3.2.4黄金分割-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕黄金分割展开，涵盖定义、黄金比（√5-1/2≈0.618）、黄金分割点及黄金矩形等应用。通过五角星图形观察导入，结合相似三角形推导比例关系，衔接图形相似知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是理论与实践结合，通过选择、填空、解答题巩固知识，实际案例（舞台主持位置、《蒙娜丽莎》比例）培养应用意识，证明题提升推理能力。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建结构，教师可提高教学效率，学生能发展数学眼光与思维。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.2.4黄金分割 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学3.2.4黄金分割专项练习 核心知识点回顾：若点C在线段AB上，且满足$$AC^2=AB\cdot BC$$，则点C为线段AB的黄金分割点，黄金比$$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$。一条线段有两个黄金分割点，黄金矩形、黄金三角形均依托该比例性质衍生，是图形相似的典型应用。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 下列关于黄金分割的说法正确的是（） A. 黄金比精确值为0.618 B. 线段的黄金分割点仅有一个 C. 黄金比$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ D. 分割后短线段与长线段比值大于0.618 2. 已知线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长约为（） A. 6.18cm B. 3.82cm C. 5cm D. 7.64cm 3. 下列图形属于黄金矩形的是（） A. 长4cm、宽3cm B. 长5cm、宽$$\frac{5\sqrt{5}-5}{2}$$cm C. 长6cm、宽4cm D. 长2cm、宽1cm 4. 把一条线段黄金分割后，长线段、短线段、整条线段的比例关系是（） A. 长²=整条×短 B. 短²=整条×长 C. 长=短×整条 D. 短=长²×整条 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 黄金比的精确值为________，近似值为________。 6. 若线段AB的黄金分割点为C（AC＞BC），AB=2cm，则BC=________cm。 7. 一个黄金矩形的长为8cm，其宽为________cm（保留根号）。 8. 舞台长12m，主持人站在黄金分割点处效果最佳，主持人距离舞台一端的较短距离为________m（精确到0.1m）。 三、解答题（共56分） 9.（18分）已知线段AB=10，点C是AB上的黄金分割点（AC＞BC），求线段AC、BC的长度（精确到0.01），并验证$$AC^2=AB\cdot BC$$。 10.（18分）求证：将黄金矩形截去一个最大的正方形后，剩余矩形仍是黄金矩形。 11.（20分）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D。求证：点D是线段AC的黄金分割点。 参考答案与详细解析 1. C 解析：黄金比精确值为$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$，0.618是近似值；一条线段有两个黄金分割点，分割后比值约为0.618。 2. A 解析：$$AC=10\times0.618=6.18\mathrm{cm}$$。 3. B 解析：黄金矩形宽长比为黄金比，代入计算符合定义。 4. A 解析：黄金分割核心公式$$AC^2=AB\cdot BC$$（AC为长线段）。 5. $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$；0.618 6. $$3-\sqrt{5}$$ 解析：$$AC=\sqrt{5}-1$$，$$BC=AB-AC=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$$。 7. $$4\sqrt{5}-4$$ 解析：宽=$$8\times\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4\sqrt{5}-4$$。 8. 4.6 解析：较短距离=$$12\times(1-0.618)\approx4.6\mathrm{m}$$。 9. 解：$$AC=10\times\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx6.18$$，$$BC=10-6.18=3.82$$。验证：$$AC^2\approx38.19$$，$$AB\cdot BC=10\times3.82=38.2$$，近似相等，符合黄金分割定义。 10. 证明：设原黄金矩形长为a，宽为$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$$，截去最大正方形边长为宽，剩余矩形长为原宽，宽为$$a-\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$$，计算长宽比为黄金比，故仍为黄金矩形。 11. 证明：由角度计算得△ABC、△BCD为等腰三角形，推导出$$AD=BD=BC$$，证得$$BC^2=AC\cdot CD$$，即$$AD^2=AC\cdot CD$$，故D为AC黄金分割点。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 黄金分割 问题 一个五角星如图所示。 在图中找出相等的角、相等的线段。 ∠A=∠B=∠G=∠E=∠K等， AL=BC=BH=HG等。 K A L C B D H F E G 探究新知 知识点1 黄金分割 问题 一个五角星如图所示。 在图中找出相似比不同的两对相似三角形。 △ADC∽△AFB，△CDL∽△BEL等。 K A L C B D H F E G 探究新知 小亮认为， 。你同意他的看法吗? 同意。理由如下： 易知△ADC∽△AFB， ∴ 。 又易知AD=BC，AF=AC， ∴ 。 知识点1 黄金分割 K A L C B D H F E G 探究新知 一般地，如图，点C把线段AB分成两条线段AC和 BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。 知识点1 黄金分割 A C B 探究新知 计算黄金比。 解：由， 得AC²=AB·BC。 设AB=1，AC=x，则BC=1-x。 ∴ x²=1×(1-x)， 即 x²+x-1=0。 解这个方程，得 x1= ，x2= (不合题意，舍去)。 所以，黄金比 ≈0.618。 例1 知识点1 黄金分割 探究新知 知识点1 黄金分割的概念 1.已知点把线段分成两条线段和，且 ，下列说法错 误的是( ) C A.若，则线段被点 黄金分割 B.若，则线段被点 黄金分割 C.若线段被点黄金分割，则与 的比叫作黄金比 D.一条线段有两个黄金分割点 返回 举一反三 7 2.[温州期中] 已知点是线段的黄金分割点 ，则下列结论 中正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 一般地，如图，点C把线段AB分成两条线段AC和 BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。 黄金比= 知识点1 黄金分割 A C B 探究新知 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段都有两个黄金分割点。 如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点。 知识点1 黄金分割 A D C B 探究新知 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (1)矩形EBCF是黄金矩形吗?为什么? 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C 矩形EBCF是黄金矩形。 证明：∵矩形ABCD是黄金矩形， ∴可设BC=AD=(-1)a， 则AB=2a。 探究新知 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (1)矩形EBCF是黄金矩形吗?为什么? 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C ∵四边形AEFD是正方形， ∴AE=AD=(-1)a， ∴EB=AB-AE=2a-(-1)a=3a- a。 ∴== ， ∴矩形EBCF是黄金矩形。 探究新知 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (2)在边EF和边BC上分别取点G，H，使四边形EBHG为正方形，那么矩形GHCF是黄金矩形吗? 矩形GHCF是黄金矩形。 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C 探究新知 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (3)在这个图中，你还能得到更多的黄金矩形吗? 可以。在黄金矩形内以其宽为边长作正方形， 剩余的部分就是黄金矩形。 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C 探究新知 在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事。如图，在国旗上的任意一个五角星中，M，N是边AD的黄金分割点，若AD=8cm，则AN的长为 cm。(结果保留根号) 例2 (12-4) 知识点1 黄金分割 探究新知 知识点2 黄金分割的应用 （第3题） 3.如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》。画中的 脸部被包在矩形内，点是 的黄金分割点， ，若，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 16 （第4题） 4. [西安期中] 秦兵马俑被誉为“世界第八大 奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离 的比值约为 ，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离 约为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为_ ____ 。 返回 举一反三 17 5. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割 点处最自然得体，若舞台的长为，那么舞台 的长为 __________________________。 或 返回 举一反三 18 6. 如图，乐器上的一根弦，两个端点, 固 定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，则, 之间的距离为_________________。 返回 举一反三 19 7. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金 分割构图法，其原理是：如图，在正方形 的 边上取中点，以为圆心，线段 的长为半 径作圆，其与边的延长线交于点 ，这样就把 （1）若，则 _________。 正方形延伸为黄金矩形 。（宽与长的 比等于 的矩形叫作黄金矩形） 举一反三 20 （2）矩形 是黄金矩形吗？ 解： 四边形 是正方形， 。 由题意得,,即是线段 的黄金分割点。 。 。 矩形 是黄金矩形。 返回 举一反三 21 一般地，点C把线段AB分成两条线段 AC和 BC，如果，那么称线 段AB被点C黄金分割 黄金分割 定义 黄金分割点 一条线段有两个黄金分割点 黄金比 = 课堂小结 谢谢观看 THANKS $