复数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题型分层训练为载体，系统整合复数概念、运算及几何意义，通过典例提炼代数转化、模性质应用等方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3/填空13-15|实部虚部辨析、共轭复数性质|从复数定义到模的几何意义，构建概念网络| |运算求解|选择4-8/多选9-11|四则运算技巧、模的性质应用|通过代数运算深化对复数运算律的理解| |几何意义|多选12/解答17|复平面点坐标转化、距离公式|建立复数与平面几何的关联，体现数形结合| |综合应用|解答18-20|棣莫弗定理、方程思想|从单一运算到综合证明，体现概念生成到应用拓展的逻辑链条|

2027年高考数学一轮复习：复数 一．选择题（共8小题） 1．（2026•台湾）设，复数z＝2+i、w＝1+i，试问下列哪一个复数的绝对值等于5？（　　） A．z﹣w B．z﹣2w C．z﹣3w D．z﹣4w E．z﹣5w 2．（2026•重庆）（1﹣3i）2＝（　　） A．﹣8+6i B．﹣8﹣6i C．8+6i D．8﹣6i 3．（2026•湖北模拟）已知复数z满足：（z﹣1）2+1＝0，则|z|＝（　　） A．1 B． C． D．2 4．（2026•天祝县校级模拟）若z（1+i）＝1+3i，则在复平面内对应的点的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（1，﹣1） D．（1，1） 5．（2026•蒙城县模拟）设复数z满足（1+2i）z＝5i，则|z|＝（　　） A． B． C． D．5 6．（2026•校级模拟）复数z满足（z+1）•i＝1﹣2i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（　　） A．﹣3 B．﹣3i C．1 D．i 7．（2026•济南一模）已知复数z满足，则|z|＝（　　） A． B．1 C． D．2 8．（2026•西安校级一模）若复数z满足（1+i）z＝1+2i，则z＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共4小题） （多选）9．（2026•台湾）设a为实数，关于复数的性质，试选出正确的选项（其中为z的共轭复数）．（　　） A．z的实部为 B．若，则a＝1 C． D．若a＝0，则z的主辐角大于π E．无论a值为何，z都不会落在复数平面上的第一象限 （多选）10．（2026•湖南校级模拟）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（　　） A．复数z的虚部是 B．|z|＝1 C．复数z的共轭复数是i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 （多选）11．（2026•武汉校级模拟）已知复数z＝4﹣3i，则下列说法正确的有（　　） A．z的虚部为﹣3i B． C．|z|＝5 D． （多选）12．（2026•晋城一模）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（3，a）和（﹣2，2），则（　　） A． B．z1+z2的虚部为1 C．存在a，使得|z1|＜|z2| D．z1z2在复平面内对应的点不可能在第四象限 三．填空题（共4小题） 13．（2026•河西区校级模拟）已知，则　 　 ． 14．（2026•泉山区校级模拟）若复数，则|z|＝ 　 　 ． 15．（2026•上虞区模拟）已知复数z满足z+23+i，则|z|＝　 　 ． 16．（2026•忻府区校级模拟）已知复数z≠0满足|z﹣1|＝|z﹣i|，，则|z|＝　 　 ． 四．解答题（共4小题） 17．（2026•嘉定区二模）在复平面内，已知点A、B、C对应的复数分别为zA＝0、zB＝6、zC＝4+3i，其中i是虚数单位． （1）求cos∠ACB的值； （2）若复数z满足|z﹣zA|＝|z﹣zB|＝|zB﹣zC|，求z． 18．（2026•南京二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：（cosθ+isinθ）n＝cosnθ+isinnθ，设． （1）证明：|z1z2|＝|z1||z2|； （2）若，求a的值； （3）证明：|z2025﹣z2026|＝|z2026﹣z2027|． 19．（2026•深圳模拟）已知复数z＝a+2i（a∈R）．i为虚数单位． （1）若为实数，求a的值； （2）若z1＝z（2﹣ai），z1在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 20．（2026春•湖北期末）设复数，z2＝n+（n﹣2）i，z3＝m+ni（m，n∈R）． （1）若z1是纯虚数，z2为实数，求|z3|； （2）若m＝3，设（a，b∈R），求a+b的值． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．（2026•台湾）设，复数z＝2+i、w＝1+i，试问下列哪一个复数的绝对值等于5？（　　） A．z﹣w B．z﹣2w C．z﹣3w D．z﹣4w E．z﹣5w 【考点】复数的模． 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】E 【分析】结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：z﹣w＝（2+i）﹣（1+i）＝1，|1|＝1，故A错误； z﹣2w＝（2+i）﹣2（1+i）＝2+i﹣2﹣2i＝﹣i，|﹣i|＝1，故B错误； z﹣3w＝（2+i）﹣3（1+i）＝2+i﹣3﹣3i＝﹣1﹣2i，，故C错误； z﹣4w＝（2+i）﹣4（1+i）＝2+i﹣4﹣4i＝﹣2﹣3i，，故D错误； z﹣5w＝（2+i）﹣5（1+i）＝2+i﹣5﹣5i＝﹣3﹣4i，5，故E正确． 故选：E． 【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题． 2．（2026•重庆）（1﹣3i）2＝（　　） A．﹣8+6i B．﹣8﹣6i C．8+6i D．8﹣6i 【考点】复数的乘法及乘方运算． 【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法及乘方运算求解即可． 【解答】解：（1﹣3i）2＝1﹣6i+9i2＝﹣8﹣6i． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3．（2026•湖北模拟）已知复数z满足：（z﹣1）2+1＝0，则|z|＝（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】复数的模． 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】B 【分析】根据方程求出复数z，然后计算复数的模． 【解答】解：（z﹣1）2+1＝0，即（z﹣1）2＝﹣1，解得z﹣1＝±i， 故z＝1±i． 所以． 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题． 4．（2026•天祝县校级模拟）若z（1+i）＝1+3i，则在复平面内对应的点的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（1，﹣1） D．（1，1） 【考点】复数对应复平面中的点． 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】A 【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：由z（1+i）＝1+3i得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1）． 故选：A． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题． 5．（2026•蒙城县模拟）设复数z满足（1+2i）z＝5i，则|z|＝（　　） A． B． C． D．5 【考点】复数的模． 【专题】计算题；整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】C 【分析】利用复数模长的定义和性质求解． 【解答】解：∵复数z满足（1+2i）z＝5i， ∴z， ∴|z|． 故选：C． 【点评】本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题． 6．（2026•校级模拟）复数z满足（z+1）•i＝1﹣2i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（　　） A．﹣3 B．﹣3i C．1 D．i 【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数． 【专题】转化思想；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】C 【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【解答】解：复数z满足（z+1）•i＝1﹣2i， 则， 所以，所以复数z的共轭复数的虚部为1． 故选：C． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，是基础题． 7．（2026•济南一模）已知复数z满足，则|z|＝（　　） A． B．1 C． D．2 【考点】复数的除法运算；复数的模． 【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】B 【分析】根据复数的基本运算求解z，进而求解模长． 【解答】解：复数z满足，可得z﹣1＝i（z+1）， 故zi， 则|z|＝1． 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的基本运算，属于基础题． 8．（2026•西安校级一模）若复数z满足（1+i）z＝1+2i，则z＝（　　） A． B． C． D． 【考点】复数的实部与虚部；复数的除法运算． 【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】A 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由（1+i）z＝1+2i，得z． 故选：A． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 二．多选题（共4小题） （多选）9．（2026•台湾）设a为实数，关于复数的性质，试选出正确的选项（其中为z的共轭复数）．（　　） A．z的实部为 B．若，则a＝1 C． D．若a＝0，则z的主辐角大于π E．无论a值为何，z都不会落在复数平面上的第一象限 【考点】复数的实部与虚部；共轭复数；复数的模． 【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算． 【答案】ACDE 【分析】化简得zi，再根据复数的概念，判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：对于A，因为zi， 所以z的实部为，选项A正确； 对于B，若z，则0，解得a＝﹣1，选项B错误； 对于C，|z|2（a2+4），选项C正确； 对于D，a＝0时，zi，对应点在第三象限，所以z的主辐角大于π，选项D正确； 对于E，令，得，a的值不存在，z不会落在复数平面上的第一象限，选项E正确． 故选：ACDE． 【点评】本题考查了复数的定义与应用，是基础题． （多选）10．（2026•湖南校级模拟）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（　　） A．复数z的虚部是 B．|z|＝1 C．复数z的共轭复数是i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【考点】复数的运算． 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】CD 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对z化简，再结合复数的性质，即可求解． 【解答】解：复数， 复数z的虚部为，故A错误， |z|，故B错误， ，故C正确， 复数z的共轭复数对应的点（），位于第四象限，故D正确． 故选：CD． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，对z化简，再结合复数的性质，属于基础题． （多选）11．（2026•武汉校级模拟）已知复数z＝4﹣3i，则下列说法正确的有（　　） A．z的虚部为﹣3i B． C．|z|＝5 D． 【考点】复数的实部与虚部；共轭复数；复数的模． 【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】CD 【分析】由复数的基本运算逐一分析得答案． 【解答】解：复数z＝4﹣3i的虚部为﹣3，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． 【点评】本题考查复数的基本运算，是基础题． （多选）12．（2026•晋城一模）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（3，a）和（﹣2，2），则（　　） A． B．z1+z2的虚部为1 C．存在a，使得|z1|＜|z2| D．z1z2在复平面内对应的点不可能在第四象限 【考点】复数对应复平面中的点；复数的模． 【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】AD 【分析】根据复数的基本运算以及几何意义即可求解． 【解答】解：由复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（3，a）和（﹣2，2）， 可得a∈R，z1＝3+ai，z2＝﹣2+2i， 对于A，，故A正确； 对于B，z1+z2＝1+（a+2）i，其虚部为a+2，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，z1z2＝（3+ai）（﹣2+2i）＝﹣6﹣2ai+6i﹣2a＝﹣（6+2a）+（6﹣2a）i， 若其在复平面内对应的点在第四象限，则，不等式组无解，故D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题． 三．填空题（共4小题） 13．（2026•河西区校级模拟）已知，则　1+i ． 【考点】复数的除法运算． 【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】1+i． 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的定义即可得解． 【解答】解：由题意可知，1﹣i， 所以． 故答案为：1+i． 【点评】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题． 14．（2026•泉山区校级模拟）若复数，则|z|＝ 　　 ． 【考点】复数的模；复数的除法运算． 【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】． 【分析】先利用复数的除法运算化简，再结合复数的模的定义计算． 【解答】解：复数4﹣i， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 15．（2026•上虞区模拟）已知复数z满足z+23+i，则|z|＝　　 ． 【考点】共轭复数；复数的模． 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；直观想象． 【答案】． 【分析】结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R）， z+23+i， 则a+bi+2（a﹣bi）＝3a﹣bi＝3+i， 故，解得a＝1，b＝﹣1， 故|z|． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模的运算，属于基础题． 16．（2026•忻府区校级模拟）已知复数z≠0满足|z﹣1|＝|z﹣i|，，则|z|＝　　 ． 【考点】复数的模． 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】． 【分析】直接设z＝a+bi（a，b∈R且z≠0），再根据复数的模的定义及复数相等的定义可得． 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R且z≠0），则，|z|2＝a2+b2． 因为，由复数相等的定义得2a＝a2+b2①． 又因为|z﹣1|＝|z﹣i|，所以，（a﹣1）2+b2＝a2+（b﹣1）2，②， 联立①②，解得a＝0或a＝1． 当a＝0时，则b＝0，所以z＝0，不符合题意； 当a＝1时，则b＝1，所以z＝1+i，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题． 四．解答题（共4小题） 17．（2026•嘉定区二模）在复平面内，已知点A、B、C对应的复数分别为zA＝0、zB＝6、zC＝4+3i，其中i是虚数单位． （1）求cos∠ACB的值； （2）若复数z满足|z﹣zA|＝|z﹣zB|＝|zB﹣zC|，求z． 【考点】复数对应复平面中的点；复数的模． 【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】（1）； （2）z＝3+2i或z＝3﹣2i． 【分析】（1）由已知写出点A、B、C的坐标，写出向量，，即可求cos∠ACB； （2）由已知可得复数z对应的点到点A（0，0）和点B（6，0）距离相等，可知复数z对应的点在AB的垂直平分线上，即z的实部为3，再计算B到C的距离，由复数z对应的点到原点的距离等于该值，即可解出z． 【解答】解：（1）由点A、B、C对应的复数分别为zA＝0、zB＝6、zC＝4+3i， 可得A（0，0），B（6，0），C（4，3）， ，， 则； （2）由zA＝0，zB＝6，|z﹣zA|＝|z﹣zB|，得|z﹣0|＝|z﹣6|， 则复数z对应的点到点A（0，0）到和点B（6，0）距离相等， 所以这两点的中垂线是直线x＝3，即复数z的实部为3，设z＝3+yi，y∈R， 所以， 所以，解得y＝±2， 所以z＝3+2i或z＝3﹣2i． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 18．（2026•南京二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：（cosθ+isinθ）n＝cosnθ+isinnθ，设． （1）证明：|z1z2|＝|z1||z2|； （2）若，求a的值； （3）证明：|z2025﹣z2026|＝|z2026﹣z2027|． 【考点】复数的三角表示． 【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】（1）设z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2）， 则z1z2＝r1（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2） ＝r1r2（cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2） ＝r1r2[（cosθ1cosθ2﹣sinθ1sinθ2+）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2）] ＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，所以|z1z2|＝r1r2， 又因为|z1|＝r1，|z2|＝r2， 所以|z1z2|＝|z1||z2|； （2）1； （3）由棣莫弗定理公式得cos675π+isin675π＝﹣1； ；， 所以|z2025﹣z2026|1， |z2026﹣z2027|＝|﹣1|＝1， 所以|z2025﹣z2026|＝|z2026﹣z2027|． 【分析】（1）设z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），利用复数的运算和模公式求解； （2）由，求得ω，根据ω∈R求解； （3）根据棣莫弗定理公式得到z2025，z2026z2027验证即可． 【解答】（1）证明：设z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2）， 则z1z2＝r1（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2） ＝r1r2（cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2） ＝r1r2[（cosθ1cosθ2﹣sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2）] ＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]， 所以|z1z2|＝r1r2， 又因为|z1|＝r1，|z2|＝r2， 所以|z1z2|＝|z1||z2|； （2）解：因为， 所以， 所以， ， 因为ω∈R，所以， 所以1﹣a＝0，解得a＝1； （3）证明：由棣莫弗定理公式得cos675π+isin675π＝﹣1； ；， 则|z2025﹣z2026|1，|z2026﹣z2027|＝|﹣1|＝1， 所以|z2025﹣z2026|＝|z2026﹣z2027|． 【点评】本题考查复数三角形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于中档题． 19．（2026•深圳模拟）已知复数z＝a+2i（a∈R）．i为虚数单位． （1）若为实数，求a的值； （2）若z1＝z（2﹣ai），z1在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】（1）a＝2； （2）（﹣2，0）． 【分析】（1）将复数除法化简为代数形式，根据实数的虚部为0列方程求解； （2）先计算复数乘法得到z1的代数形式，再根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解范围． 【解答】解：（1）由题可得：， 由题知为实数，故虚部， 解得a＝2． （2）易知 ， 故 ， 解得﹣2＜a＜0， 即a的取值范围为（﹣2，0）． 【点评】本题主要考查复数的基本运算以及几何意义，考查计算能力，属于基础题． 20．（2026春•湖北期末）设复数，z2＝n+（n﹣2）i，z3＝m+ni（m，n∈R）． （1）若z1是纯虚数，z2为实数，求|z3|； （2）若m＝3，设（a，b∈R），求a+b的值． 【考点】纯虚数；复数的模；复数的混合运算． 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据复数的概念及复数的模求解即可． （2）根据复数的乘法及复数相等求解即可． 【解答】解：（1）因为z1是纯虚数，z2为实数，所以，n﹣2＝0， 解得m＝﹣1，n＝2，所以z3＝﹣1+2i． 所以． （2）若m＝3，则z1＝4+i， 所以． 又，所以4+2i＝4a+2b+（4b﹣2a）i， 所以，解得， 所以． 【点评】本题主要考查复数相等的条件，以及共轭复数的定义，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $