2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 解析卷 答案速查表 2 考点一：函数奇偶性的判定与求参 2 考法1：定义法与代数变形判断函数奇偶性 2 考法2：利用奇偶性定义与特殊值求参数 4 考法3：奇偶性命题的充要条件判定 6 考点二：奇偶性在求值、解析式与值域中的应用 6 考法4：利用奇偶性与函数性质求函数值 6 考法5：利用对称性与奇偶性求函数解析式 8 考法6：函数奇偶性与值域及最值综合 8 考点三：奇偶性与单调性综合 9 考法7：利用奇偶性与单调性比较大小 9 考法8：利用奇偶性与单调性解不等式 10 考法9：构造奇偶与单调函数解不等式 12 考点四：函数的周期性及其求值应用 13 考法10：代数递推推导周期与函数求值 13 考点五：函数的对称性及其求和应用 15 考法11：函数的轴对称与中心对称求参数 15 考法12：构造中心对称与倒序配凑求和 17 考法13：函数对称中心与图象交点性质综合 17 考点六：奇偶性、对称性与周期性的综合推导 19 考法14：对称中心与轴对称的周期转化及求值策略 19 考法15：周期性与对称性结合求零点及交点个数 22 考法16：奇偶性、对称性与单调性最值综合 24 考点七：抽象函数的性质推导与多选题综合判断 27 考法17：特殊值代入法推导抽象函数性质及应用 27 考法18：多维关系式下抽象函数多选题的真假辨析 29 考法19：导数性质与抽象函数对称周期的联动探究 32 考点八：新定义与高观点综合探究 34 考法20：特异函数（狄利克雷与取整函数）性质探究 34 考法21：新定义对称集模型与函数性质证明 35 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 方法总结 35 答案速查表 1 2 3 4 5 B B BC C B 6 7 8 9 10 1 1 A D 11 12 13 14 15 A -7 4052 99 C 16 17 18 19 20 AC A A B B 21 22 23 24 25 B D BC 26 27 28 29 30 7 2024 B 见解析 D 31 32 33 34 35 B ；2 D A 36 37 38 39 40 A BD BCD -4 -2025 41 42 43 44 45 A AB 10 10 D 46 47 48 49 50 A 5 D A D 51 52 53 54 55 1 f（x）=（答案不唯一） ACD ABD ACD 56 57 58 59 60 ACD ACD BCD B ABD 61 证明见解析 考点一：函数奇偶性的判定与求参 考法1：定义法与代数变形判断函数奇偶性 1.（2026·山东潍坊·一模）下列函数中，值域为 的偶函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据常见初等函数的定义域、奇偶性定义以及各函数的值域特征，逐一分析判断即可. 【解析】由偶函数定义可知 满足 ，为偶函数，且其值域为 ，符合题意； 的值域为 ； 定义域为 ，为非奇非偶函数； 的值域为 .故选B. 2.（2025·河北省级联考·模拟）已知函数 ，则 是（　　） A. 偶函数，有最小值 B. 偶函数，有最大值 C. 奇函数，在 上单调递增 D. 奇函数，在 上单调递减 【答案】B 【思路】先通过对数运算和代数化简验证 与 的关系确定奇偶性，再通过换元法结合复合函数单调性求解函数的最值. 【解析】函数 的定义域为 . . ，故函数 为偶函数. 令 ，则 . . 所以 ，由复合函数的单调性可得 在 上单调递减. 在 处取得最大值. 故选B. 3.（2026·湖北孝感·一模）（多选）关于定义域为 的函数 ，下列说法正确的有（　　） A. 存在函数 ，使得 恒成立 B. 存在函数 ，使得 恒成立 C. 存在函数 ，使得 恒成立 D. 存在函数 ，使得 恒成立 【答案】BC 【思路】利用函数奇偶性的定义分析左边表达式的奇偶特征，结合等式右侧函数的奇偶性进行匹配，或通过构造特例进行验证. 【解析】对于定义域为 的函数 ，函数 与 的定义域均为 . 因 ，， 故 为偶函数， 为奇函数. 而 为奇函数， 为偶函数，故AD错误. 令 ，可得 ， ，故BC正确. 故选BC. 考法2：利用奇偶性定义与特殊值求参数 4.（2026·湖北·模拟）若 为奇函数，则 的值为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【思路】根据奇函数的定义 列出关于自变量 的恒等式，对比多项式系数求解参数 . 【解析】， . 为奇函数，， ，， ， ， 对于任意的 恒成立， ，，故选项C正确. 故选C. 5.（2026·江西南昌·一模）已知函数 ，若函数 为偶函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用三次函数对称中心性质或将 展开配方，由偶函数图象关于 轴对称使奇次项系数为0，进而求得参数值. 【解析】因为 ， 所以 . 因为 为偶函数，所以 恒成立， 即奇次项系数均为 0，由于 项系数为 1，故需平移使三次函数图象的对称中心落在 轴上且对称中心纵坐标为 0. 由 ，得 的对称中心为 . 要使 为偶函数，其对称中心必须平移至原点 ， 因此图象向左平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，即 . 故选B. 6.（2026·广东中山·二模）函数 是奇函数，则实数 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】1 【思路】根据奇函数定义 列出等式化简，求解参数 . 【解析】因为函数 是奇函数，所以 ， 即 ，由于分母 ，化简得 ， 解得 . 故答案为：1. 7.（2026·新疆·二模）若函数 为偶函数，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】1 【思路】根据奇偶性转化，由于 是奇函数，要使 为偶函数，则对数部分必须为奇函数，利用特殊值法代入 快速求参数并验证. 【解析】由函数 为偶函数 函数 为奇函数， . 故答案为：1. 8.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 ． （1）当 为偶函数时，求曲线 在点 处的切线方程． 【答案】 【思路】根据奇偶性定义由 恒成立求得参数 ，再求导计算在 处的切线斜率与切点坐标，由点斜式写出切线方程. 【解析】若 为偶函数，即 ， 则 ，即得 ， 即 ，由于 ，则 ， 此时 ，， 所以 ，， 故所求的切线方程为 ，即 . 考法3：奇偶性命题的充要条件判定 9.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 的定义域为 ，设甲：，乙： 是偶函数，则甲是乙的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【思路】根据偶函数的定义分别推导甲能否推出乙以及乙能否推出甲，注意自变量的正负分类讨论. 【解析】对任意 ，若 ，则 ，所以 是偶函数，即甲能推出乙. 反之，若 是偶函数，则 ， 当 时，，有 ， 当 时，，有 ， 综上，对任意 ， 恒成立，故乙能推出甲. 则甲是乙的充要条件. 故选A. 考点二：奇偶性在求值、解析式与值域中的应用 考法4：利用奇偶性与函数性质求函数值 10.（2026·河北NT20·检测）已知函数 是奇函数，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由奇函数性质 ，将负数自变量的函数值转化为正数自变量的函数值求解. 【解析】已知 是奇函数，根据奇函数定义有 .当 时，，则 ，所以 .故选D. 11.（2026·湖南株洲·一模）已知 是奇函数， 是偶函数，其定义域均为 ，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】利用奇偶性将自变量 代换为 得到方程组，联立消元分别求出 和 的解析式，进而计算函数值. 【解析】因为定义域均为 且 ， 所以可得 ， 又因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，， 即上式可化简为 ， 再与 相加可得 ， 代入 可得 ， 所以 ，即 . 故选A. 12.（2026·山西三重教育·二模）已知定义在 上的奇函数 ，当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】-7 【思路】由奇函数性质 ，将负自变量转化为正自变量代入已知解析式求解. 【解析】因为奇函数 满足，当 时，有 ，所以 . 故答案为：-7. 13.（2026·河北衡水·检测）已知奇函数 满足：当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】4052 【思路】根据奇函数性质转化为 ，再利用函数表达式计算两互为倒数的自变量的函数值之和，抵消对数与分式项. 【解析】显然 ，注意到 时 ， 于是 . 故答案为：4052. 考法5：利用对称性与奇偶性求函数解析式 14.（2026·湖南雅礼中学·模拟）已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点 对称，，且 的图象关于点 对称，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】99 【思路】利用中心对称的代数关系式推导函数 的递推关系与周期性，进而将大数自变量逐步化简求值. 【解析】因为 的图象关于点 对称，所以 ， 用 替换 可得 .① 因为 的图象关于点 对称，所以 ， 又 ，用 替换 可得 ， 用 替换 可得 ， 两式相加可得 ， 用 替换 可得 .② 由①-②可得 ， 用 替换 可得 ， 因为 ， 在 中令 ，得 ，故 ， ， 因此 . 故答案为：99. 考法6：函数奇偶性与值域及最值综合 15.（2025·河南创新发展联盟·一模）已知奇函数 的定义域为 ，且其图象是连续的曲线，若 在区间 上的值域为 ，在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】由奇函数的对称性可知函数在原点有定义必有 ，结合连续函数性质及在对称区间上的值域建立关于 的不等式组求解. 【解析】因为 是定义在 上的奇函数，所以 . 由于其图象是连续的曲线，由奇函数性质可知， 在 上的值域与 上的值域关于原点对称， 从而 在 上的最小值为 ，最大值为 . 由题意， 在 上的值域为 ，其中必有 . 因此 ，即 ，解得 或 （舍去，因 ）. 同时要求 . 结合值域范围端点要求，实数 的取值范围为 . 故选C. 16.（2025·江西九江·一模）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 有 3 个零点 C. 的最大值为 1 D. 的最小值为 【答案】AC 【思路】由定义域对称性与 判断奇偶性；解方程 确定区间内零点个数；由分子分母的有界性分析函数最值的可达性. 【解析】，且定义域关于原点对称， 是偶函数，故A正确； 由 ，得 ， 有 2 个零点，故B错误； ，， 即 ，等号成立的条件 ， 当 不能同时成立取不到 ，得 ，故C正确，D错误. 故选AC. 考点三：奇偶性与单调性综合 考法7：利用奇偶性与单调性比较大小 17.（2026·河南新未来·检测）已知函数 ，设 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分析函数 的对称轴与单调性，将自变量转化到同一单调区间上比较与对称轴的距离大小，即可得出函数值的大小关系. 【解析】易知 关于直线 对称，且在 上单调递增. ，，故 ，所以 . 又 ，所以 ，故选A. 18.（2026·贵州毕节·检测）已知函数 ，若 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先利用奇偶性定义判断 为偶函数，再由导数确定其在正半轴的单调性，结合基本不等式与对数估值确定自变量的大小关系. 【解析】， 因此 是偶函数，故 . 当 时，. 对任意 ，，， 因此 对 恒成立， 在 上单调递增. ， 而 ，因此 ， 即 ， 结合 在 上单调递增可得 . 故选A. 考法8：利用奇偶性与单调性解不等式 19.（2026·湖南A佳教育·检测）已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时，，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由正半轴解析式判断单调性并求特殊值 ，再结合偶函数性质 将函数不等式转化为自变量绝对值的不等式求解. 【解析】因为函数 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增. 因为函数 是定义域为 的偶函数，且 ， 所以由 或 ， 所以原不等式的解集为 . 故选B. 20.（2025·河北邢台协作体·一模）设函数 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】先判断函数的奇偶性与在正半轴的单调性，利用奇偶性脱去函数符号转化为关于绝对值的不等式求解. 【解析】函数 的定义域为 ， 且 ，即 为偶函数， 当 时 与 ， 与 均在 上单调递增， 所以 与 均在 上单调递增， 所以 在 上单调递增，则不等式 等价于 ， 即 ，解得 或 ， 即不等式 的解集为 . 故选B. 21.（2025·江西上进·联考）已知函数 ，则不等式 的解集为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】分析函数 的奇偶性与单调性，将不等式移项后转化为 ，根据单调性脱去函数符号求解. 【解析】易知 是单调递减的奇函数，故 . 故答案为：. 22.（2026·江苏苏北四市·一模）已知函数 为奇函数，则不等式 的解集为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】利用奇函数定义分别由指数项和对数项求出参数 的值，确定函数解析式与定义域，再利用单调性与奇偶性求解函数不等式. 【解析】由题意 为奇函数， 可求得 ， 则 的定义域满足 且 ，即 ，且 在定义域各单调区间上单调递减. 不等式 ， 结合定义域与单调性求解可得不等式的解集为 . 故答案为：. 考法9：构造奇偶与单调函数解不等式 23.（2025·河北石家庄·模拟）已知 是定义在 上的奇函数，当 且 时，都有 成立，，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】构造辅助函数 ，由已知条件判断 的奇偶性与单调性，将不等式转化为 的不等式后分类讨论正负求解. 【解析】构造函数 ，其中 ，则 ， 故函数 为偶函数. 当 且 时，都有 成立， 不妨设 ，则 ，即 ， 故函数 在 上为增函数，即该函数在 上为减函数. 因为 ，则 . 当 时，由 得 ，即 ，解得 ； 当 时，由 得 ，即 ，解得 . 综上所述，不等式 的解集为 . 故选B. 考点四：函数的周期性及其求值应用 考法10：代数递推推导周期与函数求值 24.（2026·湖南九校联盟·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用递推式推导出函数的周期 ，再由赋值法求得 的值，利用周期性化简求解. 【解析】因为 ，所以 ， 两式相减得 ，故 的一个周期为 4. 中，令 得 ，又 ，故 ， 所以 . 故选D. 25.（2026·江苏名校联盟·一模）（多选）函数 满足 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. 的周期为 6 C. D. 的图象关于直线 对称 【答案】BC 【思路】通过特殊值赋值判断 ；令 结合递推公式推导周期性；令 配方求得函数值域下界；通过举反例判断对称性. 【解析】由 得 ，代入 得 ，A错误； 令 得 ， 用 换 得 ， 两式相加得 ，即 ， 用 换 得 ，即 ， 用 换 得 ，所以 周期为 6，B正确； 令 得 ，即 ， 由于 ，所以 ，因此 ，故C正确； 已知 ，对 赋值得： 令 得 ， 令 得 ， 令 ，若 关于 对称，则 ， 但 ，不相等，故D错误. 故选BC. 26.（2026·湖南炎德英才·模拟）已知 的定义域为 ，周期为 4，当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】7 【思路】利用周期性把自变量化简到给定区间 内，代入解析式计算函数值. 【解析】，因此 . 故答案为：7. 27.（2025·河北沧衡八县·一模）已知函数 满足：，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】2024 【思路】利用夹逼法结合已知不等式推导出函数满足的等差递推关系，再求出 的具体值. 【解析】依题意，因为 ，则 . 令 ，则 .因为 ，所以 . 又因为 ，则 ，即 . 令 ，则 ，即 . 令 ，则 ，所以 .所以 ，即 . 又 ； . 所以 ，即 . 故答案为：2024. 考点五：函数的对称性及其求和应用 考法11：函数的轴对称与中心对称求参数 28.（2025·广东久洵·检测）若函数 关于直线 对称，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由对称性建立恒等式 ，利用指数项与二次项的对应系数相等求解参数 . 【解析】由题意函数 关于直线 对称， 故 ，即 ， 即 ， 即 . 故需满足 且 ，即 ， 则 . 故选B. 29.（2026·安徽安庆·二模）已知函数 ． （1）证明：函数 的图象为轴对称图形； （2）当 时，证明：； （3）若数列 满足：，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【思路】第（1）问通过对称轴 验证 ；第（2）问构造差值函数并利用导数证明不等式；第（3）问采用三角代换 化简递推数列，结合裂项相消与（2）的结论放缩证明. 【解析】（1）证明：由于 的定义域关于 对称，因此函数 的图象关于 对称. 证明如下： 设点 为函数 的图象上任意一点， 则 关于 对称的点为 ， 由于 ， 故 也在函数 的图象上， 故函数 的图象为关于 对称的轴对称图形. （2）即证明：， 令 ，则 ，且 在 上单调递减，由于 ，故存在 ，使得 ，则在区间 上，， 单调递增，在区间 上，， 单调递减，故 ，故 . 令 ，则 ，故 在 上单调递增，故 ，即 . 综上，. （3）显然 ，令 ， 则 ，故 ， 于是 . 由于 ， ， 由于 ，故 ，， 故 ， 于是：. 由（2）知：， 即 ，得证. 考法12：构造中心对称与倒序配凑求和 30.（2026·河南湘豫名校·联考）若函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用根式有理化与对数运算证明 ，确定函数图象关于点 对称，进而采用倒序相加法求和. 【解析】因为 . 令 ，则 ， 两式相加得 ，所以 . 故选D. 31.（2026·山西临汾·一模）已知 ，数列 满足：，则 为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由对称中心性质证明 ，进而将数列各项倒序相加配对求和. 【解析】由函数 ，得 ， 令 ， 则 ， 两式相加得 （共2026个2），解得 . 故选B. 考法13：函数对称中心与图象交点性质综合 32.（2025·河南TOP名校·联考）曲线 的对称中心的坐标为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设对称中心为 ，利用 列出恒等式求得对称中心，或利用三次函数二阶导数零点求解. 【解析】设 ，函数 的对称中心为 ，则 ，两边求导得 ，即 ，所以函数 的图象关于直线 对称，因为 ，故函数 的图象关于直线 对称，则 ，因为 ，所以曲线 的对称中心为 . 故答案为：. 33.（2026·江苏镇江·模拟）已知函数 ，则 的解集为＿＿＿＿＿＿； 与 图象的交点横坐标之和为＿＿＿＿＿＿． 【答案】；2 【思路】第一空直接解分式对数不等式；第二空分析两个函数的对称中心，发现两函数图象均关于同一点中心对称，再结合单调性判断交点个数与对称性. 【解析】方法一：由 ，， 解集为 . 关于 中心对称， 关于 中心对称. 关于 中心对称， 也关于 中心对称， 它们图象的交点也关于 中心对称.令 ，注意到 在 和 上分别递减， 且 时，； 时，. 在 上只有一个零点 . 由对称性它在 上也只有一个零点 ，且 . 故答案为：；2. 考点六：奇偶性、对称性与周期性的综合推导 考法14：对称中心与轴对称的周期转化及求值策略 34.（2026·湖北随州·模拟）已知定义域为 的奇函数 的周期为 8，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由奇函数的性质可得 ，结合半周期或特殊点对称性求出 ，再根据周期为 8 即可求得 的值. 【解析】∵ 定义域为 的奇函数 的周期为 8，∴ .当 时，则 ，即 ，故有 ，则 .故选 D. 35.（2025·全国一卷·检测）设 是定义在 上且周期为 2 的偶函数，当 时，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】利用偶函数性质将负自变量转化为正自变量，再利用周期性将自变量平移到已知解析式的区间 内代入计算. 【解析】由题知 ， 对一切 成立，于是 .故选 A. 36.（2026·河北沧州八校·二模）已知 的定义域为 ， 的图象关于点 对称，，且 的图象关于点 对称，则 （　　） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 【答案】A 【思路】根据对称中心的代数表达式列出 与 满足的等式，通过变量代换消元得出 的周期递推关系，进而求出 的值. 【解析】∵ 关于 对称，∴ ，用 替换 可得 ①. ∵ 关于 对称，∴ . 又 ，用 替换 可得 ， 用 替换 可得 ， 两式相加可得 ，用 替换 可得 ②. 由①-②可得 ，用 替换 可得 . ∵ ， 在 中令 ，得 ，故 ， ， 因此 .故选 A. 37.（2026·安徽华师联盟·检测）（多选）已知函数 ，则（　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D. 【答案】BD 【思路】先求解函数的定义域，结合正弦函数的周期性与对数函数单调性对各选项逐项分析判断. 【解析】对于 A，由 得定义域为 ，不关于原点对称，故 不是奇函数，A 错误. 对于 B，∵ ，∴ ， 是周期为 的周期函数，B 正确. 对于 C、D，∵ ，∴ ，即 ，C 错误，D 正确. 故选 BD. 38.（2026·安徽省十·模拟）（多选）已知 是定义域为 ，最小正周期为 的函数，我们把 称为 的叠加函数，则（　　） A. 的叠加函数是最小正周期为 的周期函数 B. 当 时， 的值域为 C. 当 时，方程 在 上有 25 个实根 D. 当 时，方程 在 有实根的充要条件为 【答案】BCD 【思路】根据新定义的叠加函数表达式，结合函数的周期性、三角恒等变换、分段函数解析式以及方程的根进行逐项判定. 【解析】对于 A，取 ，则 为 的一个周期，其最小正周期不一定是 ，A 错误. 对于 B，当 时 ，，B 正确. 对于 C，，当 时，；当 时，由 ，得 或 ， 的最小正周期为 ，方程 在 的实根有 ，共 4 个，所以方程 在 的实根有 24 个，在 的实根有 25 个，C 正确. 对于 D，，当 时，，；当 时，，，所以方程 在 上有实根的充要条件是 ，D 正确. 故选 BCD. 39.（2026·山东东营·二模）已知奇函数 的周期为 2，且当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】-4 【思路】利用对数的运算性质估算自变量的范围，再利用周期性与奇偶性转化到区间 内代入计算. 【解析】∵ ，由周期为 2 可知 . 又 ∵ 为奇函数，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ . 40.（2025·河北NT20·二模）已知定义在 上的函数 的导函数为 ， 为偶函数，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】-2025 【思路】由偶函数定义求导得出导函数 的对称中心，结合轴对称求出 的周期与单周期内各点函数值之和. 【解析】由 为偶函数得 ，则 . 两边同时求导，得 ，即 ①， 所以 的图象关于点 对称，即 . 由 的图象关于直线 对称，得 ②. 由①-②，得 ，所以 . 又 ，所以 ，即 的周期为 4. 令 得 ，， . 考法15：周期性与对称性结合求零点及交点个数 41.（2026·江西萍乡·二模）已知 是定义在 上的奇函数，且其图象关于直线 对称，当 时，，则方程 在区间 上解的个数为（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【思路】由奇函数及轴对称推导出函数的周期 ，结合两个函数在同一周期内的单调性与极值，数形结合统计在给定区间内的交点个数. 【解析】∵ 是定义在 上的奇函数，且关于直线 对称， ∴ ，，∴ ，故 ，周期 . 当 时，，在 上单调递减，. 作函数 与 在 上的图象， 在 的每个半周期内分别分析两曲线的交点， 结合对称性与端点值，两函数在 上的交点个数共有 11 个.故选 A. 42.（2026·河北百师联盟·一模）（多选）设函数 的定义域为 ，且满足 ，，当 时，，则（　　） A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程 在区间 内恰有 1012 个实数解 【答案】AB 【思路】利用对称性与反演关系推导奇偶性与周期性，画出基础周期内的图象，进而判定最值与周期解的个数. 【解析】对于选项 A，∵ 函数 的定义域为 ，又 ，∴ ，又 ，得到 ，∴ 是奇函数，故选项 A 正确. 对于选项 B，∵ ，∴ ，得到 的周期为 4，∴ ，故选项 B 正确. 对于选项 C，当 时，，又 是奇函数，∴ 当 时，，故选项 C 错误. 对于选项 D，当 时，，则 ，得到 ， ∵ ，∴ 函数 关于直线 对称，∴ 在 上的图像如图所示. 由图知， 在 有 4 个交点，又 的周期为 4，且在区间 上共有 506 个周期，∴ 方程 在区间 内恰有 2024 个实数解，故选项 D 错误. 故选 AB. 43.（2026·河南新乡·模拟）已知函数 的图象连续不断，且 ，都有 ，，当 时 ，若 ，且函数 ，则 与 的图象交点个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】10 【思路】由点对称与轴对称求出函数的周期与解析式参数，再结合对数函数图象的增长边界统计交点个数. 【解析】由 知 关于点 对称，由 知 关于直线 对称. ∴ ，，得 ，故 ，周期 . 由对称性可知 ，. 代入 得 ，即 . 由 在 上连续可知在 处有 ，故 ，即 ， 联立解得 ，故 在 上的最大值为 1，最小值为 -1. 当 时，，两图象无交点. 在 内，利用周期性结合图象可得共有 5 个交点，由偶函数对称性，在 内也有 5 个交点， 故 与 的图象交点总个数为 10. 44.（2025·河南青桐鸣·联考）已知函数 的定义域均为 ，且 为偶函数， 为奇函数，函数 的最小值为 ，若函数 有两个零点 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】10 【思路】先利用二次函数最值确定 的值及对称轴，再根据抽象函数的奇偶性推导 的对称轴，从而得出 的对称中心/轴，利用对称性求解零点之和. 【解析】由函数 的最小值为 ，得 ，解得 . 又 ，故 ，所以 ，对称轴为 . ∵ 函数 为偶函数，∴ ，可得 ； ∵ 函数 为奇函数，∴ ，可得 ，即 ，∴ ，故函数 是以 4 为周期的周期函数. 由 ，得函数 关于 对称，结合周期为 4，可知函数 关于 对称. 故 关于 对称，所以 . 考法16：奇偶性、对称性与单调性最值综合 45.（2026·辽宁抚顺六校·一模）已知函数 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递减，若 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据对称轴与单调性确定函数图象关于 呈“中间高两边低”的特征，分 讨论自变量距离对称轴的远近关系. 【解析】 的图象关于直线 对称，所以 ，且 在 上单调递增.若 ，则 . 当 时，则 的图象关于直线 对称，，不符合题意. 当 时，若 ，则根据单调性可得 ；若 ，则 ，因为 ，所以 ，根据单调性可得 ，故此时满足题意. 当 时，若 ，则根据单调性可得 ；若 ，则 ，不满足题意. 综上， 的取值范围是 .故选 D. 46.（2026·陕西西安一中·模拟）定义在 上的函数 满足：，且 ，当 时，，则 的最大值与最小值的差为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【思路】由对称性求出参数 的值，再由导数求出基础区间上的极值与最值，结合全域对称性与周期性确定全域最大值与最小值. 【解析】对任意的 ，，，所以 的图象关于直线 对称，又关于点 对称， 所以 ，，所以 ，所以 ，即 ， 所以 ，故 是周期为 8 的周期函数. 因为 的定义域为 ，所以对称中心 在 的图象上，可得 ，则 . 当 时，，有 ， 当 或 时，；当 时，. 可知 在 上递增，在区间 上递减，在 上递增. 当 时，，， 又因为 ，，所以 ，. 由于 的图象关于点 对称，故当 时，，. 故当 时，，. 由于 的图象关于直线 对称，故当 时，，. 因为 是周期为 8 的周期函数，故当 时，，. 因此 的最大值与最小值的差为 .故选 A. 47.（2025·江苏高邮·联考）已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时，，函数 ，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】5 【思路】分析两个函数的公共对称中心 ，结合图象单调性确定交点的个数，利用对称中心性质求解横坐标之和. 【解析】函数 的图象是中心对称图形，对称中心为 . 定义在 上的偶函数 满足 ，则函数 有对称轴为 轴，对称中心 ； 又当 时，， 当 时，，解得 ，由题意可得 ，而 . 所以 ，两函数图象无交点， 在同一坐标系在 内作出 与 的图象， 当 ，， 令 ， 则 ，且 ， 所以存在 ，使得当 时，， 单调递增， 所以当 时，，即 ， 结合图象可得， 与 图象有 5 个交点， 又 均是 与 的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为 . 考点七：抽象函数的性质推导与多选题综合判断 考法17：特殊值代入法推导抽象函数性质及应用 48.（2025·广东深圳高级中学·检测）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，，则（　　） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线 对称 C. 的最小正周期为 4 D. 的图象关于点 对称 【答案】D 【思路】由 的奇偶性得到对称中心，代入特殊值确定 ，进而推导 的周期性与复合函数的对称性. 【解析】由 为奇函数，得 ，所以 的图象关于点 对称，故 . ∴ ，即 ， ∴ ，故 的周期为 4， 的周期为 2，C 错误. 由 关于点 对称，可知 关于点 对称，D 正确. 由已有条件无法推出 为奇函数或关于 对称，A、B 错误.故选 D. 49.（2026·山西大学附中·检测）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 （　　） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【思路】通过换元法将复合函数的奇偶性转化为 的对称轴和对称中心，推导周期性并计算一个周期内的函数值之和. 【解析】∵ 为奇函数，∴ ，令 ，则 ，即 ①. ∵ 为偶函数，∴ ，令 ，则 ，即 . ∴ ，∴ ，即 ②，∴ ，所以 4 是 的一个周期. 由① 式，取 ，可得 ，即得 . 又由② 式，取 ，可得 ，故 ，. 由② 式，取 ，可得 ，取 ，可得 . 故 ， 则 .故选 A. 50.（2026·全国二卷·检测）已知函数 为偶函数，且满足 ，且当 时，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由递推式求出函数的周期，结合偶函数性质确定对称轴及特定点处的函数值，列方程组求出参数 . 【解析】，则 ，，即 周期为 4. 结合奇偶性，周期性，故 ，在 上满足 ，说明 的对称轴为 ，则 ，解得 . 又根据 知 ，而 ，则 ，于是 ，即 ，解得 .故选 D. 51.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数 的定义域为 ，，，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】1 【思路】由点对称表达式求出对称中心，由平移关系式求出周期，进而将 转化到中心点处求值. 【解析】由 知 的图象关于点 对称. 由 知 ，所以 的周期为 4. 所以 . 在 中令 ，得 ，解得 ，故 . 52.（2026·广东东莞·二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ：＿＿＿＿＿＿. ①；②任意 ，都有 ；③ 是偶函数. 【答案】（答案不唯一，如 等） 【思路】由性质①联想幂函数，由性质②确定函数单调递增，由性质③确定原函数为奇函数，构造满足条件的具体函数. 【解析】任意 ，都有 ，所以函数 在 上单调递增或为常函数. 因为 ，所以 可以是幂函数或 或 等函数. 又 是偶函数，故 ，即 ，所以 ，所以 ， 为常数. 综上，函数 的解析式不唯一，可以是 等. 考法18：多维关系式下抽象函数多选题的真假辨析 53.（2026·山西·二模）（多选）已知函数 满足对于任意的 ，都有 ，且 ，则以下结论正确的是（　　） A. B. C. 是偶函数 D. 关于 对称 【答案】ACD 【思路】利用赋值法依次令 和 ，推导出函数的奇偶性、递推关系与周期性，进而计算前 项和及对称中心. 【解析】对于 A，令 ，得 ，整理得 ，故 或 . 若 ，令 ，则 ，即 恒成立，这与 矛盾，故 ，A 正确. 对于 C，令 ，因 ，则 ，即 ，故 是偶函数，C 正确. 对于 B，令 ，则 ，即 . 由此递推：， 则 ， 于是 ，故 的一个周期为 6. 又 ， 则 . 因 ，故 ，B 错误. 对于 D，由 C 项知 ，则 ，又 是偶函数，有 ， 即 ，而 ， 故 ，即 ，故 关于 对称，D 正确. 故选 ACD. 54.（2026·广西桂林八市·二模）（多选）已知函数 都是奇函数，且 为单调函数，若对任意 ，都有 ，，则（　　） A. B. 在 上是增函数 C. D. 是周期函数 【答案】ABD 【思路】由单调函数与常数复合确定内层函数为常数，结合奇函数性质求得 的显式解析式，进而分析 的表达式与单调性. 【解析】因为函数 是单调函数，则存在唯一的实数 ，使得 . ∵ ，∴ ，∴ . 又 是奇函数，所以 ，∴ ，∴ ，∴ ，故 ，A 正确. 在 上是增函数，B 正确. 又 ，， ∴ ，即 ， ∴ 或 ，∴ 或 ，C 错误. 是常数函数，常数函数是周期函数，D 正确. 故选 ABD. 55.（2026·河北沧州十二校·一模）（多选）已知函数 满足：对任意 ，，且当 时，，下列说法正确的是（　　） A. B. 为偶函数 C. 当 时， D. 在 上单调递减 【答案】ACD 【思路】通过赋值法确定 与 ，探究奇偶性，利用商式结构构造辅助函数 ，分析其单调性与函数符号. 【解析】因为 ， 令 ，可得 ，所以 ； 令 ，可得 ，所以 ，所以 ，A 正确. 由 ，令 可得 ， 再将 中的 替换为 ，可得 ，所以 ， 所以 ，所以函数 为奇函数，B 错误. 当 时，将 中的 用 替换，可得 ，即 . 当 时，，由已知可得 ，所以 ， 又函数 为奇函数，所以当 时，，所以当 时，，C 正确. 因为 ，所以若 ，则 . 任取 ，且 ，则 . 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以函数 在 上单调递减. 设 ，当 时，，因为 ，所以 ，因为函数 在 上单调递减，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递减，D 正确. 故选 ACD. 56.（2026·江西吉安·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且对 均有 ，当 时，，则（　　） A. B. 为偶函数 C. 当 时， D. 在 上单调递增 【答案】ACD 【思路】利用赋值法确定 与 ，进而推导奇偶性，通过变形公式构造单调性定义式进行判定. 【解析】由方程两边同除以 得 . 令 得 ，即 ；令 得 ，所以 ，A 正确. 令 ，得 ，即 ，故 为奇函数，B 错误. 当 时，，则 .令 得 ，所以 . 由奇函数性质，当 时，，，所以 ，C 正确. 设 ，由定义法及奇偶性推导可知 ，故 在 上单调递增，D 正确. 故选 ACD. 考法19：导数性质与抽象函数对称周期的联动探究 57.（2025·河南南阳一中·模拟）（多选）已知 是定义在 上的奇函数，， 是奇函数，且 ，则下列说法正确的有（　　） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【思路】对奇函数求导得到导函数的偶函数性质，由导函数的对称性反推原函数的对称轴与周期，进而求函数值与导数值. 【解析】由于 是定义在 上的奇函数，所以 ，则 ，即 ，故 A 正确. 因为 是奇函数，所以 ，即 ，所以 ，则 . 令 ，所以 .所以 ，即 的图象关于直线 对称，则 ，故 ，周期为 4，B 错误. ，故 C 正确. ，即 ，故 D 正确. 故选 ACD. 58.（2025·河北衡水中学·检测）（多选）设定义在 上的可导函数 和 的导函数分别为 和 ，满足 ，且 为奇函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 的图象关于直线 对称 C. 的一个周期是 4 D. 【答案】BCD 【思路】由复合奇偶性求导得出导函数对称轴，结合已知导数关系推导 的中心对称，进而得出 的轴对称与周期性，计算周期和. 【解析】因为 为奇函数，所以 ，所以 的图象关于 中心对称. 两边求导得：，所以 的图象关于 对称. 因为 ，所以 ；所以 ， 又 ，所以 ，所以函数 的图象关于点 对称. 所以 的图象关于 对称，故 B 正确. 所以 ，即 ，又 ，所以 ，即 ， 所以 ，所以 是周期函数，且 4 是一个周期. 又因为 ，所以 ，所以 是周期函数，且 4 是一个周期，故 C 正确. 因为 为奇函数，所以 过 ，所以 . 令 ，代入 ，可得 ，故 A 错误. 令 代入 ，可得 . 令 ，代入 ，可得 ，又因为 的周期为 4，所以 ，所以 . 所以 ， 所以 ，故 D 正确. 故选 BCD. 考点八：新定义与高观点综合探究 考法20：特异函数（狄利克雷与取整函数）性质探究 59.（2026·重庆西南大附中·检测）已知 为不超过实数 的最大整数，如 ，，．若函数 ，则 的值域是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由解析式求出 ，将实数拆分为整数部分与小数部分，讨论小数部分之和的范围得出取整函数之和的值域. 【解析】由 ，得 ，则恒有 . 由题意，对任意实数 ，有 ，其中 是不超过 的最大整数， 是小数部分，满足 . 设 ，则 ， 又 ，整理得 . 由 ，得 . 是整数，分两种情况： 若 ，则 ，得 ； 若 ，则 ，得 . 因此 的值域为 .故选 B. 60.（2025·山东青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 设函数 ，则（　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间 上的有理数零点恰有 3 个 【答案】ABD 【思路】根据有理数与无理数在相反数、周期平移下的封闭性，验证狄利克雷函数的奇偶性与周期性，并求其零点与值域. 【解析】 的定义域为 ，当 为有理数时， 是有理数，则 ；当 为无理数时， 是无理数，则 ，即 为偶函数. 故 ， 是奇函数，故 A 正确. 对于任意的整数 ，当 为有理数时， 也是有理数，则 ；当 为无理数时， 也是无理数，则 ，，即函数 是周期函数，故 B 正确. 函数 的值域为 ，当 为无理数时，；当 为有理数时，， 不能取到一个周期所有实数，所以 取不到 全部，故 C 错误. ，当 为有理数时，，得出在区间 上有 ，3 个有理数零点，故 D 正确. 故选 ABD. 考法21：新定义对称集模型与函数性质证明 61.（2025·河南TOP名校·联考）若集合 满足：，且 ，则称 互为对偶集.已知函数 ，定义 . 证明：存在 ，使得无论 取何值， 与 均互为对偶集. 【答案】证明见解析 【思路】计算 得到常数值 ，令 ，利用集合互为对偶集的定义，严格证明双向包含关系. 【解析】证明：. 取 ，下证 与 均互为对偶集： ，则 ，即 ， 由定义知 ；同理可知，. 故当 时， 与 均互为对偶集. 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 方法总结 1. 判定函数奇偶性时，必须优先核查定义域是否关于原点对称；对于复杂对数、根式或指数函数，可通过代数通分、分子有理化或转化为 （奇函数）、（偶函数）进行严谨判定.（第1、2、3题） 2. 若已知函数具有奇偶性求参数，常用方法包括： （1） 恒等式法：代入 整理为关于自变量 的多项式或代数恒等式，令各对应项系数为0； （2） 特殊值法：若定义域包含0且为奇函数，直接由 快速求参，但需代回检验充分性.（第4、5、6、7、8题） 3. 求解分段函数、抽象函数的函数值时，利用 或 实现正负自变量区间的转化；对于含倒数关系的对数分式，注意挖掘 为常数的隐藏代数特征.（第10、11、12、13题） 4. 奇偶性与单调性结合求解函数不等式或比较大小时： （1） 若 为偶函数，则 ，利用在正半轴的单调性脱去函数符号转化为 ； （2） 若 为奇函数且单调递增，则 ； （3） 构造辅助函数（如 ）可将复杂的导数条件或斜率条件转化为新函数的单调性与奇偶性问题.（第17、18、19、20、21、22、23题） 5. 推导函数的周期性与对称性时： （1） 若 或 ，则周期 ； （2） 若 ，则 ，周期 ； （3） 若函数同时关于 和 轴对称，则周期 ； （4） 若函数关于点 中心对称，则满足 ，常用于倒序相加配对求和.（第14、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33题） 6. 双对称性推导周期性核心模型：若函数具备两个对称轴 与 ，则周期 ；若具备两个对称中心 与 ，则周期 ；若具备一个对称轴 和一个对称中心 ，则周期 .（第34、35、40、46、49、50、51题） 7. 抽象函数奇偶性与周期性推导的“赋值法”技巧：通过令 、、 或 等特殊值，逐步剥离出 、奇偶性关系式及递推公式，结合周期性对数列求和进行“分周期整除+余项累加”快速计算.（第36、48、49、53、55、56题） 8. 导函数与原函数的对称联动规律：可导函数若关于直线 轴对称，则其导函数关于点 中心对称；可导函数若关于点 中心对称，则其导函数关于直线 轴对称.结合此规律可在导数与抽象函数综合题中快速实现性质互化.（第40、57、58题） 9. 周期对称背景下的零点与交点计数策略：先求出函数的最小正周期 及对称轴/中心，利用基础区间内的解析式绘制图象，再根据定义域跨越的周期数进行“单周期解数 周期数 + 边界端点修正”，特别注意区间端点是否包含以及对称轴上的重合交点.（第41、42、43、44、47题） 10. 新定义及特异函数（狄利克雷与取整函数）分析法：处理含取整函数 的问题，常利用 （其中 ）将实数拆分代换；处理狄利克雷函数 时，紧扣有理数与无理数在四则运算及相反数变换下的封闭性.（第59、60、61题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 练习卷 考点一：函数奇偶性的判定与求参 2 考法1：定义法与代数变形判断函数奇偶性 2 考法2：利用奇偶性定义与特殊值求参数 2 考法3：奇偶性命题的充要条件判定 3 考点二：奇偶性在求值、解析式与值域中的应用 3 考法4：利用奇偶性与函数性质求函数值 3 考法5：利用对称性与奇偶性求函数解析式 4 考法6：函数奇偶性与值域及最值综合 4 考点三：奇偶性与单调性综合 4 考法7：利用奇偶性与单调性比较大小 4 考法8：利用奇偶性与单调性解不等式 4 考法9：构造奇偶与单调函数解不等式 5 考点四：函数的周期性及其求值应用 5 考法10：代数递推推导周期与函数求值 5 考点五：函数的对称性及其求和应用 6 考法11：函数的轴对称与中心对称求参数 6 考法12：构造中心对称与倒序配凑求和 7 考法13：函数对称中心与图象交点性质综合 7 考点六：奇偶性、对称性与周期性的综合推导 7 考法14：对称中心与轴对称的周期转化及求值策略 7 考法15：周期性与对称性结合求零点及交点个数 8 考法16：奇偶性、对称性与单调性最值综合 9 考点七：抽象函数的性质推导与多选题综合判断 9 考法17：特殊值代入法推导抽象函数性质及应用 9 考法18：多维关系式下抽象函数多选题的真假辨析 10 考法19：导数性质与抽象函数对称周期的联动探究 11 考点八：新定义与高观点综合探究 11 考法20：特异函数（狄利克雷与取整函数）性质探究 11 考法21：新定义对称集模型与函数性质证明 12 考点一：函数奇偶性的判定与求参 考法1：定义法与代数变形判断函数奇偶性 1.（2026·山东潍坊·一模）下列函数中，值域为 的偶函数是（　　） A. B. C. D. 2.（2025·河北省级联考·模拟）已知函数 ，则 是（　　） A. 偶函数，有最小值 B. 偶函数，有最大值 C. 奇函数，在 上单调递增 D. 奇函数，在 上单调递减 3.（2026·湖北孝感·一模）（多选）关于定义域为 的函数 ，下列说法正确的有（　　） A. 存在函数 ，使得 恒成立 B. 存在函数 ，使得 恒成立 C. 存在函数 ，使得 恒成立 D. 存在函数 ，使得 恒成立 考法2：利用奇偶性定义与特殊值求参数 4.（2026·湖北·模拟）若 为奇函数，则 的值为（　　） A. B. C. D. 或 5.（2026·江西南昌·一模）已知函数 ，若函数 为偶函数，则（　　） A. B. C. D. 6.（2026·广东中山·二模）函数 是奇函数，则实数 ＿＿＿＿＿＿． 7.（2026·新疆·二模）若函数 为偶函数，则 ＿＿＿＿＿＿． 8.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 ． （1）当 为偶函数时，求曲线 在点 处的切线方程． 考法3：奇偶性命题的充要条件判定 9.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 的定义域为 ，设甲：，乙： 是偶函数，则甲是乙的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 考点二：奇偶性在求值、解析式与值域中的应用 考法4：利用奇偶性与函数性质求函数值 10.（2026·河北NT20·检测）已知函数 是奇函数，则 （　　） A. B. C. D. 11.（2026·湖南株洲·一模）已知 是奇函数， 是偶函数，其定义域均为 ，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 12.（2026·山西三重教育·二模）已知定义在 上的奇函数 ，当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿． 13.（2026·河北衡水·检测）已知奇函数 满足：当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿． 考法5：利用对称性与奇偶性求函数解析式 14.（2026·湖南雅礼中学·模拟）已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点 对称，，且 的图象关于点 对称，则 ＿＿＿＿＿＿． 考法6：函数奇偶性与值域及最值综合 15.（2025·河南创新发展联盟·一模）已知奇函数 的定义域为 ，且其图象是连续的曲线，若 在区间 上的值域为 ，在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 16.（2025·江西九江·一模）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 有 3 个零点 C. 的最大值为 1 D. 的最小值为 考点三：奇偶性与单调性综合 考法7：利用奇偶性与单调性比较大小 17.（2026·河南新未来·检测）已知函数 ，设 ，则（　　） A. B. C. D. 18.（2026·贵州毕节·检测）已知函数 ，若 ，则（　　） A. B. C. D. 考法8：利用奇偶性与单调性解不等式 19.（2026·湖南A佳教育·检测）已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时，，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 20.（2025·河北邢台协作体·一模）设函数 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 21.（2025·江西上进·联考）已知函数 ，则不等式 的解集为＿＿＿＿＿＿． 22.（2026·江苏苏北四市·一模）已知函数 为奇函数，则不等式 的解集为＿＿＿＿＿＿． 考法9：构造奇偶与单调函数解不等式 23.（2025·河北石家庄·模拟）已知 是定义在 上的奇函数，当 且 时，都有 成立，，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 考点四：函数的周期性及其求值应用 考法10：代数递推推导周期与函数求值 24.（2026·湖南九校联盟·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 25.（2026·江苏名校联盟·一模）（多选）函数 满足 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. 的周期为 6 C. D. 的图象关于直线 对称 26.（2026·湖南炎德英才·模拟）已知 的定义域为 ，周期为 4，当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿． 27.（2025·河北沧衡八县·一模）已知函数 满足：，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 考点五：函数的对称性及其求和应用 考法11：函数的轴对称与中心对称求参数 28.（2025·广东久洵·检测）若函数 关于直线 对称，则 （　　） A. B. C. D. 29.（2026·安徽安庆·二模）已知函数 ． （1）证明：函数 的图象为轴对称图形； （2）当 时，证明：； （3）若数列 满足：，证明：． 考法12：构造中心对称与倒序配凑求和 30.（2026·河南湘豫名校·联考）若函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 31.（2026·山西临汾·一模）已知 ，数列 满足：，则 为（　　） A. B. C. D. 考法13：函数对称中心与图象交点性质综合 32.（2025·河南TOP名校·联考）曲线 的对称中心的坐标为＿＿＿＿＿＿． 33.（2026·江苏镇江·模拟）已知函数 ，则 的解集为＿＿＿＿＿＿； 与 图象的交点横坐标之和为＿＿＿＿＿＿． 考点六：奇偶性、对称性与周期性的综合推导 考法14：对称中心与轴对称的周期转化及求值策略 34.（2026·湖北随州·模拟）已知定义域为 的奇函数 的周期为 8，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 35.（2025·全国一卷·检测）设 是定义在 上且周期为 2 的偶函数，当 时，，则 （　　） A. B. C. D. 36.（2026·河北沧州八校·二模）已知 的定义域为 ， 的图象关于点 对称，，且 的图象关于点 对称，则 （　　） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 37.（2026·安徽华师联盟·检测）（多选）已知函数 ，则（　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D. 38.（2026·安徽省十·模拟）（多选）已知 是定义域为 ，最小正周期为 的函数，我们把 称为 的叠加函数，则（　　） A. 的叠加函数是最小正周期为 的周期函数 B. 当 时， 的值域为 C. 当 时，方程 在 上有 25 个实根 D. 当 时，方程 在 有实根的充要条件为 39.（2026·山东东营·二模）已知奇函数 的周期为 2，且当 时，，则 ＿＿＿＿＿＿. 40.（2025·河北NT20·二模）已知定义在 上的函数 的导函数为 ， 为偶函数，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法15：周期性与对称性结合求零点及交点个数 41.（2026·江西萍乡·二模）已知 是定义在 上的奇函数，且其图象关于直线 对称，当 时，，则方程 在区间 上解的个数为（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 42.（2026·河北百师联盟·一模）（多选）设函数 的定义域为 ，且满足 ，，当 时，，则（　　） A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程 在区间 内恰有 1012 个实数解 43.（2026·河南新乡·模拟）已知函数 的图象连续不断，且 ，都有 ，，当 时 ，若 ，且函数 ，则 与 的图象交点个数为＿＿＿＿＿＿. 44.（2025·河南青桐鸣·联考）已知函数 的定义域均为 ，且 为偶函数， 为奇函数，函数 的最小值为 ，若函数 有两个零点 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法16：奇偶性、对称性与单调性最值综合 45.（2026·辽宁抚顺六校·一模）已知函数 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递减，若 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 46.（2026·陕西西安一中·模拟）定义在 上的函数 满足：，且 ，当 时，，则 的最大值与最小值的差为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 47.（2025·江苏高邮·联考）已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时，，函数 ，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿. 考点七：抽象函数的性质推导与多选题综合判断 考法17：特殊值代入法推导抽象函数性质及应用 48.（2025·广东深圳高级中学·检测）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，，则（　　） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线 对称 C. 的最小正周期为 4 D. 的图象关于点 对称 49.（2026·山西大学附中·检测）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 （　　） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 50.（2026·全国二卷·检测）已知函数 为偶函数，且满足 ，且当 时，，则（　　） A. B. C. D. 51.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数 的定义域为 ，，，则 ＿＿＿＿＿＿. 52.（2026·广东东莞·二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ：＿＿＿＿＿＿. ①；②任意 ，都有 ；③ 是偶函数. 考法18：多维关系式下抽象函数多选题的真假辨析 53.（2026·山西·二模）（多选）已知函数 满足对于任意的 ，都有 ，且 ，则以下结论正确的是（　　） A. B. C. 是偶函数 D. 关于 对称 54.（2026·广西桂林八市·二模）（多选）已知函数 都是奇函数，且 为单调函数，若对任意 ，都有 ，，则（　　） A. B. 在 上是增函数 C. D. 是周期函数 55.（2026·河北沧州十二校·一模）（多选）已知函数 满足：对任意 ，，且当 时，，下列说法正确的是（　　） A. B. 为偶函数 C. 当 时， D. 在 上单调递减 56.（2026·江西吉安·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且对 均有 ，当 时，，则（　　） A. B. 为偶函数 C. 当 时， D. 在 上单调递增 考法19：导数性质与抽象函数对称周期的联动探究 57.（2025·河南南阳一中·模拟）（多选）已知 是定义在 上的奇函数，， 是奇函数，且 ，则下列说法正确的有（　　） A. 为偶函数 B. C. D. 58.（2025·河北衡水中学·检测）（多选）设定义在 上的可导函数 和 的导函数分别为 和 ，满足 ，且 为奇函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 的图象关于直线 对称 C. 的一个周期是 4 D. 考点八：新定义与高观点综合探究 考法20：特异函数（狄利克雷与取整函数）性质探究 59.（2026·重庆西南大附中·检测）已知 为不超过实数 的最大整数，如 ，，．若函数 ，则 的值域是（　　） A. B. C. D. 60.（2025·山东青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 设函数 ，则（　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间 上的有理数零点恰有 3 个 考法21：新定义对称集模型与函数性质证明 61.（2025·河南TOP名校·联考）若集合 满足：，且 ，则称 互为对偶集.已知函数 ，定义 . 证明：存在 ，使得无论 取何值， 与 均互为对偶集. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $