3.2.3三边成比例的判定方法-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三边成比例的相似三角形判定”核心知识，通过“问题驱动—画图操作—角度比较—结论验证”的导入流程，衔接AA、SAS判定方法，构建完整的相似三角形判定体系，为学生提供清晰的学习支架。 其亮点在于以数学探究为主线，通过动手画图培养几何直观（数学眼光），多组k值验证强化推理能力（数学思维），规范解题步骤与几何语言表达（数学语言）。如探究环节引导学生自主验证定理，易错点汇总帮助规避对应边错误，助力学生养成严谨思维，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.2.3三边成比例的判定方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 3.2.3 三边成比例的判定方法 专项练习 本节课是相似三角形第三种核心判定定理（SSS型相似），承接两角相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）判定，完善三角形相似的三大判定体系。本节无需角度条件，仅通过三边边长比例关系即可判定相似，多用于边长已知、角度难求的几何题型，是中考几何计算与证明的基础必考内容。 一、核心知识梳理 1. SSS相似判定定理（本节课重点） 定理内容：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。简记：三边成比例，两三角形相似。 公式表述：在△ABC和△A'B'C'中，若$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}=k$$，则△ABC∽△A'B'C'。其中$$k$$为两个三角形的相似比。 2. 核心解题步骤（三边判定专用） 1. 排序：将两个三角形的边长分别从小到大依次排列； 2. 求比：对应短边、中边、长边分别作比，计算三组边长比值； 3. 判定：若三组比值全部相等，即可判定两三角形相似；若比值不等，则不相似。 3. 三种相似判定方法完整对比 ① AA判定：两组对应角相等，无需算边长，适合角度条件充足题型，使用率最高； ② SAS判定：两组边成比例+夹角相等，边角结合，适合边角条件搭配题型； ③ SSS判定：三组边全部成比例，无需角度，适合仅已知边长、无角度条件的题型。 4. 特殊结论 所有等边三角形一定相似；边长成倍数关系的两个等腰三角形一定相似；全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。 5. 高频易错点汇总 1. 边长未排序直接求比，找错对应边，导致判定错误； 2. 仅两组边成比例就判定相似，缺少一组比例条件，判定依据不足； 3. 计算比例时对应边混乱，相似三角形顶点书写顺序错误； 4. 混淆相似SSS与全等SSS，忽略相似只要求比例相等、无需边长相等。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 三边成比例判定三角形相似的定理简称为（） A. AA B. SAS C. SSS D. HL 2. 能判定两个三角形SSS相似的条件是（） A. 两组边成比例 B. 三组对应边成比例 C. 三组边相等 D. 一组边成比例 3. △ABC三边长为2、3、4，△DEF三边长为4、6、8，则两个三角形（） A. 不相似 B. 三边成比例，相似 C. 全等 D. 无法判定 4. 下列三角形中，一定互相相似的是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 5. 判定SSS相似的关键步骤是（） A. 找一组等角 B. 边长排序后求三组对应比值 C. 仅计算长边比例 D. 仅计算短边比例 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. ________的两个三角形相似（SSS相似定理）。 2. 用三边法判定相似，需先将两个三角形的边长________排列，再求对应比例。 3. 若两个三角形三边对应比值都为0.5，则两三角形相似比为________。 4. 全等三角形是相似比为________的特殊相似三角形。 5. 仅两组边成比例，________判定三角形SSS相似（填“能”或“不能”）。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）已知△ABC三边长为3、4、5，△A'B'C'三边长为6、8、10，求证：△ABC∽△A'B'C'。 2.（12分）△ABC边长为2、4、5，△DEF边长为6、12、15，通过计算比例证明两三角形相似。 3.（18分）判断边长为5、7、8和边长为10、14、16的两个三角形是否相似，并说明理由。 4.（18分）综合拓展：已知△ABC的三边AB=9，BC=12，AC=15，△A'B'C'的三边A'B'=3，B'C'=4，A'C'=5，求证两三角形相似，并求出相似比。 三、参考答案与解析 选择题：1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 解析：1.三边成比例相似判定为SSS型；2.SSS相似核心条件为三组对应边全部成比例；3.排序后比值均为1:2，满足三边成比例，两三角形相似；4.所有等边三角形三边比例固定，一定相似；5.边长排序是SSS相似判定的核心关键步骤，避免对应边出错。 填空题：1. 三边对应成比例 2. 从小到大 3. 1:2 4. 1 5. 不能 解答题 1. 证明：将边长从小到大排序，△ABC：3、4、5，△A'B'C'：6、8、10。$$\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$，三组对应边成比例，∴△ABC∽△A'B'C'（SSS相似）。 2. 证明：排序得△ABC：2、4、5，△DEF：6、12、15。$$\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$$，三边对应成比例，∴△ABC∽△DEF（SSS相似）。 3. 解：两三角形相似。理由：排序边长分别为5、7、8和10、14、16。$$\dfrac{5}{10}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$$，三组对应边比值相等，满足SSS相似判定，故两三角形相似。 4. 证明：排序得△ABC：9、12、15，△A'B'C'：3、4、5。$$\dfrac{9}{3}=\dfrac{12}{4}=\dfrac{15}{5}=3$$，三边对应成比例，∴△ABC∽△A'B'C'（SSS相似）。相似比为3:1。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗? 画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。 设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗? ∠A=∠A′，△ABC∽△A′B′C′ 。 理由：∵∠A=∠A′， =k， ∴△ABC∽△A′B′C′。 C B A C′ B′ A′ 探究新知 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗? 画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。 设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗? 改变k值，结论还成立吗？ 改变k值的大小，上述结论仍然成立。 探究新知 定理 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， = ， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 探究新知 如图，在△ABC和△ADE中， = ，∠BAD=20°， 求∠CAE的度数。 解：∵ = ， ∴△ABC∽△ADE( 三边成比例的两个三角形相似)。 ∴ ∠BAC=∠DAE， ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE。 ∵ ∠BAD=20°， ∴ ∠CAE=20°。 例1 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 A B C D E 探究新知 知识点 三边成比例的判定方法 1.如图，在和 中， ____ _____, 。 返回 举一反三 6 2.若的三边长分别是3，5，6，则与相似的 的边长 可能是( ) D A.，， B.，， C.，， D.，， 返回 举一反三 7 3.[杭州模拟] 在中，，，在 中， ，。若________，则 。横 线上应填( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 8 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC与△A′B′C′ 相似吗?你有哪些判断方法? △ABC∽△A′B′C′。 方法一 ∵ ∠A=∠A=45°，= =， ∴△ABC∽△A′B′C′。 方法二 ∵ = =， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 A′ C′ A B′ C B 探究新知 判定两个三角形相似的基本思路： 知识点2 判定两个三角形相似的基本思路 证明两个 三角形相似 已有一组角相等，可证 已有两组边成比例，可证 这两边的夹角相等； 第三组边的比值与前两组边的比值相等 另一组角相等； 夹等角的两边成比例 探究新知 特殊三角形相似的汇总： (1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似； (2)直角边和斜边或两条直角边成比例的两个直角三角形相似； (3)有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形相似； (4)所有的等边三角形相似； (5)所有的等腰直角三角形都相似。 知识点2 判定两个三角形相似的基本思路 探究新知 4.如图，网格中每个小正方形的边长为1，和 相似吗？ 解：，， ， ，， ， ， 。 返回 举一反三 12 如图，点D 是△ABC(三边不相等)的边AC上的一点，过点D画线段 DE，使点E在△ABC的边上，且点D，E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似，则这样的画法有( ) A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 解析：如图，①作∠ADE₁=∠B；②作DE₂∥BC； ③作∠CDE₃=∠B；④作DE₄∥AB。 ①③画法的依据为“两角分别相等的两个三角形相似”； ②④画法的依据为“两角分别相等或两边成比例且夹角 相等的两个三角形相似”。因此共有4种画法。 例2 C 知识点2 判定两个三角形相似的基本思路 探究新知 5. 在如图所示的象棋盘 （各个小正方形的边长均相等）中，根据 “马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位 置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在 位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在 ( ) B A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 返回 举一反三 14 6.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分 别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为 _ _______________________。 ，3或，或， 返回 举一反三 15 7. 如图，点在边长为 的正方形 的边上，。用直尺与圆规在 边上 画了一点，根据图中点 的位置，证明 。 举一反三 16 解：易知,, 。 ， ， ， ， ， ， 。 返回 举一反三 17 探索三角形相似的条件 判定定理 三边成比例的两个三角形相似 基本思路 已有一组角相等 已有两组边成比例 可证另一组角相等； 可证夹等角的两边成比例 可证这两边的夹角相等； 可证第三组边的比值与前两组边的比值相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $