4.2 认识一次函数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数（y=kx+b,k≠0）与正比例函数（y=kx,k≠0）的定义及联系区别，通过租车计费实际问题导入，从具体里程费用计算到列函数关系式，再归纳定义，搭建从实际到抽象的学习支架。 其亮点是以实际情境为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，如租车问题中列方程求收费相同里程，用数学思维推理函数参数意义，用数学语言表达模型。培养抽象能力与推理意识，助学生感受数学实用价值，也为教师提供“情境-建模-应用”完整教学路径。

4.2认识一次函数 1. 能从实际情境抽象函数关系式，理解一次函数（y=kx+b，k、b为常数，k≠0）和正比例函数（y=kx，k为常数，k≠0）的定义。 2. 会区分两者联系与区别，能列相关函数关系式并理解参数意义，会进行简单计算。 3. 通过实际演练，经历“实际情境→列函数关系式→归纳定义”的过程，提升抽象概括和探究能力。 4.感受两者在生活中的应用，认识数学实用价值，激发学习兴趣。 学习目标： 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×30＝450（元）， 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。 ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×52＝780（元）， 乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）。 ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为 x 千米时两家收费相同。 则甲公司费用为 15 x 元，乙公司费用为(10x＋200)元。 则 15x＝10x＋200， 解得 x＝40 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 一次函数： 若两个变量x、y间的对应关系可以表示成y =kx+b (k,b为常数，k≠0 )的形式，则称y是x的一次函数 . 归纳定义 正比例函数: 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. k≠0 一次函数与正比例函数的关系 一次函数 一次函数 一次函数 正比例函数 常数项为0 y=kx+b (k,b为常数，k 0) y=kx (k,为常数，k 0) 正比例函数是特殊的一次函数。（即当b=0时） 思考 交流 . 由一般到特殊 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （2）某户一年用水量是 250 m3，求该用户这一年的水费； 解：当 x ＝250 时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 计费档 户年用水量 x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （3）某户去年一年的水费是 1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 解：∵ 3.45×220＝759,4.83×300－303.6＝1 145.4， 759＜1 000.5＜1 145.4， ∴该户用水量属于第二档。 设该用户用水量为 x m3，则 1 000.5＝4.83x－303.6。 解这个方程，得 x＝270。 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 　　 (课本P81例1)(1)写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ ①汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系； 例2 解　由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. ②圆的面积y(单位：cm2)与它的半径x(单位：cm)之间的关系； 解　由圆的面积公式，得y=πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. ③某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h，经过x h这个水池内有水y m3. 解　这个水池每小时增加水5 m3，x h增加水5x m3，因而y=15+5x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 探究新知 像这样的计费有什么意义？ 设计计费规则时要注意什么？ 生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 这样的计费能更合理地计算费用，使人们形成节约用水的习惯. 设计计费规则时要注意：(1)分段的标准要有差异； (2)分段的范围不能间断、重叠. 生活中其他情况：家庭用电电费计费、上网计费、电话费计费等. 13 例题练习 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h. (1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义； 解：刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1s汽车的速度减少35 km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h， 所以y与t的关系式是 y = -35t+120. 其中，k = -35表示每秒汽车速度的变化量，b = 120表示刹车开始时汽车的速度. 15 探究新知 解：汽车停止时速度y=0，解方程 0 = -35t+120，得 t = ≈ 3.43. 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s. 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h. (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间. 16 1．一段导线，在 0 ℃ 时的电阻为 2 欧，温度每增加 1 ℃，电阻增加 0.008 欧，那么电阻 R （欧）表示为温度 t （℃）的函数关系为（    ） A．R＝－1.992t＋2 B．R＝0.008t＋2 C．R＝2.008t＋2 D．R＝2t＋2 B 2．如果 y＝kx＋2k＋x 是关于 x 的正比例函数，则 k 的值为 。 0   ±3 课堂练习 B C 　 (课本P83例3)为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费.如表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准. 解　当220<x≤300时，用水量属于第二档.于是y=3.45×220+4.83×(x-220)， 即y=4.83x-303.6. 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (1)当220<x≤300时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； 形式： ________________ 特别地，当 b＝0时，____________ 是正比例函数 一次函数 根据条件列一次函数、正比例函数 实际情境中 k，b 的意义 y = kx + b (k ≠ 0) y = kx (k ≠ 0) 课堂小结 练习1 “生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案(如表)，且都送货上门. 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 12.5元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为 元，按方案二购买的付款总金额为 元. (1)请分别写出 ， 与x之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 练习3 下列函数：① ；② ；③ ；④ 中,是一次函数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解析：① 是一次函数；② 是一次函数；③ 是一次函数； ④ 中x的次是2数不是一次函数；故选B 练习4 已知函数 是一次函数，则 的值是( ) A. B. C. D. 解析：∵函数 是一次函数， ∴ ，则 ， ∵ ，则 ，∴ ，故选：C. （3） (千米)， EMBED Equation.DSMT4 ， 他们不能在汽车报警前回到家. 解：（1）该车平均每千米的耗油量为 (升/千米)， 剩余油量Q(升)与行驶路程x(千米)的关系式为 ； （2）当 时， （升）. 答：当 (千米)时，油量Q的值为23升. $