第1章 勾股定理 单元测试 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版2024八年级上勾股定理单元卷，以文化传承与现实应用为特色，覆盖定理计算、逆定理及综合探究，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|勾股定理计算、逆定理、赵爽弦图|结合“赵爽弦图”考查面积关系，梯子滑动问题体现应用| |填空题|5|实际应用（折竹、树断）、几何综合|“葭生池中”古题重现，培养数学文化理解| |解答题|5|网格计算、台风预警、综合证明|台风路径问题融合建模与运算，第22题多情境探究提升推理能力|

北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB=BC=17，AD=8，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（　　） A．2 B．3 C． D．4 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则AB的值是（　　） A．10 B． C． D．4.8 4．如图每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 5．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m,如果梯子的顶端下滑4m,那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 6．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c=15，b-a=3，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 8．“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（　　） A．8 B．4 C．5 D．3 9．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB=2CD=4，则AD2+BC2的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD=1，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a,b,c,d.若a=2，b+c=13，则d为（　　） A．9 B．11 C．12 D．15 12．如图，在矩形ABCD中，AB=6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且CN=x,DM=y,且x＞y,若CM=DN=5，当x,y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．xy B．x+y C．x-y D．x2+y2 二．填空题（共5小题） 13．有一根高度为18米的竹子，在某处弯折后尖端落在地上，竹尖与竹根的水平距离是6米，则竹子弯折处距离地面的高度是______米． 14．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过19m/s.如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30m的C处，过了2s后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为50m,AC⊥BC，这辆小汽车是否超速？______（填“是”或者“否”） 15．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为______． 16．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为______． 17．如图，等边△ABC中，BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=2，BP=AQ=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BAD的度数． 19．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km. （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 20．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，把△ADE沿AE翻折得到△AD′E，连接D′C，若BD=CD′． （1）求证：△ABD≌△ACD'； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 21．如图，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE． （1）试说明：BE2-AE2=AC2； （2）若AC=6，BD=4，求△ACE的周长． 22．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一． （1）如图1，在梯形ABCD中，点E在AB上，且∠A=∠B=∠DEC=90°．请你利用该图证明：a2+b2=c2． （2）如图2，MN表示一条铁路，A，B是两个村庄，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC=6千米，BD=8千米，且CD=10千米．现要在CD之间建一个中转站O．问中转站O应建在离点C多少千米处时，才能使它到A，B两个村庄的距离相等？ （3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，D为直线BC上的动点．过点B作BE⊥射线AD于点E，若，直接写出AD的长． 北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、A 2、C 3、A 4、B 5、C 6、D 7、B 8、D 9、A 10、C 11、B 12、A  二．填空题（共5小题） 13、8； 14、是； 15、3； 16、10； 17、7；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）根据勾股定理得： AB==5， BC==2， CD==， AD==5， ∴AB+BC+CD+AD=5+2++5=5+3+5； （2）连接BD， 根据勾股定理得：BD==5， ∵AB=5，AD=5， ∴BD2+AD2=52+52=50=AB2，AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠BAD=45°． 19、解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB=340km,AD=160km, 在Rt△ABD中，， ∵300÷20=15， ∴台风中心经过15h从B点移到D点； （2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km, 由AD⊥BC得DE=DF， 在Rt△AED中，， ∴EF=2ED=240km, ∴t=240÷20=12， ∴A市受到台风影响的时间持续12h. 20、（1）证明：∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形， ∴AD=AD′， 在△ABD和△ACD′中， ， ∴△ABD≌△ACD′（SSS）； （2）解：∵△ABD≌△ACD′， ∴∠BAD=∠CAD′， ∴∠DAD′=∠BAC=120°， ∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形， ∴∠DAE=∠D′AE=∠DAD′=60°， 即∠DAE=60°． 21、（1）证明：∵在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，DE⊥BC， ∴DE垂直平分BC， ∴BE=CE， 在直角三角形ACE中，∠A=90°， 由勾股定理得：CE2-AE2=AC2， ∴BE2-AE2=AC2； （2）解：∵D是斜边BC的中点，BD=4， ∴BC=2BD=8， 在Rt△ABC中，AC=6， 由勾股定理得：， ∴， ∴△ACE的周长=． 22、（1）证明：由梯形的面积公式可得：S梯形ABCD=， S梯形ABCD=， ∴． ∴a2+b2=c2． （2）解：设OC=x千米，则OD=（10-x）千米． 根据题意得AO=BO， ∴AO2=BO2． ∵AO2=AC2+OC2，BO2=BD2+OD2， ∴62+x2=82+（10-x）2， 解得x=6.4． 答：中转站O应建在离C点6.4千米处时，才能使它到A，B两个村庄的距离相等． （3）解：或． 由勾股定理可得：． 分三种情况：①如图1，当点D在BC的延长线上时， ∵， ∴AE=DE． ∵BE⊥AD， ∴BD=AB=5， ∴CD=BD-BC=5-4=1． ∴． ②如图2，当点D在线段BC上时， ∵AE＞AD， ∴不存在． ③如图3，当点D在CB的延长线上时， ∵， ∴AE=DE． ∵BE⊥AD， ∴BD=AB=5， ∴CD=BD+BC=5+4=9． ∴． 综上所述，AD的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $