5.3一元一次方程的应用题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，通过销售盈亏、动点、行程三大模块，以基础理解、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|销售基本量计算、数轴点表示|如第1题两次调价百分率，直接应用方程模型| |综合应用|利润最值、动点相遇追及|如第2题含政府补贴的二次函数应用，第7题动点方向改变问题| |拓展提升|多情况讨论、跨知识综合|如第10题动点往返运动距离问题，第16题环形跑道套圈多解|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、销售盈亏问题 1．菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予九折优惠．试求小华购买蔬菜所需的费用． 2．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为元/千克（且为正整数）． (1)若某日销售量为24千克，求该日产品的单价； (2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的的值． 3．某书店购进甲、乙两种图书共本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元． (1)若书店恰好用了元购进这本图书，求购进的甲、乙图书各多少本？ (2)在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打8折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利元,请问乙图书应打几折出售? 4．某商场进行元旦促销活动，出售一种优惠购物卡，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物． (1)顾客购买标价多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？ (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，他购买优惠购物卡合算吗？请通过计算说明理由． (3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利，那么这台冰箱的进价是多少元？ 5．某商场用2500元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如表所示． A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的8折出售，B型台灯按标价的9折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ 6．某超市从厂家购进甲、乙两种品牌的书包，每个甲种品牌书包的进价比每个乙种品牌书包的进价贵20元．若购进甲种品牌书包30个，乙种品牌书包50个，则需5400元． (1)求甲、乙两种品牌书包每个进价分别是多少元？ (2)该超市从厂家购进甲、乙两种品牌书包共200个，所用资金恰好为14400元．在销售时，每个乙种品牌书包售价为78元，要使得这200个书包销售利润率为，每个甲种品牌书包售价应为多少元？ 二、动点问题 7．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t（秒）． (1)数轴上的点P表示的数是 ，点Q表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)在运动过程中是否存在某一时刻使得，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P一直沿数轴负方向运动，当点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动且速度保持不变，当点Q与点P重合时，请求出t的值． 8．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数2对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上点1对应的点与数_______对应的点重合 (2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，则A对应的点是_______，B对应的点是_____． (3)在（2）的情况下，一只青蛙王子从点A出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵从B点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 9．如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10，现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点之间的距离为___； (2)当时，P、B两点之间的距离为____； (3)在运动过程中，线段中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 10．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 11．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 三、行程问题 12．某校组织七年级学生到东西文化馆开展研学活动，团委书记带领学生以4千米/时的速度步行前往．出发30分钟时，书记发现忘记带横幅，立即通知学校的罗老师骑电动车送来．罗老师接到通知后，以16千米/时的速度沿同一路线追赶学生队伍，最终他们同时到达东西文化馆．求： (1)出发多远发现忘记带横幅？ (2)学校到东西文化馆的路程是多少千米？（列方程求解） 13．甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车先行3小时后，客车出发，又经过4小时两车相遇．已知客车的速度是货车的倍，问：货车每小时行驶多少千米？（列一元一次方程解应用题） 14．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的行走性能，进行测试．已知甲、乙两机器人在同一地点，甲机器人全程在它的“全速模式”下运动，乙机器人晚出发分钟，开始在“基本模式”下运动，中途停止运动进行分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙两机器人运动的距离（单位：米）与甲机器人运动的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)直接写出的值； (2)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出乙机器人出发多长时间，两个机器人相距米． 15．为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 16．在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 17．小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站．随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)14400元 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可； （2）根据总费用=单价×折扣×数量，即可得到结果． 【详解】（1）设平均每次下调的百分率为x.由题意，得 解这个方程，得 答：平均每次下调的百分率是20%． （2）由题意，得 ∴小华购买蔬菜所需的费用为14400元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系是解题的关键． 2．(1)14 (2)，最大338元，最小240元 (3) 【分析】(1) 售价为元/千克（且为正整数）,则提价元，故销售量为千克，根据题意，列方程计算即可． (2) 根据日销售额=日售价×日销售量，计算即可． (3)由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值． 【详解】（1）解：设产品售价为元/千克（且为正整数），则提价元， 故销售量为千克， 根据题意，得， 解得， 故该日产品的单价为14元/千克． （2）解：设售价为元/千克（且为正整数），销售额为元，则提价元， 故销售量为千克， ∴， ∴， ∵，且对称轴右侧，y随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且， ∴时，w取得最大值，且最大值为338元， ∴时，w取得最小值，且最小值为240元， 故，w的最大338元，w的最小240元． （3）解：由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15， ∴时，元 ∴时，元， ∴时，元， 且， ∴， ∵a是正整数， ∴a的值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质． 3．(1)购进甲图书本，乙图书本 (2)九 【分析】（1）根据数量与总进价列出二元一次方程组求解即可； （2）根据总利润列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设购进甲、乙图书各x本、y本， ∴， 解得：， ∴购进甲图书本，乙图书本． （2）设乙图书应打a折出售， ， ∴ ∴乙图书应打九折出售． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找到相等关系，列出方程或方程组． 4．(1)顾客购买标价1500元的商品时，买卡与不买卡花钱相等 (2) 合算，理由如下： （元）， ∵， ∴他购买优惠购物卡合算． (3)这台冰箱的进价是2480元 【分析】（ 1）设顾客购买标价x元的商品时，买卡与不买卡花钱相等，根据标价＝标价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2 ）求出购买优惠购物卡购买价值3500元冰箱所花费的费用，将其与原价比较后即可得出结论； （ 3）设这台冰箱的进价是y元，根据售价﹣进价＝利润，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设顾客购买标价x元的商品时，买卡与不买卡花钱相等， 根据题意得：， 解得：． 答：顾客购买标价1500元的商品时，买卡与不买卡花钱相等． （2）略 （3）设这台冰箱的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：这台冰箱的进价是2480元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出方程求解． 5．(1)A种台灯购进30盏，B种台灯购进20盏； (2)商场共获利740元． 【分析】（1）设A种台灯购进x盏，B种台灯购进盏，根据总金额2500元，列方程即可求解； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种台灯购进x盏，B种台灯购进盏， 依题意可得：， 解得：， ． 答：A种台灯购进30盏，B种台灯购进20盏； （2）解：（元）． 答：商场共获利740元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． 6．(1)甲、乙两种品牌书包每个进价分别是80元、60元 (2)每个甲种品牌书包售价为116元 【分析】（1）设乙种品牌书包每个进价是x元，则甲种品牌书包每个进价是元，根据购进甲种品牌书包30个，乙种品牌书包50个，则需5400元列方程求解即可； （2）设超市从厂家购进甲种品牌书包m个，则购进乙种品牌书包个，根据200个书包销售利润率为列方程求解即可． 【详解】（1）设乙种品牌书包每个进价是x元，则甲种品牌书包每个进价是元， 由题意得 甲：元． 答：甲、乙两种品牌书包每个进价分别是80元、60元． （2）设超市从厂家购进甲种品牌书包m个，则购进乙种品牌书包个． 由题意得 解得 则乙：个． 设每个甲种品牌书包售价为y元． 解得 答：每个甲种品牌书包售价为116元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 7．(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据点的运动速度及方向可找出秒时点表示的数； （2）由点表示的数找出的值，结合得出关于的一元一次方程，求解即可； （3）先求出点Q运动到点B时，此时点P表示的数，则此时，设点Q运动秒时追上点P，列出关于的 一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴点表示，点表示； （2） 由题意，，， ∵， ∴当时，， 解得， 当时， 解得， 则或； （3）点Q运动到点B时，， 此时点P表示的数为， 则此时， 设点Q运动秒时追上点P， 则， 解得， 即点Q运动24秒时追上点P． 8．(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用折叠点为两点的中点的性质即可得解； （2）由（1）知：折合点表示的数，利用此点到两点的距离相等即可得解； （3）设它们x秒后相遇，列方程得出相遇时间，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数2对应的点重合， ∴ ∴折叠点对应的数为， 设数轴上与1重合的数为， 由题意得，， 解得 ∴数轴上点1对应的点与数对应的点重合； （2）解：由（1）知：折叠点表示的数， ∵数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的左侧），并且A，B两点经折叠后重合， ∴折叠点表示的数分别到A，B两点的距离为100， ∴，， ∵点A在点B的左侧， ∴A表示；B表示98； （3）解：设它们x秒后相遇， 由题意得， 解得 ∴， ∴C点所表示的数为38． 9．(1)12 (2)8 (3)有，或 4或或 6或 3 【分析】（1）先根据数轴上点对应的数据计算减法可得两点之间的距离； （2）当时可得P对应的数，然后得出两点之间的距离； （3）先根据题意可得，利用线段相等和线段的和差关系分三种情况可得 t 的值，从而可得结果． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点B对应的数是10， ∴A、B 两点之间的距离为 ， （2）解：当时，点P 表示的数为， ∵点 B 表示的数为10， ∴P、B 两点之间的距离为； （3）解：在运动过程中，线段中存在两条线段相等． 由题意，， 分三种情况： ①当时， 如图，若B为的中点，则，即 ， 解得； 如图，若 P，Q 重合，则，即 ， 解得； ②当时， 如图，若P为的中点，则，即， 解得； 如图，若B，Q重合，则（不合题意）； ③当时， 如图，若Q为的中点，则，即， 解得； 如图，若B，P重合，则，即， 解得； 综上所述，或 4或或 6或 3. 10．(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】（1）先得到点B表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点P与点Q间的距离为6个单位长度，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 11．(1)，； (2)存在，； (3)或 【分析】（1）利用路程速度时间，求出，，即可得解； （2）设运动时间为，则，，进而表示出，，列方程求解即可； （3）设运动时间为，则，，结合，求出，，再判断出点在点的右侧，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在的延长线上时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． 12．(1)学生队伍出发2千米发现忘记带横幅 (2)学校到东西文化馆的路程是千米 【分析】（1）用速度乘以时间进行计算即可； （2）设学校到东西文化馆的路程是x千米，根据最终他们同时到达东西文化馆，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：（千米）， 答：学生队伍出发2千米发现忘记带横幅； （2）解：设学校到东西文化馆的路程是x千米，依题意得 ， 解得，； 答：学校到东西文化馆的路程是千米. 13．货车每小时行驶80千米． 【分析】设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米．甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米． 则 解得 答：货车每小时行驶80千米 14．(1)； (2)乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为，乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为； (3)乙机器人出发分钟或分钟或分钟，两个机器人相距米． 【分析】（1）由图可得甲机器人的速度为米/分钟，根据题意即可得的值； （2）分别设乙机器人在“基本模式”下和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，用待定系数法即可求解； （3）设乙机器人出发分钟，两个机器人相距米，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，甲机器人的速度为（米/分钟） ∴． （2）解：设乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∴乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 设乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∴乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为． （3）解：设乙机器人出发分钟，两个机器人相距米， （分钟），（分钟），（分钟）， 根据题意可得： 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴乙机器人出发分钟或分钟或分钟，两个机器人相距米． 15．骑行公共自行车的路程为 【分析】设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为，根据全程共用时列出方程，解方程即可． 【详解】解：设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为． ， 由题意得：， 解得：， 答：骑行公共自行车的路程为． 16．(1)乙的速度为4米/秒． (2)出发时两人相距80米 【分析】（1）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据甲追上乙时，甲比乙多走400米建立方程求解即可； （2）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据从第一次相遇开始到第二次相遇甲比乙多走400米建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 答：乙的速度为4米/秒； （2）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 所以 所以甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒， （米） 答：出发时两人相距80米． 17．90千米 【分析】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用分钟，即小时．根据时间＝路程÷速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间，根据乘公共汽车的时间－乘出租车的时间=多用的时间列方程解决． 【详解】解：设小张家到火车站的路程是千米． （千米） （千米/时） 剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用分钟，即小时， 答：小张家到火车站有90千米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $