函数的奇偶性专项训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性定义与性质，通过基础应用到综合拓展的梯度设计，系统构建"定义判断-性质应用-导数结合"的解题方法体系，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6题|定义法判断奇偶性、利用f(-x)=±f(x)求参数|从奇偶性定义出发，推导定义域对称性、特殊值性质，形成概念应用链| |综合应用|8题|奇偶性与周期性/单调性结合、构造函数法|整合函数性质，通过图像对称与转化思想，建立性质综合应用逻辑| |拓展提升|5题|导数与奇偶性结合、抽象函数性质推导|深化数学思维，运用导数工具分析函数特性，构建高阶应用推理路径|

函数的奇偶性 典型考点专题练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数所有零点之和为0. B．若函数有三个零点，则 C．当时， D．函数在上为增函数 5．已知是偶函数，则函数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是（   ） A． B．2 C． D．4 6．已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是函数的极大值点，则（    ） A． B． C．有两个零点 D．是奇函数 10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，，都有 11．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C．是周期函数 D． 三、填空题 12．若为偶函数，则________． 13．关于函数有如下四个命题： ①的图象关于y轴对称． ②的图象关于原点对称． ③的图象关于直线x=对称． ④的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 14．若是偶函数，则_______ 四、解答题 15．已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 16．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 17．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 18．已知奇函数在区间上是单调减函数，且，，，试判断与0的关系，并证明． 19．已知函数，且． (1)求k的值； (2)试求实数p，使函数在区间上为单调函数； (3)试判断函数的奇偶性． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A A C B ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 2．C 【详解】由于，，则2是函数在上的一个周期． 又由于函数为偶函数，有，且当时，， 所以有． 3．A 【详解】利用偶函数性质得，得. 周期，，因此. ，且， 则 因此. 4．C 【分析】利用函数的奇偶性，分段函数图象与性质函数的零点以及函数单调性逐项分析即可. 【详解】选项A， 当时，， ①当时，令 ，解得：或，均满足题意， ②当时，令 ，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为， 所以函数所有零点之和为 ，故 A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令 ， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以 ，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 5．A 【分析】利用偶函数一次项系数为0得到的约束条件，将函数与轴交点纵坐标表示为关于的三角函数式，结合三角函数有界性求最大值. 【详解】由是偶函数，可得，即，可设， 由，可得函数图象与轴交点的纵坐标为， 因为， 且由得，所以， 所以，即函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是. 6．A 【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 【详解】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 7．C 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 8．B 【分析】根据题意，构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质即可求解. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，且图象连续不断，所以是偶函数， 由于，所以， 因为等价于，得，解得或， 因此不等式的解集为. 9．ACD 【分析】利用导数，极值和零点定义，即可判断ABC，用奇函数的判断方法可判断D. 【详解】函数的导数为， 已知是函数的极大值点， 所以，解得或， A：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极大值点，A正确； B：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极小值点，B错误； C：令，解得或，显然有2个零点，C正确； D.：， 设，定义域为且 ，所以是奇函数，D正确. 10．ABD 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】A，因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的x恒成立，所以，解得，故A正确； B，令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； C，因为， 当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； D，设任意，则，，则， 又， 所以，当且仅当时取等号， 所以对任意，，都有，故D正确． 11．ACD 【分析】根据已知等式结合函数奇偶性、对称性定义可判断A选项；在A选项中的等式中，利用赋值法求出的值，可判断B选项；利用奇偶性的定义可判断C选项；利用函数周期性的定义求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】A选项，因为函数的定义域为，且为奇函数， 故对任意的，，即， 所以的图象关于点对称，故A正确； B选项，因为函数为偶函数，则对任意，， 令，则，故函数的图象关于直线对称， 在等式中，令可得，解得， 在等式中，令可得，故B错误； C选项，在等式中，用替代得， 即①， 在等式中，用替代可得， 即②， ②代入①可得，于是得出， 所以，即函数是周期为的周期函数，故C正确； D选项，因为，令可得， 又因为，，且函数是周期为的周期函数， 则 ，故D正确. 12．2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 13．②③ 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 14．0或2 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可. 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 15．(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 16．(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 【详解】（1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 17．(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 18．，证明如下： 由得，因为在上是单调减函数，所以， 又因为为奇函数，所以，即， 同理，，， 所以，即， 所以． 【分析】利用函数单调性和奇偶性即可证明. 【详解】略. 19．(1)或1． (2) (3)当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数 【分析】（1）应用幂函数的单调性列式计算求解参数； （2）分类讨论结合函数单调性列式计算求解； （3）分类讨论结合函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）， ，解得， ， 或1． （2），， ①当时，为单调函数，符合题意； ②当时，二次函数的对称轴为， 要使二次函数为区间上的单调函数，只需或，解得或． 综上所得，p的范围为． （3）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数. 由题意知：，由于，故不可能为奇函数； ①当时，，对任意的x，满足，为偶函数； ②当时，，，，故不是偶函数； 综上可得， 当时，为偶函数； 当时，为非奇非偶函数． 学科网（北京）股份有限公司 $