第三章 代数式 单元提升练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学第三章代数式，通过跨学科融合、传统文化情境及实际应用问题，分层考查列代数式、代数式求值等核心知识，适配单元复习，提升抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|4|代数式意义辨析、规律探究|结合科技情境（5G电磁波）考查抽象能力| |填空题|5|阴影面积表示、剪纸图案数量、杆秤平衡关系|融入传统文化（剪纸、杆秤）培养应用意识| |解答题|10|列代数式、代数式求值、方案选择、规律归纳|跨学科（电阻串联、刹车距离）与实际应用（打包方案）提升运算能力与推理意识|

第三章代数式 培优提升专题1 列代数式表示数量关系 1.下列对代数式 的描述，正确的是( ) A. y的相反数与x的差 B. x与y的差的倒数 C. x的相反数与y的差的倒数 D. x的相反数与y的倒数的差 2.若m千克苹果的售价为a元，则代数式 表示的实际意义是 . 3.(2026 河南期中)如图(图中长度单位：m)，阴影部分的面积是 m². 4.(2026陕西模拟)剪纸是中国民间美术作品，入选“人类非物质文化遗产代表名录”.一直以来，很多人会把剪纸作为装饰品贴在窗户上，下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“。”代表窗纸上所贴的剪纸，则第 n个图中所贴剪纸“。”的个数为 . 5.已知A场地的面积比B场地的面积的2倍多50 m². (1)设B场地的面积为xm²，写出A 场地的面积； (2)设A场地的面积为ym²，写出B场地的面积. 6.(2026福建模拟改编)(跨学科融合)随着5G技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化.如表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值 频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30 波长λ(m) 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长λ 与频率f满足怎样的比例关系?请说明理由； (2)用代数式表示波长λ与频率f的关系； (3)当f=50 MHz时,求此电磁波的波长λ. 7.概念学习:观察一列数:2,4,8,16,…,这一列数按规律排列，我们把它叫作一个数列，其中的每个数，叫作这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于常数2，我们把这个数列叫作等比数列，这个常数2叫作这个等比数列的公比.一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫作等比数列，这个常数就叫作等比数列的公比. 解决问题： (1)已知等比数列:3,6,12,24,…,则它的第八项是 ; (2)已知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10，第4项是40，则它的公比为 ； (3)如果等比数列a₁,a₂,a₃,a₄,…的公比为q,那么有 (用含a₁与q的代数式表示，其中n为大于1的自然数)； 拓展应用： (4) 已知等比数列3,6,12,24,…,则它的第n项是 (用含n的代数式表示，其中n为大于1的自然数). 培优提升专题2 代数式的值 1.已知 …,以此类推,则a₂026等于( ) A. B. C. D.3 2.(跨学科融合)(2025 广东模拟)如图,把R₁,R₂,R₃三个电阻串联起来，线路AB 上的电流为I，电压为U,则 当 =47.8,I=2.2时,U的值为 . 3.(2026 江苏期中)若x+2y=5,则3x+6y-1 的值是 . 4.(传统文化)(2025大连期末)杆秤是人类的一种伟大发明.如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B 处挂秤盘，点C 为0 刻度点；当秤盘不放物品时，提起提纽，若秤砣所挂位置移动到点 C，则秤杆处于平衡状态.秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时，秤杆处于平衡状态.已知x与y之间满足一定的关系，且测得x与y的几组对应数据如下表所示.当x =14 时，y的值是 x/克 0 2 4 6 10 y/毫米 4 10 16 22 34 5.如图，设计一个爱心活动标志图案，其中AD，DE为半圆的直径,AB=a,BC=CF=b. (1)用含a，b的代数式表示这个图案(阴影部分)的面积S(结果保留π)； (2)当a=6cm,b=4cm时,求面积S(π取3.14). 6.已知x，y为有理数，定义一种新运算“△”，其意义是x△y= xy+(x+y)-1. (1)求:①2△3; ②(4△3)△(-2); (2)比较x△y 和y△x 两个运算的结果，你有何发现? 7.(2026河南期中)火车站、机场、邮局等场所都有为旅客提供打包服务的项目.现有一个长、宽、高分别为a cm,b cm,30cm的箱子(其中a>b),准备采用如图1，2的两种打包方式，所用打包带的总长(不计接头处的长)分别记为l₁，l₂. (1)用含a，b的代数式表示图1中打包带的总长l₁和图2中打包带的总长l₂； (2)当a=70，b=50时，计算两种打包方式所用打包带总长各是多少?并判断哪一种打包方式所用打包带更节省. 培优提升专题3 教材难题生长题 1.【例】(人教7上P77拓广探索)(抽象能力、运算能力、应用意识)3支球队进行单循环比赛(每两队之间都比赛一场)，总的比赛场数是多少?4支球队呢?5支球队呢?n支球队呢? 解题思路：分别 列出n=3，4，5时需要比赛的场数，再进行总结归纳即可得出答案. 难题生长 2.【问题提出】学校体育节要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛(每两队之间都比赛一场)，则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图1，我们可以在平面内画出5个点(任意3个点都不在同一条直线上)，其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来.由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样共连成(5×4)条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有(5×4÷2)条线段，所以该校一共要安排10场比赛. (1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图2，可知一共要安排 场比赛； (2)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排 场比赛； 【实际应用】(3)老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次； 【拓展提高】(4)往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站(每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称).在这段线路上往返行车，要准备多少种车票? 教材难题 3.【例】(人教7上P87 拓广探索)(抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力)如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要多少枚棋子? 解题思路：根据已知图形，归纳每个图形与其中棋子的数量的关系，列出代数式。 难题生长 4.如图是用棋子摆成的“H”字. (1)按图示规律填写下表： 图形标号 ① ② ③ ④ 棋子数量 (2)按照这种方法摆下去，摆成第20个“H”字需要 枚棋子； (3)按照这种方法摆下去，摆成第n个“H”字需要 枚棋子； (4)按照这种方法摆下去，摆成第500个“H”字需要多少枚棋子? 培优提升专题4 全国视野培优特训 1.(2025 济南期中)(跨学科融合)行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时的速度v之间的关系为 (1)根据上述关系填写下表： 刹车时车速(km/h) 20 30 40 50 60 70 刹车距离(m) 2.0 4.5 18 24.5 (2)《中华人民共和国道路交通安全法》第六十七条规定：高速公路限速标志标明的最高时速不得超过120 km/h.《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第八十条规定：机动车在高速路上行驶，车速超过每小时100km时，应与同车道前车保持100m以上的距离. ①请通过计算判断：该种型号的汽车在车速为120 km/h 时的刹车距离是否在规定的安全距离内?②实际上，从看到情况不妙，到踩刹车使车减速，通常需要一定的反应距离.速度越快，反应距离越长，实际刹车距离为反应距离与刹车距离的和.若该种型号的汽车在高速公路上以130 km/h 的速度超速行驶(130 km/h 的速度下反应距离约为28.9 m),突遇紧急情况，请计算此时的实际刹车距离比最高限速时的实际刹车距离多出多少米(120 km/h 的速度下反应距离约为26.7 m). 2.(2026 甘肃期末)项目式学习.根据以下素材，完成任务. 项目主题：方案选择 素材1：某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款. 素材2：学校计划添置100 张课桌和x 把椅子(x>100). 问题解决 【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用； 【任务2】(2)若x =300,分别计算两种方案的费用； 【任务3】(3)在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案. 3.(2026安徽一模改编)从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，是我们发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略——归纳.请试用这个策略解决下面的问题. 如图，将一根绳子折三次，然后按如图所示方式剪开.剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段.如此剪下去，…. (1)剪11刀，绳子变为多少段? (2)剪n刀，绳子变为多少段? (3)有可能正好剪得2025 段吗?请说明理由. 4.(2026天津期中)如图是某校田径运动场的平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间(即阴影部分)长方形的长为a m，环形跑道内侧半圆的半径为rm，跑道宽为 cm . (1)用含有 a，r的代数式表示跑道内侧的周长为 m，用含有a，r，c的代数式表示跑道外侧的周长为 m； (2)若a=25,r=10,c=5,π取3.14, ①小强绕着跑道内侧跑了一圈，求他所跑的路程(结果取整数)； ②求跑道的面积(结果取整数). 第三章 代数式 培优提升专题1 列代数式表示数量关系 1. D 2. n千克苹果的售价 3.(3x²+9x+6) 4.3n+2 5.解:(1)由题意得,A场地的面积为(2x+50)m². (2)由题意得，B场地的面积为 6.解：(1)波长λ与频率f满足反比例关系，理由：5×60=10×30=…=300,乘积为定值,故该段电磁波的波长λ与频率f满足反比例关系. (3)当f=50 MHz时, 答:当f=50 MHz时,此电磁波的波长λ为6m. 7.(1)384 (2)2 (3)a₁qⁿ⁻¹ 培优提升专题2 代数式的值 1. D 2.2203.14 4.46 5.解:(1) (2)当a=6cm,b=4cm时, 6.解:(1)①∵x△y= xy+(x+y)-1, ∴2△3=2×3+(2+3)-1=6+5-1=10. ②(4△3)△(-2)=[4×3+(4+3)-1]△(-2)=(12+7-1)△(-2)=18△(-2) =18×(-2)+[18+(-2)]-1= - 36+16-1= - 21. (2)x△y和y△x两个运算的结果相同，满足交换律. 7.解：(1)图1中打包带的总长+180)(cm), 图2中打包带的总长 (cm). (2)当a=70,b=50时, 图1中打包带的总长 图2中打包带的总长 ∵560>520，∴第二种打包方式所用打包带更节省. 培优提升专题3 教材难题生长题 1.【例】解:3 支球队要进行3×2÷2=3场比赛,4支球队要进行4×3÷2=6场比赛，5支球队要进行5×4÷2=10场比赛,…,n支球队要进行 场比赛. 2.解:(1)15 (3)595 (4)6×5÷2×2=30(种). 答：要准备30种车票. 3.【例】解：摆第n个图形需要4n枚棋子. 4.解:(1)7 12 17 22 (2)102 (3)(5n+2) (4)当n=500时,5n+2=5×500+2=2502. 答:摆成第500个“H”字需要2502枚棋子. 培优提升专题4 全国视野培优特训 1.解:(1)8 12.5 (2)①当v=120时, (米)<100(米), 故该种型号的汽车在车速为120 km/h时的刹车距离在规定的安全距离内. ②当v=130时, (米), 实际刹车距离为28.9+84.5=113.4(米), 最高限速时的实际刹车距离为26.7+72=98.7(米), 113.4-98.7=14.7(米). 答：此时的实际刹车距离比最高限速时的实际刹车距离多出14.7 米. 2.解:(1)方案一:200×100+80(x-100)=(80x+12000)(元);方案二:200×80%×100+80×80%x=(64x+16000)(元). (2)当x=300时, 方案一:80x+12 000=80×300+12000=36000(元), 方案二:64x+16 000=64×300+16000=35 200(元). (3)当x=300时, 由(2)可知,①全按方案一购买:36000元;②全按方案二购买:35 200元; ③先按方案一购买100 张课桌，同时送100 把椅子，再按方案二购买200把椅子： 100×200+80×200×80%=32800(元). ∵36000>35 200>32 800, ∴先按方案一购买100 张课桌，同时送100 把椅子，再按方案二购买200 把椅子最省钱. 3.解:(1)剪1刀,绳子变为5段; 剪2刀，绳子变为9段； 由此可得,剪3刀,绳子变为3×4+1=13段; 剪4刀,绳子变为4×4+1=17段;…; 剪11刀,绳子变为4×11+1=45段. (2)剪n刀,绳子变为(4n+1)段. (3)能正好剪得2025段, 因为2025-1=2024,2024÷4=506,所以剪506刀,正好剪得2025 段. 4.解:(1)(2a+2πr) (2a+2πr+2πc) (2)①当a=25,r=10,c=5,π取3.14时, 2a+2πr=2×25+2×3.14×10=112.8≈113(m). 答：他所跑的路程约为113 m. ②跑道的面积为 当a=25,r=10,c=5,π取3.14时, 答：跑道的面积约为643 m². 学科网（北京）股份有限公司 $