3.2.4 黄金分割 课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“黄金分割”，通过五角星探究相等角、线段及相似三角形，从图形相似过渡到黄金分割比例，搭建从具体到抽象的知识支架，系统呈现概念、黄金比计算及应用。 其特色是融合数学眼光、思维与语言，以问题探究引导观察发现，用方程推导培养推理意识，结合帕提侬神庙、人体肚脐实例强化应用。小结的认知逻辑助学生构建体系，教师可借实例提升教学效率，学生能感受数学的实用与审美价值。

第4课时 黄金分割 第三章　图形的相似 2 探究与应用 一个五角星如图3-2-20所示. (1)在图中找出相等的角、相等的线段; 探究 黄金分割 问题导入 解:(1)略. 图3-2-20 (2)在图中找出相似比不同的两对相似三角形; 解:(2)答案不唯一,如△ACD∽△ABF,△LCD∽△LBE. 图3-2-20 (3)小亮认为,=.你同意他的看法吗?说说你的理由. 解:(3)同意小亮的看法. 理由:易知△ACD∽△ABF, ∴=. 又易知AD=BC,AF=AC, ∴=. 图3-2-20 黄金分割:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图3-2-21),如果　　　　,那么称线段AB被点C黄金分割,　　　　叫作线段AB的黄金分割点,　　　　的比叫作黄金比.    概括新知 = 图3-2-21 点C AC与AB (教材典题)计算黄金比. 应用一 计算黄金比 例 1 解:如图. 由=,得AC2=AB·BC. 设AB=1,AC=x, 则BC=1-x. ∴x2=1×(1-x), 即x2+x-1=0. 解这个方程,得x1=,x2=(不合题意,舍去). ∴黄金比=≈0.618. 黄金分割是一种分割线段的方法,每条线段有两个黄金分割点,如图3-2-22,线段AB有两个黄金分割点,其中一点D靠近点A,有=,另一点C靠近点B,有=. 善 归纳 图3-2-22 (教材典题)图3-2-23①是始建于古希腊时期的帕提侬神庙,人们普遍认为其设计与黄金比有密切关系.如果把图中用虚线表示的矩形画成图②中的ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现,=.点E是线段AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? 应用二 利用黄金分割解决实际问题 例 2 解:∵四边形ABCD是矩形,四边形AEFD是正方形, ∴BC=AD=AE. ∵=, ∴==, ∴点E是线段AB的黄金分割点,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比. 图3-2-23 肚脐是人体理想的黄金分割点,即肚脐以下部分与人身高的比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的距离与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美?(结果精确到0.1 cm) 例 3 解:设小明的妈妈脚底到肚脐的距离为x m. 根据题意,得=0.60, 解得x= 0.96. 设她穿上y m高的高跟鞋看起来会更美,则 =0.618,解得y≈0.075. 经检验,y≈0.075是原方程的解,且符合题意, 0.075 m=7.5 cm. 故她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美. 判断黄金分割点的方法 (1)检验该点分得的三条线段是否满足= ; (2)检验较长线段与原线段比值是不是. 学 方法 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”,给人以美感.如图3-2-24,若将AB抽象地看成一条线段,P为AB的黄金分割点(AP>PB),下列各式正确的是(　　) A.= B.= C.= D.= | 课堂检测 | A 图3-2-24 2.如图3-2-25是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割(AC>BC).已知AB=10 cm,则AC的长约为　　　　cm.(结果精确到0.1 cm)  图3-2-25 $