4.2认识一次函数第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的概念、关系及表达式书写，通过“蛤蟆数量”情境导入，结合“均匀变化”复习与香燃烧实例回顾旧知，再以弹簧长度、汽车耗油量等探究活动构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以生活化情境和问题链驱动教学，通过观察表格分析“均匀变化”培养抽象能力（数学眼光），结合实例辨析概念发展推理意识（数学思维），用函数表达式描述汽车行驶、水池蓄水等现实问题强化模型意识（数学语言）。学生能联系生活理解概念，教师可借助清晰结构提升教学效率。

初中数学教学课件 北师大版新版八年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第四章 一次函数 4.2认识一次函数 第2课时一次函数与正比例函数的概念 学习目标 1. 理解一次函数、正比例函数的概念，能辨别两类函数，掌握二者关系。 2. 会依据条件写出一次函数、正比例函数的表达式。 3. 能结合实际情境识别函数模型，解决简单实际问题。 4.2.2一次函数与正比例函数的概念 情境导入 如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数关系式吗？ 1.“均匀”变化是指：一个变量增加______的数值时，另一个变量的改变量是_______的。 相同 固定 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ··· 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ··· 2. 根据下面表格试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 之间的关系式。 l=22.9－0.5t（45.8≥t≥0） 复习回顾 在弹性限度内，某弹簧的长度 y（单位：cm）与所挂物体的质量 x （单位：kg）的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 (1) 随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的变化是“均匀”的吗? 是“均匀”变化的。 探索新知 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 (2) 写出 y 与 x 之间的关系式，并说明理由。 在弹性限度内，某弹簧的长度 y（单位：cm）与所挂物体的质量 x （单位：kg）的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 理由如下：分析表格可知，弹簧的原长为 3 cm，每挂 1 kg 重的物体，弹簧长度就每增加 0.5 cm，所以得出 y＝0.5x＋3。 y=0.5x＋3 某辆汽车油箱中原有油 60 L，汽车每行驶 50 km 耗油 6 L. (1) 完成下表： 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y/L 60 54 48 42 36 30 情景二 新知探究 (2) 你能写出耗油量 y (L) 与汽车行驶路程 x (km) 之间 的关系式吗？ (3) 你能写出油箱剩余油量 z (L) 与汽车行驶路程 x (km)之间的关系式吗？ 或 y＝0.12x 或 z＝60－0.12x 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量 y/L 60 54 48 42 36 30 新知探究 在上面情景中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特征？ （1）y ＝ 0.5x ＋ 3 （2）y ＝ 0.08x （3）z ＝ －0.08x ＋ 40 y ＝ kx ＋ b 这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式。 观察·思考 新知学习 若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的形式，则称 y 是 x 的一次函数. 特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数. 函数是一次函数 函数是正比例函数 关系式为：y = kx ( k 为常数，k≠0) 关系式为：y = kx + b (k为常数，k≠0) 1. 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (6) y＝8x2＋x(1－8x). 随堂练习 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 随堂练习 1.判定一个函数是一次函数的条件： 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数. 归纳总结 ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ③ b = 0. 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水， 因而 y = 15 + 5x. y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. (3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3. 新知探究 【例1】 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ 由路程＝速度×时间，得 y＝60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数； (1) 汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之间的关系； 解 （2）圆的面积 y（单位：cm2）与它的半径 x（单位：cm）之间的关系； 由圆的面积公式，得 y＝πx2， y 不是 x 的正比例函数，也不是x的一次函数； （3）某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，经过 x h 这个水池内有水 y m3。 这个水池每小时增加水 5 m3，x h增加水 5x m3，因而 y＝15＋5x，y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数。 （2）一般地，k、b对一次函数y = kx + b有怎样的影响？与同伴交流。 思考·交流 （1）例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么？ 【针对训练】 已知函数 (1) 若它是一次函数，求 m 的值； 解：∵ 是一次函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0。 ∴ m＝±5 且 m≠5。 ∴ m＝－5。 ∴ 当 m＝－5 时，函数 是一次函数。 解：∵ 是正比例函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0。 ∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1。 这样的 m 不存在。 ∴ 不可能是正比例函数。 【针对训练】 已知函数 (2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值。 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 一次函数与正比例函数 概念 关系 依据实际问题的意义 列出相应的表达式 一次函数 正比例函数 形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫作一次函数 当 b＝0时，y=kx 叫作正比例函数 课堂小结 1.下列说法正确的是（ ） A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数不是一次函数 C. 不是正比例函数就不是一次函数 D. 正比例函数是一次函数 D 2. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4)中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数. ≠2 = -2 随堂练习 3. 下列函数中，是正比例函数的是(　A　) 4. 某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以 20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水 量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式 为 ⁠ ，该水池注满水需 h。 A V＝10＋20t　 4　 5. 已知函数 y = (m - 1)x|m|+1 是一次函数，求 m 的值. 6. 若函数 y = (m + 3)x + m2 - 9 是正比例函数，求 m 的值. 解：根据题意，得∣m∣=1， 解得 m = ±1. 又∵ m - 1≠0，即 m≠1， ∴ m = -1. 解：根据题意，得 m2 - 9 = 0， 解得 m = ±3. 又∵ m + 3≠0，即 m≠-3， ∴ m = 3. 随堂练习 $