25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习以“一元二次方程根与系数的关系”为核心，通过A、B、C组及中考拓展的四阶分层设计，构建从基础应用到综合创新的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|根与系数关系的直接应用（求两根和差、判断象限等）|以选择、填空题为主，聚焦概念理解与基础运算，夯实知识根基| |B组|含参数求值、构造方程|包含解答题，结合几何情境（如直角三角形面积），发展逻辑推理能力| |C组|新定义问题（如“倍方程”“逆根方程”）、多方程关联|设计开放探究题，涉及分类讨论与知识迁移，提升创新意识| |拓展|中考真题再现|选取各地中考题，强化模型意识与综合应用能力，衔接阶段测评|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 25.2.4一元二次方程方程的根与系数的关系 目录 A组巩固过关 题型01一元二次方程根与系数关系的基础应用 题型02利用一元二次方程根与系数关系求值 题型03利用一元二次方程根与系数关系求值 题型04利用一元二次方程根与系数关系构造方程 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 一元二次方程根与系数关系的基础应用 1.A 2.C 3.D 4.D 5.-1 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 利用一元二次方程根与系数关系求值 6.A 7.D 8.B 9.-12 题型03 利用一元二次方程根与系数关系求值 11.C 12.A 13.A 14.【详解】)解：：方程+2r-k=0有两个实数根， X1 X2 △=22-4×1×(-k)≥0 解得：k≥-1： (2)解：：方程+2x-=0有两个实数根，5， :+6=26=-k (+)=x-3 .-2k=-k-3, 解得：k=3. 15.【详解】(1)解：方程有两个实数根， :.△=(-6}-4x1x(2m+1)≥0 即36-8m-4≥0. 解得m≤4： (2)解：：5与是该方程的两个实数根， 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :5+5=65=2m+1 +=22 +=(G+x}-2x5=36-2(2m+1）=22 解方程36-4m-2=22, 得m=3】 颗型04 利用一元二次方程根与系数关系构造方程 16.A 17.D 18.x2-4x+3=0 19.-2 20.x2-x-6=0 B组 能力进阶 21.B 22.C 28ks号 24.1-3 25.【答案】(1)证明：方程 -k+3)r+2k+1=0中，a=1b=-(k+3),c=2k+1, :△=B-4aC=[-(k+3]-4x1x(2k+1)=k2-2k+5=(k-+4 ·无论取何值，(k-)'≥0 :△=(k-1+4≥4>0 即无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)k=2 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定△>0即可得证； （②)由一元二次方程根与系数关系得到+5=k+3.=2k+ ,整体代入已知等式解一元二次方程 即可 【详解】(1)解：略 2-(k+3)x+2k+1=0 (2)解：关于x的一元二次方程 x+x2=k+3xx2=2k+1 x3+g+6=2-k+8 .2k+1+k+3=k2-k+8, :2-4k+4=0,即(k-2=0,解得k=2. 26.【答案】(1) 是，理由如下： 解：2x2-5x+2=0 (2x-1)x-2)=0 1 解得x=2,x=2 1 两个根均为非零实数，且其中2是2的倒数，符合“逆根方程”的定义 ∴ 2x2-5x+2=0 一元二次方程 是“逆根方程”： (2) +V32-V3 方程的两个根为 和 【分析】(1)先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可： (2)根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即 可得到两个根. 【详解】(1)略 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设方程r+1-3ax-1=0a≠0 的两个根为，名 、该方程是“逆根方程” xx23=1 -1 由一元二次方程根与系数的关系得x2= -1 .=1 a 解得a=-1 将a=1代入原方程得：-x2+4x-1=0 整理得x2-4x+1=0 4±6-4-2士5 X= 由求根公式得 2 2+V32-V3 六方程的两个根为°和 C组 思维拔高 27.C 28.C 29.C 30.B 31.19 14 32.11或60或4 5 33.n≤-4 34.V27 5/9 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 35.【详解】(1)解：x2+2x-3=0 因式分解：(x+3)(x-1)=0. 得5=53 方程1：a=1,b=2,c=-3 abc=1×2×(-3)=-6 方程2：p=2,9=1,r=k pqr=2×1×k=2k 由abc=pgr: 2k=-6 k=-3 把k=-3代入2x2+x+k=0 因式分解：(2x+3)x-1)=0. 3 根为x=1,x=- 2 两个方程只有唯一公共根x=1,满足“有且只有一个相同根”， .k=-3,相同根为x=1 (2)解：方程①：3x2+2x+m=0, abc=3×2×m=6m 方程②：3x2+4x+n=0, pgr=3×4×n=12n ∴.6m=12n,即m=2n, 只有一个公共根，设公共根为 3t2+2t+m=0 3t2+4t+n=0 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两式相减：2t+n-m=0 把m=2n代入：t=” 2 将1 =2m=2m代入32+2r+m=0 化简得3n(n+4)=0 己知mn≠0，故n≠0， 得n=-4. 则m=2n=2×(-4)=-8 检验： 4 方程0：3x2+2x-8=0,根X= 352 2 方程②：3x2+4r-4=0,根=3名=-2 只有唯一公共根x=-2,符合题意. .∴.m=-8,n=-4 36.【详解】（山）解：”一元二次方程-3x-3=0的两根为，， X1 X2 :古+5= 一。工3，=二 (2)解：当m≠n时， m n 3m2-m-2=03n2-n-2=0 “实数”、满足 ∴.mn 3x2-x-2=0 、可看作方程 的两根， 1 2 .m+n= ,mn=-3, （2 n2+m2(m+n2-2mn9-2× (313 原式 mn mn _2 6, 3 当m=n时，则原式=1+1=2： 719 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13 综上所述，原式的值为6或2： 3)解：a-b=c-5,6、6 c-5, 六a+(-b)=c-5,a-(-b)=-16 c-5, 将。、6作是方程2-(6-列台0的两实数限， 4=[-e--4x(0 又c<5,即c-5<0, ∴(c-5)3≤-64 .c-5≤-4，即c≤1， c的最大值为1. 拓展 链接中考 37.22 1 38.8 39.【答案】(1) 2-(2k+1)x+k2+k-2=0 证明：：原方程为 :△=[-(2k+1-4x1×(k2+k-2 =4k2+4k+1-4k2-4k+8 =9>0. .方程有两个不相等的实数根. (2) k的值为4或-5 【分析】(1)计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论： （②)根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合=2 的条件，得到关于的一元二次方程，求解 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即可得到k的值. 【详解】(1)略 X1,X2 (2)解：，方程的两个实数根为 :+=2+15=k2+k-2 =23 2x2+x2=2k+1 5=2张+1 3 :七 2(2k+1) 3 代入xX=k2+k-2得： 22k+1=k2+k-2, 9 整理得k2+k-20=0, 解得k=4或k=-5. 919 分层作业 25.2.4 一元二次方程方程的根与系数的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01一元二次方程根与系数关系的基础应用 题型02利用一元二次方程根与系数关系求值 题型03利用一元二次方程根与系数关系求值 题型04利用一元二次方程根与系数关系构造方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程根与系数关系的基础应用题型01 1．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 利用一元二次方程根与系数关系求值题型02 6．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 9．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的两个根，则________． 利用一元二次方程根与系数关系求值题型03 11．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 12．（2026·河北秦皇岛·一模）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 13．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 14．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 15．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 利用一元二次方程根与系数关系构造方程题型04 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 18．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 19．若，则的值是___________． 20．（25-26九年级上·河北保定·期中）若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式_______． 21．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 22．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 23．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 24．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 25．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 26．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 27．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 29．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 31．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 32．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 33．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 34．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 35．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 36．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 37．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 38．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 39．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 试卷第26页，共27页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.2.4 一元二次方程方程的根与系数的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01一元二次方程根与系数关系的基础应用 题型02利用一元二次方程根与系数关系求值 题型03利用一元二次方程根与系数关系求值 题型04利用一元二次方程根与系数关系构造方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程根与系数关系的基础应用题型01 1．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系解题即可． 【详解】解：， ， ∴，， ∴点为，在第四象限． 5．（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 利用一元二次方程根与系数关系求值题型02 6．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 7．（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 9．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的两个根，则________． 【答案】/ 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 利用一元二次方程根与系数关系求值题型03 11．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 13．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 14．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 15．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 利用一元二次方程根与系数关系构造方程题型04 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 17．（25-26九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是3和2， ∴，即， 又∵小明写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和， ∴， ∴原来的方程是． 故选：D． 18．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 19．若，则的值是___________． 【答案】 【分析】构造一元二次方程，根据求解． 【详解】解：∵，，且， ∴，可看作一元二次方程的两个不相等实数根， 根据根与系数的关系可得： ，， ． 20．（25-26九年级上·河北保定·期中）若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式_______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先计算出3和的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为， ∵两个根分别为3和， ∴，， ∴以3和为根的一元二次方程可为， 故答案为：． 21．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 22．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 23．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 24．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【答案】 1 【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，； （2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可． 【详解】解：（1）设一元二次方程的另一个根为， 则， ， ， ， ； （2）， ， ． 25．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 26．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”； (2) 方程的两个根为和 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 27．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 28．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、根的判别式、根与系数的关系，逐一判断每个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：①将代入方程，得左边， 因此是方程的根，方程一定有解，故①正确； ②是方程的一个根，代入得， 提取公因式得， 当时，不一定等于，故②错误； ③是的两根，且，对两边同除以，得， 同理也满足该等式， 因此是方程的根，故③正确； ④， ， 判别式， ， ，又， 因此，方程必有两个不相等的实数根，故④正确； ⑤， ，得或， ， 异号，因此，可得， 方程化为，判别式， 异号，， ，方程有两个实数根，两根之和为， 因此两实数根互为相反数，故⑤正确； 综上，正确的结论共个． 29．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①若，则是方程的根，方程有实根，因此判别式，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即； 对于方程，其判别式， ，， 因此方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的一个根，代入得，整理得； 当时，等式成立，但不一定等于，故③错误； ④若是方程的根，则，两边同乘得， 配方整理得，故④正确； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则； 当时，方程变为，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 31．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 32．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 33．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 34．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 35．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 36．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 37．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 38．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 39．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 试卷第26页，共27页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $