第5讲：一元二次方程根与系数的关系的常考题型（技法概要+5种题型11种考向精讲+培优小检测）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学一元二次方程根与系数的关系，先系统回顾两根之和（-b/a）、两根之积（c/a）公式及使用前提（Δ≥0），再梳理x₁²+x₂²等常见变形，通过对称形式、非对称形式等题型构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料以"例-变式"讲练结合，通过例3降次求解培养推理意识，例11构造方程发展模型意识，助学生提升抽象能力。课中便于教师分层教学，课后学生可通过培优检测强化练习，有效查漏补缺。

第5讲：一元二次方程根与系数的关系的常考题型（详解版） 技法概要 1、知识回顾： （1）一元二次方程根与系数的关系： 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则两根之和x1＋x2＝______，两根之积x1x2＝_______，该关系使用的前提条件是__Δ≥0__. （2）常见变形． ①x1x＋xx2＝x1x2·__(x1＋x2)____；②＋＝____________； ③(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋__2(x1＋x2)＋__4__；④x＋x＝(x1＋x2)2－__2x1x2__； ⑤(x1－x2)2＝__(x1＋x2)2__－4x1x2. 2、常见题型 题型精讲 题型1 两根对称形式 考向1 运用公式直接求解 【例1】2．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 【解析】解：∵a＝1，c＝﹣5， ∴． 故选：A． 【变式2】已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣10＝0的两个实数根，则a+b＝（　　） A．3 B．﹣3 C．10 D．﹣10 【解析】解：根据根与系数的关系得 ． 故选：B． 考向2 运用公式平方求解 【例2】设x1，x2是方程x2﹣9x+6＝0的两个根，求下列各式的值： （1）x1+x2﹣2x1x2； （2）； （3）（x1﹣3）（x2﹣3）； （4）|x1﹣x2|； 【思路点拨】解：∵x1，x2是方程x2﹣9x+6＝0的两个根， ∴x1+x2＝9，x1x2＝6． （1）原式＝9﹣2×6＝﹣3； （2）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝92﹣2×6＝69； （3）原式＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣3×9+9＝﹣12； （4）原式； 【变式3】已知实数m，n满足x2﹣3x+1＝0，且m≠n，求的值． 解：∵m+n＝3，mn＝1， ∴（）25， ∴； 考向3 运用公式降次求解 【例3】已知α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）的值为（　　） A．﹣2025 B．﹣2023 C．1 D．2025 【思路点拨】解：∵α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根， ∴α2+2025α+1＝0，β2+2025β+1＝0，α+β＝﹣2025，αβ＝1， ∴α2+2025α＝﹣1，β2+2025β＝﹣1， ∴代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2） ＝（﹣1+α+2）（﹣1+β+2） ＝（α+1）（β+1） ＝αβ+（α+β）+1 ＝1﹣2025+1 ＝﹣2023． 故选：B． 【变式4】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 【解析】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝m+3，x1x2＝2m+1． 因为， 则， 所以（m+3）2﹣2（2m+1）＝10， 解得m＝1或﹣3． 当m＝1时，方程为x2﹣4x+3＝0， 则Δ＝（﹣4）2﹣4×3＝4＞0， 所以m＝1符合题意； 当m＝﹣3时，方程为x2﹣5＝0， 则Δ＝02﹣4×（﹣5）＝20＞0， 所以m＝﹣3符合题意， 综上所述，m的值为1或﹣3． 故选：C． 题型2 两根非对称形式 考向4 单边降次求解 【例4】已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【思路点拨】解：由条件可知，，且由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把x1+x2＝﹣1代入得：6×（﹣1）+5＝﹣1， 所以的值为﹣1． 故选：B． 【变式5】若x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．11 B．10 C．﹣9 D．0 【解析】解：由条件可知：， ∴， ∵x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝10， ∴ ＝x1+x2+1 ＝10+1 ＝11． 故选：A． 考向5 双边降次求解 【例5】已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（　　） A．57 B．58 C．59 D．60 【思路点拨】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根， ∴①或②， ∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根， ∴m2﹣4m+2＝0， ∴m2＝4m﹣2， 同理可得： n2＝4n﹣2， ∴2m3+5n24 ＝2m2•m+5（4n﹣2）4 ＝2m（4m﹣2）+20n﹣104 ＝8m2﹣4m+20n﹣104 ＝8（4m﹣2）﹣4m+20n﹣104 ＝28m﹣16+20n﹣104 ＝28m+20n22， 将①代入上式可得： 28（2）+20（2）22 ＝56+2840﹣2022 ＝74+88（2） ＝58， 将②代入上式，同理可得： 原式＝58， 解法二：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根， ∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4 ∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2， ∴n＝4，即4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8， ∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4 ＝28（m+n）﹣54 ＝58． 故选：B． 【变式6】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为　 　 ． 【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根， ∴x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1， ∴x12＝x1+9，x22＝x2+9，x1+x2＝1， ∴7x22＝7x2+63 ∴x13＝x12+9x2＝x1+9+9x1＝10x1+9， ∴原式＝10x1+9+7x2+73+3x2﹣66＝10（x1+x2）+6＝16． 故答案为：16． 考向6 分式化整式求解 【例6】已知a、b是一元二次方程x2+2x＝2的两个根，则的值为（　　） A．4 B．0 C．﹣4 D． 【思路点拨】解：整理原方程得 x2+2x﹣2＝0， ∴， 则． 故选：C． 【变式6】若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【解析】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 题型3 根系关系结合判别式 考向7 根系关系结合判别式 【例7】已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80成立，求其实数a的可能值． 【思路点拨】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，a＝1，b＝（3a﹣1），c＝2a2﹣1， ∴x1+x2＝﹣（3a﹣1），x1•x2＝2a2﹣1， 而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80， ∴3x12﹣10x1x2+3x22＝﹣80， 3（x1+x2）2﹣16x1x2＝﹣80， ∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）＝﹣80， ∴5a2+18a﹣99＝0， ∴a＝3或， 当a＝3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的Δ＜0， ∴不合题意，舍去 ∴a． 【变式8】关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为　　 ． 【解析】解：由题意得，方程 x2﹣3x﹣m＝0 的二次项系数 a＝1，一次项系数 b＝﹣3，常数项 c＝﹣m， ∵关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1+x23，x1x2m，3x1﹣m＝0，则2x1＝x1+m． 又∵， ∴x1+m+x2＝2x1x2，则3+m＝﹣2m． ∴m＝﹣1． 又∵Δ＝（﹣3）2﹣4•1•（﹣m）＝4m+9≥0， ∴m． ∴m＝﹣1，符合题意． 故答案为：﹣1． 题型4 两根的关系或分布 考向8 两根之间的关系 【例8】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若（x﹣2）（x+m）＝0是倍根方程，则m的值为　﹣1或﹣4　 ； （2）若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且5a+b＝0，则该方程较大的根为x＝　　 ． 【思路点拨】解：（1）∵（x﹣2）（x+m）＝0， ∴x﹣2＝0或x+m＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣m， ∵（x﹣2）（x+m）＝0是倍根方程， ∴x1＝2x2或x2＝2x1， ∴2＝﹣2m或﹣m＝4， 解得：m＝﹣1或﹣4； 故答案为：﹣1或﹣4； （2）设方程ax2+bx+c＝0的两个根为m、2m， ∴， ∵5a+b＝0， ∴b＝﹣5a， ∴， ∴，， 即该方程较大的根为． 故答案为：． 【变式9】若方程x2+mx+n＝0的两根分别是方程的两根的相反数，则m•n＝　　 ． 