5.3一元一次方程的应用题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按方案选择、行程、销售盈亏三大题型分类，分层设计基础巩固到综合应用，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一方案列式与求解（如第1-2题）|直接应用方程概念，强化符号意识| |中档|复杂情境等量关系分析（如第7、12题）|结合行程、销售等实际场景，发展推理能力| |综合|多变量动态问题解决（如第8、10题）|涉及分类讨论与跨情境整合，提升应用意识|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、方案选择问题 1．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠”若全票价是1200元，则：设学生数为，甲旅行社收费，乙旅行社收费，求： (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？ (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 2．某商场销售某种夹克和裤子，每件夹克标价为100元，每条裤子标价为60元，为减少库存量，于是该商场老板开展了促销活动，活动期间，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一件夹克送一条裤子； 方案二：夹克和裤子均按标价的出售． 现有顾客要到该商场购买夹克件，裤子x条． (1)请用含x的代数式分别表示按方案一、方案二购买的费用？ (2)当购买裤子多少条时，两种方案付款一样多？ 3．王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的． 方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元． 方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元． 请你算一算，按哪种方案出售比较合算． 4．为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样． (1)求出篮球和排球的单价； (2)经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 5．某景区有两种购票方式： 方式一：购买个人票，其中一张学生票30元，一张普通票60元； 方式二：购买团体票（人数不少于40人），团体票中每张票均在普通票的基础上打8折，游客可根据情况选择合适的购票方式，某校现有x名师生（）前往该景区秋游，学生有20人． (1)用含x的代数式表示该校师生按方式一购票时所需费用； (2)用含x的代数式表示该校师生按方式二购票时所需费用； (3)当老师有多少人时，两种购票的费用相同，并说明理由． 6．某快递公司招聘快递员，并提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日无底薪，每一件快递提成元． 方案二：每日底薪元，提成按派送量分两档计算，当日派送量不超过件时，无提成；当日派送量超过件时，超出部分每件提成元． 设快递员每日完成的派送量为件（为正整数），方案一、方案二中快递员的日工资分别为元，元． (1)求出，关于的函数关系式； (2)小林是此快递公司的一名快递员，他想日工资达到元，从派送量的角度考虑，小林应该选择哪种方案？说明理由． 二、行程问题 7．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，于两地之间的C地相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息14分钟后再继续向A地行走，甲和乙各自到达B地和A地后立即折返，又在C地相遇，已知甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．则A、B两地相距多少米？ 8．甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行48千米，乙、丙步行的速度为每小时6千米，已知A、B两地相距48千米．则三人同时到达的最短时间为( )小时． 9．甲、乙两车从相距千米的两地相向而行，小时后还相距全程的，又知甲、乙两车的速度比是，求甲车的速度． 10．已知A、B两城相距120公里，甲、乙、丙三人从A城出发去往B城，甲骑车速度为15公里/小时，乙、丙的步行速度都为5公里/小时． (1)乙和丙要比甲提前多久步行出发，才能三人同时到达B城？ (2)甲、乙、丙同时从城出发，丙步行，甲骑车带乙行至D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，问乙步行了多少公里？ 11．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，分别到达时停止，出发分钟时两人相遇，此时李明比刘伟多行进千米，相遇后6分钟李明到达地． (1)两地间的距离是多少千米？ (2)刘伟有几次与李明相距千米？相距千米时的行进时间是多少分钟？ 12．一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 三、销售盈亏问题 13．某体育用品店准备购进一批篮球和足球，准备在“双十二”期间销售，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多5元，购进5个篮球和4个足球共需元．求篮球和足球的进价分别是多少元？ 14．一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售，如果每件服装按标价的八折出售，可盈利50元；若每件服装按标价的六折出售，则亏损50元． (1)求每件服装的标价； (2)若这种服装一共库存80件．按标价八折出售一部分后，将余下服装按标价的五折全部出售，结算时发现共获利1600元，求按八折出售服装的件数． 15．某文具店先后分两次购进同一种笔记本，总共花费1440元．第一次购进的进价为每本10元，第二次购进的进价为每本9元，且第二次购进的数量是第一次购进数量的． (1)文具店第一次购进笔记本多少本？ (2)文具店计划将第一次购进的笔记本按每本标价13元销售，第二次购进的笔记本按每本标价15元销售．在实际销售中，第一次购进的笔记本按标价每本降价1元销售，第二次购进的笔记本全部打折出售，若将两批购进的笔记本全部售出后获得的利润率为，第二次购进的笔记本应打几折出售？ 16．某超市先后以每千克元和每千克元的价格两次共购进苹果千克，且第二次付款是第一次付款的倍． (1)求第一次购进苹果多少千克？ (2)该超市以每千克元的标价销售这批苹果，售出千克后，受市场影响，把剩下的苹果打8折全部售出．求该超市销售这批苹果共获得的利润是多少？（总利润销售总额总成本） 17．为了让学生加强体育锻炼，某班计划购买一批跳绳．已知甲、乙两商店的跳绳规格一致，且每根标价相同，两商店现推出如下促销方案： 甲商店 每根跳绳按标价打九折后，在总价的基础上再优惠15元 乙商店 每买5根跳绳，免费赠送1根（即“买五送一”） 小明发现同样是购买30根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜10元，求每根跳绳的标价． 18．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套200元．店方表示：如果多购买，可以优惠．结果校方购买了套，每套减价6元，而商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)4人 (3)当学生人数为4人时，两旅行社一样优惠；当学生人数小于4人时，乙旅行社优惠；当学生人数大于4人时，甲旅行社优惠 【分析】本题考查了一次函数的应用-方案设计问题，在解答时根据两个解析式建立方程或不等式是关键． （1）根据收费总额学生人数单价校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费； （2）利用时，得出，进而求出即可， （3）分两种情况讨论，当、时，求出哪种情况更优惠． 【详解】（1）解：设学生人数为人，由题意，得 ， ； （2）当时， ， 解得：， 故当时，两旅行社一样优惠； （3）时， ， 解得： 故当时，乙旅行社优惠． 当时， ， 解得：， 故当时，甲旅行社优惠． 2．(1)方案一购买费用为：元；方案二购买费用为：元 (2)购买裤子100条时，两种方案付款一样多 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，正确地列代数式，并根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据两种优惠方案分别列式并化简即可； （2）当时，即两种方案付款一样多，求解即可． 【详解】（1）解：方案一购买费用为： 元； 方案一购买费用为： 元； （2）解：令， 解得：， 答：购买裤子件时，两种方案付款一样多． 3．方案一，理由如下： 设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为， 由题意得：， 解得：（吨）， 则达到一级质量标准苹果的质量为（吨）， 那么方案一：总收入：（万元）， 方案二：总收入：（万元）， ∵， ∴方案一收入更高，即按分等级出售方案比较合算． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． 先设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为，由题意得：，求出一、二级质量标准的苹果质量，再分别求出两个方案的收入，比较即可． 【详解】略． 4．(1)篮球的单价为90元，排球的单价为60元 (2)当购买的排球数为50的时候，费用一样 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，排球的单价为元，根据4只篮球与6只排球的费用一样，可列出关于的一元一次方程，即可求解； （2）利用总价单价数量，结合在两家商场购买所需的费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为元， 由题意得： 解之得：， 答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元． （2）由题意得：， 解得： 答：当购买的排球数为50的时候，费用一样． 5．(1)按方式一购票时所需费用为元 (2)按方式二购票时所需费用为元 (3)老师有30人时，两种购票的费用相同 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值及列方程解应用题，依据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）利用已知条件列出代数式即可； （2）利用已知条件列出代数式即可； （3）根据两种购票的费用相同，通过列方程计算结果即可得出结论． 【详解】（1）解：该校师生按方式一购票时所需费用为：元； （2）该校师生按方式二购票时所需费用为：（元）； （3）两种购票的费用相同， ， 解得：， ， 则老师有30人时，两种购票的费用相同． 6．(1)（为正整数），x为正整数， (2)选择方案二． 理由如下： 令，则方案一中，，解得， 方案二中，，解得． ∴从派送量的角度考虑，小林应该选择方案二． 【分析】（1）根据题意求两种方案的解析式即可； （2）分别计算两种方案，再比较即可解答． 【详解】（1）解：关于的函数关系式为（为正整数）， 当时，， 当时，． 关于的函数关系式为 （2）略 7．米． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． 设甲乙两人在第一次相遇时耗时为分钟，根据时间之间的关系列出方程，解方程得到，根据相遇时间乘以两人的速度之和即可得到A、B两地之间的距离． 【详解】解：设甲乙两人在第一次相遇时耗时为分钟，由题意可得， ， 解得， A、B两地之间的距离为：（米）， 答：A、B两地相距米． 8． 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际行程问题，解题的关键是理解题意，找出最省时间方案． 根据题意选择最省时间方案，然后列方程解决行程问题即可． 【详解】解：根据题意可得，三人同时出发，令丙先步行，甲带着乙先走小时，然后放下乙让乙步行到达终点，乙需要小时到达终点，然后甲返回来接丙，带着丙一直到达终点，此时乙恰好同时到达终点，根据题意得， 甲带着乙走过的路程为：千米， 乙走着到达终点的时间为：（小时）， 甲返回与丙相遇所用时间为：（小时）， 则甲带着丙走到终点所用时间为：（小时）， 根据丙从起点到终点走过的路程列出方程为： ， 整理得 解得， ∴三人同时到达的最短时间为（小时）， 答：三人同时到达的最短时间为小时． 9．甲车的速度是千米/时 【分析】设每份速度为，用含的式子表示甲、乙两车速度，依据速度和时间已走路程建立方程，求解得到，进而算出甲车速度． 【详解】解：设甲车速度为千米/时， 甲、乙两车速度比是， 乙车速度为千米/时， 两车小时一共行驶的路程为（千米）， 则 甲车速度：（千米/时）， 答：甲车的速度是千米/时． 10．(1)16小时 (2)40公里 【分析】本题考查了方程的应用，比的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意，列出时间差的算式求解即可； （2）设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里，表示出相关线段的长度以及每人行驶的时间，然后根据时间相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（小时） ∴乙和丙要比甲提前16小时步行出发； （2）解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时； 由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 11．(1)两地间的距离是千米 (2)刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用； （1）根据题意得出李明与刘伟的速度差为(千米/时)，设刘伟每小时行，则李明每小时行，根据题意列出一元一次方程，解方程得出刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)，根据李明总用时为分钟，即可求解； （2）设行进时间为 （分钟）分三种情况讨论，①相遇前；②相遇后，李明到达地前和李明到达地后，根据刘伟与李明相距千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵出发后两人相遇且李明比刘伟多行进， ∴李明与刘伟的速度差为(千米/时)， 设刘伟每小时行，则李明每小时行， 根据题意列一元一次方程得： 解得， ∴刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)， 答：两地间的距离是千米 （2）解：设行进时间为 （分钟） 相遇前，， 依题意， 解得： 相遇后，当时，李明到达地． ∴当时， 解得：（舍去） 刘伟每小时行(千米)，两地间的距离是千米，则刘伟到达地需要分钟 当，此时李明到达地 依题意， 解得： 综上所述，刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 12．这列火车的长为400米 【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：或者，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这列火车的长为x米，由题意得： ， 解得：； 答：这列火车的长为400米． 13．篮球的进价为元，足球的进价为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设篮球的进价为x元，则足球的进价为元，根据购进5个篮球和4个足球共需元列方程求解即可． 【详解】解：设篮球的进价为x元，则足球的进价为元， 解得： （元）， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元． 14．(1)500元 (2)64件 【分析】本题主要考查了一元一次方程中打折问题，解题的关键是根据题意列出等式，假设出标价得出等式方程． （1）首先假设出每件服装的标价为元，根据如果每件服装按标价的8折出售，可盈利50元．若每件服装按标价的6折出售，则亏损50元，可以表示出进价，从而得出等式方程，进而求出； （2）可设按8折出售的服装有件，根据等量关系：共获利1600元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价为x元，依题意有 ， 解得， 答：每件服装的标价为500元； （2）解：设按8折出售的服装有y件，依题意有 ， 解得， 答：按8折出售的服装有64件. 15．(1)90本 (2)8折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）设文具店第一次购进笔记本本，则第二次购进笔记本本，根据笔记本的进价和总花费列一元一次方程即可； （2）设第二次购进的笔记本应打折出售，根据实际销售价格与数量，以及利润率列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设文具店第一次购进笔记本本，则第二次购进笔记本本， 由题意得：， 解得：， 答：文具店第一次购进笔记本本； （2）解：设第二次购进的笔记本应打折出售， 则， 解得：， 答：第二次购进的笔记本应打折出售． 16．(1)千克 (2)元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，仔细审题，找准等量关系是解题关键． （1）设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进千克，从而根据“第二次付款是第一次付款的1.5倍”列方程求解即可； （2）用销售总额减去总成本求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进千克， 解得：， ∴第一次购进350千克； （2）解：，即第二次购进450千克 元． ∴该超市销售这批苹果共获得的利润是元． 17．元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列方程；根据乙商店购买比在甲商店购买便宜10元列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 答：每根跳绳的标价为元． 18．每套课桌椅的成本为164元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系建立方程． 每套利润×套数=总利润，在本题中有两种方案，虽然单价不同，但是总利润相等，可依此列方程解应用题． 【详解】解：设每套课桌椅的成本为x元， 根据题意得：， 解得：． 答：每套课桌椅的成本为164元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $