1.1.1.2集合及其表示方法导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的列举法、描述法、区间法，课前通过概念探究与热身练习搭建基础，课堂结合典例精析及思考讨论深化理解，形成从概念到应用的学习支架，衔接前后知识。 以“课前预习-课堂讲练-课后巩固”为主线，通过实例与对比辨析，帮助学生用数学眼光抽象集合特征，发展推理意识，提升数学语言表达能力，习题层次分明，适合自主学习与教学评估。

学案导学 编号：gqlx-bx1-1-2 1.1.1　集合及其表示方法（第2课时） 课前预习 概念探究： 1、列举法： 将所给集合中的元素 出来，写在 里，元素与元素之间用 分开， 这种表示集合的方法叫 。 适用情况： 1）集合是有限集，元素又不太多；例如：15的所有正因数构成的集合表示为： ； 2）集合是有限集，元素较多但有一定规律；例如：不大于100的正整数的 全体构成的集合表示为： ； 3）有规律的无限集；例如： N ； 2、特征性质描述法： 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素 ,则性质 叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示为： 。 又写为 它表示集合A是由集合I中 构成的。这种表示集合的方法叫做 法，简称 法。 在 A=中，大括号内竖线左边的x表示： ； 大括号内竖线右边表示： ； 例如，不等式的解集可以表示为： 所有直角三角形的集合可以表示为： 注意事项： 1)、特征性质必须明确。 2）、若元素范围为R，“ ”可以省略不写。例如： ，即： ； 3、区间法： (1) 设实数 a<b，且a<b，则有下表: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“-∞”表示“负无穷大”， 集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R 区间 [a，+∞) (a，+∞) (-∞，a] (-∞，a) (-∞，+∞).   课前热身： 1、用列举法表示下列集合 ①大于0小于5的整数的全体。 。 ② 正整数中小于20的质数的全体。 。 ③ 。 ④ 。 2、用描述法表示下列集合 ①平行四边形的全体构成的集合。 ②所有偶数构成的集合。 ③方程的解构成的集合。 ④由-1、1两个元素构成的集合。 1.1.1　集合的表示方法（第2课时） 课堂讲练 典例精析： 题型一：用列举法表示集合： 例1、（1）{x│-3≤x≤3，x∈N} （2） （3）由直线 题型二：用描述法表示下列集合： 例2、用描述法表示集合： （1） （2）大于3的全体偶数构成的集合。 （3）在平面内，线段AB的垂直平分线 . 思考与讨论： 例3、判断三个集合 A{x | } 、 B{y | } 、 C{(x,y) | } 的元素分别是什么？分别列举出部分元素组成集合、、。 变式训练3、分别判断下列各组集合是否为同一个集合： (1) A={x|x+3>2} 与 B={y|y+3>2} (2) A={(1,2)} 与 B={1,2} (3) M={(x,y)|y=+1} 与 N={y| y=+1} 当堂检测 1、用列举法表示集合： （1）A={xN|0＜x≤5} (2) C={xZ|N} 2、集合A={x|y=,xZ,yZ},则集合A的元素个数为（ ） A 4 B 5 C 10 D 12 3、用描述法表示下列集合： （1）、被3除余2的所有整数构成的集合： 。 （2） 二次函数图象上的点构成的集合： 。 （3）使有意义的实数的集合： 。 1.1.1　集合的表示方法（第2课时） 课后练 1. 选择： （1）集合的另一种表示法是（ ） A. B. C. D. (2) 由大于-3小于11的偶数所组成的集合是（ ） A. B. C. D. (3) 方程组 的解集是（ ） A. (5, 4) B. C. (-5, 4) D. （5，-4） （4）集合M=（x,y）| xy<0, x, y是（ ） A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集 C. 第四象限内的点集 D. 第二、四象限内的点集 （5）设a, b, 集合1，a+b, a=0, , b, 则b-a等于（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2. 填空： （1）已知集合A=2, 4, x2-x, 若6，则x= （2）由平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为 . (3) 下面几种表示法： ① ； ② ； ③ ； ④（-1，2）； ⑤ ； ⑥ . 正确表示方程组 的解集的是 。 (4) 用列举法表示下列集合： A== ; B== ; C== . (5) 已知A= , B=, 则集合B= 。 3、解答： （1）、 已知集合A=, 且-3,求实数a.. （2）、 已知集合A=. ①若A中只有一个元素，求a的值； ②若A中至少有一个元素，求a的取值范围； ③若A中至多有一个元素，求a的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 gqlx-bx1-1-2 1.1.1 集合及其表示方法（第2课时）详尽解析版 课前预习 概念探究： 1. 列举法 定义填空：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}里，元素与元素之间用逗号分开，这种表示集合的方法叫做列举法。 适用情况详解 1）集合是有限集，元素数量不多，可直接全部列举； 示例：15的所有正因数构成的集合：{1，3，5，15} 2）集合是有限集，元素较多但存在明显规律，可列举首尾元素加省略号； 示例：不大于100的正整数全体：{1，2，3，…，100} 3）有固定规律的无限集，可通过规律列举代表性元素； 示例：自然数集N：{0，1，2，3，…} 2. 特征性质描述法（核心考点） 完整定义补全：一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质P(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质P(x)，则性质P(x)叫做集合A的一个特征性质。于是，集合A可以表示为所有满足性质P(x)且属于集合I的元素x的全体，这种表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法。 标准格式：A={x∈I | P(x)} 格式解读： 1. 竖线左边的x：代表集合中的元素，标明元素类型； 2. 竖线右边的P(x)：代表元素满足的唯一特征条件。 经典示例 1. 不等式x²-3x＞2的解集：{x∈R | x²-3x＞2} 2. 所有直角三角形的集合：{x | x是直角三角形} 描述法注意事项 1. 特征性质必须明确、唯一、可判定，模糊条件不能作为特征； 2. 若元素取值范围为实数集R，可省略x∈R，如{x | x-3＞2}。 课前热身 1. 列举法表示集合 ① 大于0小于5的整数全体 答案：{1，2，3，4} 解析：满足条件的整数为1、2、3、4，直接列举即可。 ② 方程x²-5x+6=0的解的全体 规范解答：因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2、x=3 答案：{2，3} 2. 描述法表示集合 ① 平行四边形的全体构成的集合 答案：{x | x是平行四边形} ② 方程x²-2x+3=0的解构成的集合 规范解答：判别式Δ=4-12=-8＜0，方程无实数解 答案：∅（空集） ③ 所有偶数构成的集合 答案：{x | x=2k，k∈Z} ④ 由-1、1两个元素构成的集合 答案：{x | x²=1} 课堂讲练 典例精析 题型一：列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合： （1）{x | -3≤x≤3，x∈N} 规范解答：满足条件的自然数为0、1、2、3 答案：{0，1，2，3} （2）{x | x²-x-6=0} 规范解答：解方程x²-x-6=0，因式分解得(x-3)(x+2)=0，解得x=3、x=-2 答案：{-2，3} （3）由直线2x+y-6=0与直线x-2y-3=0的交点构成的集合 规范解答：联立方程组求解 联立：{2x+y=6，x-2y=3} 解得：x=3，y=0 交点为有序数对(3，0) 答案：{(3，0)} 题型二：描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： （1）{-1，1} 解析：集合中元素满足平方等于1 答案：{x | x²=1} （2）大于3的全体偶数构成的集合 解析：偶数可表示为2k，数值大于3 答案：{x | x=2k，k∈Z，x＞3} （3）平面内线段AB的垂直平分线上的所有点 答案：{P | 点P在平面内，且PA=PB} 题型三：集合含义辨析（高频易错） 例3 判断集合A={x | y=x²}、B={y | y=x²}、C={(x,y) | y=x²}的元素含义 详细解析 1. 