【解析】解：由题知， 方程x2+mx+n＝0的两根之和为﹣m，两根之积为n； 方程的两根之和为﹣n，两根之积为m． 因为方程x2+mx+n＝0的两根分别是方程的两根的相反数， 所以﹣m+（﹣n）＝0且n， 解得m，n， 所以mn． 故答案为：． 考向9 两根的分布 【例9】关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0． （1）求证：无论m取任何实数值，此方程都有两个实数根； （2）若有一根大于4且小于8，求实数m的取值范围． 【思路点拨】解：（1）x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝m﹣4， ∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4（m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m取任何实数值，此方程都有两个实数根； （2）， 解得：x1＝m﹣4，x2＝1， ∵有一根大于4且小于8， ∴4＜m﹣4＜8， ∴8＜m＜12． 【变式10】已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x+3）＝b． （1）若b＝1，则这个方程的根为 　，　 ； （2）若这个方程有一正一负两个实数根，求b的取值范围，并请说明此时负根的绝对值大于正根的绝对值． 解：（1）若b＝1， 则（x﹣1）（x+3）＝1， 整理x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5， ∴x+1， ∴，． 故答案为：，； （2）原方程可整理为x2+2x﹣3﹣b＝0，设方程两根分别为x1＞0，x2＜0， 由题意可得， 解得b＞﹣3， ∵x1+x2＝﹣2＜0，x1•x2＜0， ∴|x1|＜|x2|，即负根的绝对值大于正根的绝对值． 题型5 根系关系构方程 考向10 由定义构方程 【例10】已知实数m、n满足m2+bm+4＝0，n2+bn+4＝0，且m≠n． （1）试说明b2﹣16的值恒为正数； （2）求证：． 【思路点拨】（1）解：m、n是一元二次方程x2+bx+4＝0的两个不相等的根． ∴Δ＝b2﹣4×4×1＝b2﹣16＞0， 即b2﹣16的值恒为正数． （2）证明：由条件可得m+n＝﹣b，mn＝4， ∴ ． 由（1）得b2﹣16＞0， ∴b2＞16， ∴． 【变式11】若实数a，b（a≠b）满足a2﹣2a﹣2＝0，b2﹣2b﹣2＝0，则（　　） A．a+b＝2，a2+2b＞0 B．a+b＝2，a2+2b＜0 C．a+b＝﹣2，a2+2b＞0 D．a+b＝﹣2，a2+2b＜0 【解析】解：由条件可知a，b是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个不相等的实数根， ∴x2﹣2x﹣2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，对比系数得 a+b＝2， 又∵a2﹣2a﹣2＝0， ∴a2＝2a+2， 则a2+2b＝2a+2+2b＝2（a+b）+2， 把a+b＝2代入得 a2+2b＝2×2+2＝6＞0， ∴a+b＝2，a2+2b＞0． 故选：A． 考向11 由根系关系逆向构造方程 【例11】已知a，b，c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． 【思路点拨】解：∵a+b+c＝0，abc＝16， ∴a+b＝﹣c，ab， 把a、b看作方程x2+cx0的两根， ∵Δ＝c2﹣4×10， ∴c3≥64， ∴c≥4． 【变式12】已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝2，求|a|+|b|+|c|的最小值． 解：∵a+b+c＝0，abc＝2， ∴a，b，c中有两个负数，一个正数， 不妨设a＜0，b＜0，c＞0， ∴a+b＝﹣c，ab， ∴可以把a，b看作方程x2+cx0的解， ∴Δ＝c2﹣4•0，解得c≥2， ∴原式＝﹣a﹣b+c＝2c≥4， 即|a|+|b|+|c|的最小值为4． 培优小检测 （时间：30分钟 满分：50分） ■ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1．若x1，x2是方程x2+3x+2＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝2 B．x1x2＝2 C．x1+x2＝﹣2 D．x1x2＝﹣2 【解析】解：∵a＝1，b＝3，c＝2， ∴，． 故选：B． 2．已知a，b是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．2027 B．﹣2027 C．2021 D．﹣2021 【解析】解：由题意可得：a+b＝﹣3，ab＝﹣2025， ∴（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣2025+（﹣3）+1＝﹣2027． 故选：B． 3．关于x的方程x2+bx+c＝0的两根为2和3，则直线y＝bx﹣c不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【解析】解：由条件可知﹣b＝2+3，c＝2×3， ∴b＝﹣5＜0，c＝6＞0， ∴一次函数为y＝﹣5x﹣6不经过第一象限， 故选：A． 4．已知a，b是一元二次方程x2+3x+1＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D．±3 【解析】解：根据根与系数的关系可得：a+b＝﹣3，ab＝1， ∵a+b＝﹣3＜0，ab＝1＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴， 故选：B． 5．已知a，b是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子a2+2a﹣ab的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．2 【解析】解：由题意可知：ab＝﹣1，a2+2a﹣1＝0，即a2+2a＝1， ∴a2+2a﹣ab ＝1﹣（﹣1） ＝2， 故选：D． 6．如果方程x2﹣px+1＝0有实数根且它的两根之差是1，那么p值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C． D． 【解析】解：∵方程x2﹣px+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣p）2﹣4×1×1＞0， 解得：p＜﹣2或p＞2． 设m，n是关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0的两个实数根， ∴m+n＝p，mn＝1， ∵|m﹣n|1， ∴p2﹣4＝1， 解得：p1，p2， 经检验，p1，p2均是无理方程的解，且符合题意， ∴p的值是或． 故选：D． 7．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则的值为（　　） A．1 B．5 C．11 D．15 【解析】解：由题意得，，x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3， ∴， ∴ ＝x1（﹣x1+3）+4x2﹣12+20 ＝x1﹣3+3x1+4x2+8 ＝4（x1+x2）+5 ＝﹣4+5 ＝1， 故选：A． 8．若方程x2﹣3x+1＝0的两根也是方程x4﹣px2+q＝0的根，则（p+q）2026的个位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】解：由题知， 令方程x2﹣3x+1＝0的两根为m和n， 则m+n＝3，mn＝1． 因为方程x2﹣3x+1＝0的两根也是方程x4﹣px2+q＝0的根， 所以m4﹣pm2+q＝0，n4﹣pn2+q＝0． 因为m≠n， 则m2≠n2， 所以m2和n2可看成方程x4﹣px2+q＝0的两个根， 则m2+n2＝p，m2n2＝q， 所以p＝（m+n）2﹣2mn＝32﹣2×1＝7，q＝12＝1， 所以（p+q）2026＝82026． 因为从81开始以8为底的乘方运算结果的个位数字按1，4，2，6循环， 则2026÷4＝506余2， 所以（p+q）2026的个位数字是4． 故选：B． ■ 二．填空题（每小题4分，共16分） 9．已知一元二次方程x2﹣7x+11＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为　 　 ． 【解析】解：一元二次方程x2﹣7x+11＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则： 设一元二次方程x2﹣7x+11＝0的两个根为x1，x2， ∵x1+x2＝7，x1•x2＝11， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0的两个实数根分别为a、b，且满足（a﹣1）（b﹣1）+8＝0，那么实数m的值是　 　 ． 【解析】解：在方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0中， 因为a、b是该方程的两个实数根， 所以a+b＝2m﹣1，ab＝m﹣2， 又（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1， 将a+b＝2m﹣1，ab＝m﹣2代入上式， 可得（a﹣1）（b﹣1）＝m﹣2﹣（2m﹣1）+1＝m﹣2﹣2m+1+1＝﹣m， 因为（a﹣1）（b﹣1）+8＝0， 所以﹣m+8＝0， 移项可得m＝8， 在方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0中，则Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）， 当m＝8时，Δ＝（2×8﹣1）2﹣4×（8﹣2）＝152﹣4×6＝225﹣24＝201＞0，满足方程有两个实数根的条件， 综上，实数m的值是8． 11．已知m，n是方程x2﹣2026x+1＝0的两个实数根，则（m2﹣2025m+2）（n2﹣2025n+2）的值为 　 　 ． 【解析】解：∵m，n是方程x2﹣2026x+1＝0的两个实数根， ∴m2﹣2026m+1＝0，n2﹣2026n+1＝0， ∴m2＝2026m﹣1，n2＝2026n﹣1， ∴（m2﹣2025m+2）（n2﹣2025n+2）＝（2026m﹣1﹣2025m+2）（2026n﹣1﹣2025n+2）＝（m+1）（n+1）＝mn+m+n+1， ∵m，n是方程x2﹣2026x+1＝0的两个实数根， ∴m+n＝2026，mn＝1， ∴（m2﹣2025m+2）（n2﹣2025n+2）＝1+2026+1＝2028． 故答案为：2028． 12．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为　 ． 【解析】解：∵m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1． ∴m2+4m﹣k﹣1＝0，（﹣n）2+4（﹣n）﹣k﹣1＝0， ∴m、﹣n可看作方程x2+4x﹣k﹣1＝0的两根， ∵Δ＝42﹣4（﹣k﹣1）＞0， 解得k＞﹣5， 根据根与系数的关系得m•（﹣n）＝﹣k﹣1， 即mn＝k+1， ∵m，n异号， ∴k+1＜0， 解得k＜﹣1， ∴k的取值范围为﹣5＜k＜﹣1． 故答案为：﹣5＜k＜﹣1． ■ 三．解答题（共20分） 13．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k﹣3）x+k﹣4＝0． （1）求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． （2）若两根异号且负根的绝对值大，求k的取值范围． （1）证明：Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×（k﹣4）＝k2﹣6k+9﹣4k+16＝k2﹣10k+25＝（k﹣5）2， ∵（k﹣5）2≥0， 即△≥0， ∴无论k为何实数，方程总有实数根； （2）解：∵两根异号且负根的绝对值大， ∴， ∴k＜3， ∴k的取值范围为k＜3． 14.（12分）阅读材料： 材料1：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2，x1•x2． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5，ab，且c＜5，求c的最大值． 解：（1）当m≠n时， ∵实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0， ∴m、n可看作方程3x2﹣x﹣2＝0的两根， ∴m+n，mn， ∴原式， 当m＝n，则原式＝1+1＝2； 综上所述，原式的值为或2； （2）∵a+b＝c﹣5，ab， ∴将a、b看作是方程x2﹣（c﹣5）x0的两实数根． ∵Δ＝（c﹣5）2﹣40， 而c＜5， ∴（5﹣c）3≥64， ∴5﹣c≥4， 即c≤1， ∴c的最大值为1． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲：一元二次方程根与系数的关系的常考题型（原卷版） 技法概要 1、知识回顾： （1）一元二次方程根与系数的关系： 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则两根之和x1＋x2＝______，两根之积x1x2＝_______，该关系使用的前提条件是__Δ≥0__. （2）常见变形． ①x1x＋xx2＝x1x2·__(x1＋x2)____；②＋＝____________； ③(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋__2(x1＋x2)＋__4__；④x＋x＝(x1＋x2)2－__2x1x2__； ⑤(x1－x2)2＝__(x1＋x2)2__－4x1x2. 2、常见题型 题型精讲 题型1 两根对称形式 考向1 运用公式直接求解 【例1】2．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 【变式2】已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣10＝0的两个实数根，则a+b＝（　　） A．3 B．﹣3 C．10 D．﹣10 考向2 运用公式平方求解 【例2】设x1，x2是方程x2﹣9x+6＝0的两个根，求下列各式的值： （1）x1+x2﹣2x1x2； （2）； （3）（x1﹣3）（x2﹣3）； （4）|x1﹣x2|； 【思路点拨】解：∵x1，x2是方程x2﹣9x+6＝0的两个根， ∴x1+x2＝9，x1x2＝6． （1）原式＝9﹣2×6＝﹣3； （2）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝92﹣2×6＝69； （3）原式＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣3×9+9＝﹣12； （4）原式； 【变式3】已知实数m，n满足x2﹣3x+1＝0，且m≠n，求的值． 考向3 运用公式降次求解 【例3】已知α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）的值为（　　） A．﹣2025 B．﹣2023 C．1 D．2025 【思路点拨】解：∵α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根， ∴α2+2025α+1＝0，β2+2025β+1＝0，α+β＝﹣2025，αβ＝1， ∴α2+2025α＝﹣1，β2+2025β＝﹣1， ∴代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2） ＝（﹣1+α+2）（﹣1+β+2） ＝（α+1）（β+1） ＝αβ+（α+β）+1 ＝1﹣2025+1 ＝﹣2023． 故选：B． 【变式4】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 题型2 两根非对称形式 考向4 单边降次求解 【例4】已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【思路点拨】解：由条件可知，，且由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把x1+x2＝﹣1代入得：6×（﹣1）+5＝﹣1， 所以的值为﹣1． 故选：B． 【变式5】若x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．11 B．10 C．﹣9 D．0 考向5 双边降次求解 【例5】已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（　　） A．57 B．58 C．59 D．60 【思路点拨】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根， ∴①或②， ∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根， ∴m2﹣4m+2＝0， ∴m2＝4m﹣2， 同理可得： n2＝4n﹣2， ∴2m3+5n24 ＝2m2•m+5（4n﹣2）4 ＝2m（4m﹣2）+20n﹣104 ＝8m2﹣4m+20n﹣104 ＝8（4m﹣2）﹣4m+20n﹣104 ＝28m﹣16+20n﹣104 ＝28m+20n22， 将①代入上式可得： 28（2）+20（2）22 ＝56+2840﹣2022 ＝74+88（2） ＝58， 将②代入上式，同理可得： 原式＝58， 解法二：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根， ∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4 ∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2， ∴n＝4，即4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8， ∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4 ＝28（m+n）﹣54 ＝58． 故选：B． 【变式6】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为　 　 ． 考向6 分式化整式求解 【例6】已知a、b是一元二次方程x2+2x＝2的两个根，则的值为（　　） A．4 B．0 C．﹣4 D． 【思路点拨】解：整理原方程得 x2+2x﹣2＝0， ∴， 则． 故选：C． 【变式6】若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 题型3 根系关系结合判别式 考向7 根系关系结合判别式 【例7】已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80成立，求其实数a的可能值． 【思路点拨】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，a＝1，b＝（3a﹣1），c＝2a2﹣1， ∴x1+x2＝﹣（3a﹣1），x1•x2＝2a2﹣1， 而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80， ∴3x12﹣10x1x2+3x22＝﹣80， 3（x1+x2）2﹣16x1x2＝﹣80， ∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）＝﹣80， ∴5a2+18a﹣99＝0， ∴a＝3或， 当a＝3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的Δ＜0， ∴不合题意，舍去 ∴a． 【变式8】关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为　　 ． 题型4 两根的关系或分布 考向8 两根之间的关系 【例8】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若（x﹣2）（x+m）＝0是倍根方程，则m的值为　﹣1或﹣4　 ； （2）若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且5a+b＝0，则该方程较大的根为x＝　　 ． 【思路点拨】解：（1）∵（x﹣2）（x+m）＝0， ∴x﹣2＝0或x+m＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣m， ∵（x﹣2）（x+m）＝0是倍根方程， ∴x1＝2x2或x2＝2x1， ∴2＝﹣2m或﹣m＝4， 解得：m＝﹣1或﹣4； 故答案为：﹣1或﹣4； （2）设方程ax2+bx+c＝0的两个根为m、2m， ∴， ∵5a+b＝0， ∴b＝﹣5a， ∴， ∴，， 即该方程较大的根为． 故答案为：． 【变式9】若方程x2+mx+n＝0的两根分别是方程的两根的相反数，则m•n＝　　 ． 考向9 两根的分布 【例9】关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0． （1）求证：无论m取任何实数值，此方程都有两个实数根； （2）若有一根大于4且小于8，求实数m的取值范围． 【思路点拨】解：（1）x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝m﹣4， ∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4（m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m取任何实数值，此方程都有两个实数根； （2）， 解得：x1＝m﹣4，x2＝1， ∵有一根大于4且小于8， ∴4＜m﹣4＜8， ∴8＜m＜12． 【变式10】已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x+3）＝b． （1）若b＝1，则这个方程的根为 　，　 ； （2）若这个方程有一正一负两个实数根，求b的取值范围，并请说明此时负根的绝对值大于正根的绝对值． 题型5 根系关系构方程 考向10 由定义构方程 【例10】已知实数m、n满足m2+bm+4＝0，n2+bn+4＝0，且m≠n． （1）试说明b2﹣16的值恒为正数； （2）求证：． 【思路点拨】（1）解：m、n是一元二次方程x2+bx+4＝0的两个不相等的根． ∴Δ＝b2﹣4×4×1＝b2﹣16＞0， 即b2﹣16的值恒为正数． （2）证明：由条件可得m+n＝﹣b，mn＝4， ∴ ． 由（1）得b2﹣16＞0， ∴b2＞16， ∴． 【变式11】若实数a，b（a≠b）满足a2﹣2a﹣2＝0，b2﹣2b﹣2＝0，则（　　） A．a+b＝2，a2+2b＞0 B．a+b＝2，a2+2b＜0 C．a+b＝﹣2，a2+2b＞0 D．a+b＝﹣2，a2+2b＜0 考向11 由根系关系逆向构造方程 【例11】已知a，b，c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． 【思路点拨】解：∵a+b+c＝0，abc＝16， ∴a+b＝﹣c，ab， 把a、b看作方程x2+cx0的两根， ∵Δ＝c2﹣4×10， ∴c3≥64， ∴c≥4． 【变式12】已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝2，求|a|+|b|+|c|的最小值． 培优小检测 （时间：30分钟 满分：50分） ■ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1．若x1，x2是方程x2+3x+2＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝2 B．x1x2＝2 C．x1+x2＝﹣2 D．x1x2＝﹣2 2．已知a，b是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．2027 B．﹣2027 C．2021 D．﹣2021 3．关于x的方程x2+bx+c＝0的两根为2和3，则直线y＝bx﹣c不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．已知a，b是一元二次方程x2+3x+1＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D．±3 5．已知a，b是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子a2+2a﹣ab的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．2 6．如果方程x2﹣px+1＝0有实数根且它的两根之差是1，那么p值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C． D． 7．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则的值为（　　） A．1 B．5 C．11 D．15 8．若方程x2﹣3x+1＝0的两根也是方程x4﹣px2+q＝0的根，则（p+q）2026的个位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 ■ 二．填空题（每小题4分，共16分） 9．已知一元二次方程x2﹣7x+11＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为　 　 ． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0的两个实数根分别为a、b，且满足（a﹣1）（b﹣1）+8＝0，那么实数m的值是　 　 ． 11．已知m，n是方程x2﹣2026x+1＝0的两个实数根，则（m2﹣2025m+2）（n2﹣2025n+2）的值为 　 　 ． 12．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为　 ． ■ 三．解答题（共20分） 13．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k﹣3）x+k﹣4＝0． （1）求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． （2）若两根异号且负根的绝对值大，求k的取值范围． 14.（12分）阅读材料： 材料1：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2，x1•x2． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5，ab，且c＜5，求c的最大值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $