－4) xy2＝－xy2 利用分配律进行化简． －48 5 － 探究2：填空： （1）72a－120a＝－48a　　　 （2）3m2＋2m2＝5m2　　　 （3）3xy2－4xy2＝－xy2 上述运算有什么共同特点？你能从中得出什么规律？ 有相同字母 a，且指数是 1． 有相同字母 m，且指数是 2． 有相同字母 x，y，且 x 的指数是 1， y 的指数是 2． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项可以进行合并． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项． 几个常数项也是同类项． 注意：（1）同类项必须同时满足“两个相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同．两者缺一不可． （2）是不是同类项有“两个无关”：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．如 3mn 与－nm 是同类项． 因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以利用交换律、结合律、 分配律把多项式中的同类项进行合并． （交换律） （结合律） （分配律） 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小 （降幂）或者从小到大 （升幂）的顺序排列． 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项． 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 例1：合并下列各式的同类项 解： =(1) = = ( = ( = 一找：找出同类项，当项数较多时，将同类项用相同记号标记； 二移：利用加法交换律和加法结合律把同类项放在一起，注意连同符号一起交换； 三并：把同类项的系数相加，字母及其指数不变，完成合并同类项，写出合并后的结果． 合并同类项的一般步骤 例2：（1）求多项式的值，其中； （2）求多项式3𝑎+𝑎𝑏𝑐− 𝑐2−3𝑎+ 𝑐2的值，其中𝑎=，𝑏=2，𝑐=−3． 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算． 解： （1） =(2 + 13) (5+4)2 =2 当时，原式＝ = 例2：（1）求多项式的值，其中； （2）求多项式3𝑎+𝑎𝑏𝑐− 𝑐2−3𝑎+ 𝑐2的值，其中𝑎=，𝑏=2，𝑐=−3． 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算． 解： （2）3𝑎+𝑎𝑏𝑐− 𝑐2−3𝑎+ 𝑐2 =(3 3) (− +) = 当时，原式＝()(3)= 请你把字母的值直接代入原式求值. 与例2的运算过程比较，哪种方法更简便? 例3： (1)水库中水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2cm；第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？ 解：把下降的水位变化量记为负，把上升的水位变化量记为正. 则第一天水位的变化量为－2acm，第二天水位的变化量为0.5acm.由 －2a＋0.5a＝(－2＋0.5)a＝－1.5a 可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5acm. 例3：(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg. 上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋. 进货后这个商店有大米多少千克？ 解：把进货的数量记为正，售出的数量记为负. 则上午大米质量的变化量是－3xkg，下午大米质量的变化量是4xkg．由 5x－3x＋4x＝(5－3＋4)x＝6x 可知，进货后这个商店有大米6x kg. 1．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 B 2．若单项式与是同类项，则的值为(　　) A．0 B．1 C． D．2024 B 3．合并下列多项式中的同类项： (1)；(2)． 解：（1）原式 ．  （2）原式 ． 4.合并下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 解：（1）原式 ． （2）原式． 5.先化简，再求值：，其中． 解： 当时，原式． 合并同类项 同类项 合并同类项法则 条件 1．所含字母相同； 2．相同字母的指数相同 把同类项的系数相加，所得的和作为系数，字母与字母的指数不变 $