集合A：元素是x，x为任意实数，A=R，示例元素{0，1，-2} 2. 集合B：元素是y，y=x²≥0，为非负实数，示例元素{0，1，4} 3. 集合C：元素是有序实数对(x,y)，代表抛物线上所有点，示例元素{(0,0),(1,1)} 变式训练3：判断是否为同一集合 （1）A={x | x+3＞2}与B={y | y+3＞2} 解析：集合只与元素取值范围有关，与元素符号无关，化简均为{x | x＞-1} 答案：是同一个集合 （2）A={(1,2)}与B={1,2} 解析：A的元素是一个点，B的元素是两个实数，元素类型不同 答案：不是同一集合 （3）M={(x,y) | y=x²+1}与N={y | y=x²+1} 解析：M元素是点，N元素是实数，元素类型不同 答案：不是同一集合 当堂检测 1、列举法表示集合 （1）A={x∈N | 0＜x≤5} 答案：{1，2，3，4，5} （2）C={x∈Z | 6/(3-x)∈N} 答案：{2，1，0，-3} 2、选择题：集合A={x | y=12/(x+3)，x∈Z，y∈Z}，元素个数为（） 规范解答：x+3为12的约数：±1、±2、±3、±4、±6、±12，共12个， 对应x取值共12个。答案：D 3、描述法表示集合 （1）被3除余2的所有整数 答案：{x | x=3k+2，k∈Z} （2）抛物线y=x²+x-3上的所有点 答案：{(x,y) | y=x²+x-3，x∈R} （3）使y=√(2x+1)/(x-5)有意义的实数x 答案：{x | x≥-1/2且x≠5} 课后练 一、单选题 1. 集合{x∈N* | x＜5}的另一种表示法 解析：N*为正整数，满足条件：1、2、3、4 答案：B 2. 大于-3小于11的偶数集合 解析：偶数为整数且能被2整除，用x=2k（k∈Z）表示 答案：D 3. 方程组{x+y=1，x-y=9}的解集 规范解答：解得x=5，y=-4，解集为有序数对集合 答案：D 4. 集合H={(x,y) | xy＜0}含义 解析：xy＜0说明x、y异号，对应第二、四象限点 答案：D 5. 集合{1，a+b，a}={0，a/b，b}，求b-a 规范解答：由集合元素互异性，a≠0，故a+b=0，a=-b 代入得{1，0，-b}={0，-1，b}，得b=1，a=-1 b-a=1-(-1)=2 答案：C 二、填空题 1. A={2，4，x²-x}，6∈A，求x 规范解答：x²-x=6，解得x=3或x=-2 答案：3或-2 2. 平面直角坐标系第二象限点的集合 答案：{(x,y) | x＜0，y＞0} 3. 方程组解集正确表示 解析：方程组解集为有序数对集合，也可以为 {(x,y)|对应方程组}。 答案：②⑤ 4. 列举法表示集合 A={x∈N | |x|≤2}={0，1，2} B={x∈Z | |x|≤2}={-2，-1，0，1，2} C={(x,y) | x²+y²=4，x,y∈Z}={(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)} 5. A={1,0,-1,2}，B={y|y=|x|,x∈A} 规范解答：代入计算得0、1、2，去重 答案：{0，1，2} 三、解答题 1. 已知集合A={a-2，2a²+5a，12}，且-3∈A，求a 规范解答 ① 令a-2=-3，解得a=-1 代入得元素：-3、-3、12，元素重复，违反互异性，舍去； ② 令2a²+5a=-3，解得a=-1（舍去）或a=-3/2 代入验证：元素互不重复，符合题意； 答案：a=-3/2 2. 已知集合A={x | ax²+2x+1=0，a∈R} （1）A中只有一个元素，求a 规范解答： ① a=0时，方程为一次方程2x+1=0，唯一解，符合； ② a≠0时，二次方程判别式Δ=4-4a=0，得a=1； 答案：a=0或a=1 （2）A中至少有一个元素，求a范围 解析：方程有解，一次方程恒有解，二次方程Δ≥0 解得a≤1 答案：a≤1 （3）A中至多有一个元素，求a范围 解析：无解或唯一解，Δ≤0或a=0 答案：a=0或a≥1 学科网（北京）股份有限公司 $