3.2.3利用三边判定三角形相似（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用三边判定三角形相似”核心知识点，通过类比全等三角形SSS判定提出问题导入，承接AA、SAS相似判定，构建完整的三角形相似判定体系，为学生提供递进式学习支架。 其亮点在于首创“排序-求比-判定”万能三步法，结合高频易错点分析与网格三角形等实例，培养学生数学思维中的推理能力和运算能力，强化数学语言的模型意识。同步分层练习与判定方法适用场景总结，助力学生掌握解题技巧，教师可高效开展教学。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.2.3利用三边判定三角形相似 第三章 图形的相似 3.2.3 利用三边判定三角形相似 同步讲义与习题 本节课是三角形相似第三种核心判定方法（SSS相似），承接AA两角相似、SAS两边夹角相似，完善三角形相似三大判定体系。本节课无需找角度，仅通过三边比例关系即可判定相似，适用于题干只给边长、无角度条件的题型，是中考填空、选择、几何证明的必考考点。 一、核心知识点精讲 1. 三边对应成比例相似判定定理（SSS） 定理内容：如果两个三角形的三条对应边成比例，那么这两个三角形相似。 简称：三边成比例的两个三角形相似（SSS） 核心特点：全程不涉及角度，只计算边长比值，三边比值全部相等即可判定相似。 几何语言（考试标准书写）： 在 $$\triangle ABC$$ 和 $$\triangle A'B'C'$$ 中 $$\because \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$ $$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$（三边成比例的两个三角形相似） 2. 定理核心解读 - 判定条件：三组对应边比值全部相等，缺一不可； - 与全等SSS区别：全等是三边对应相等，相似是三边对应成比例； - 适用场景：题干只给出三角形三边长、网格三角形、无任何角度条件的几何题型。 3. SSS相似专属解题步骤（万能三步法） 1. 排序：将两个三角形的边长分别从小到大排序； 2. 求比：短边比短边、中边比中边、长边比长边； 3. 判定：三组比值相等则相似，不相等则不相似。 关键技巧：先排序再求比，彻底避免对应边找错、比例混乱的问题。 4. 高频易错禁区（扣分重点） - 不排序直接求比，导致对应边匹配错误，判定结果出错； - 只计算两组边成比例，误以为可以判定SSS相似； - 比值未化简，误判比值不等； - 相似三角形顶点书写不对应，顺序混乱扣分。 5. 三大相似判定方法选用总结 - 有角度条件（两组等角） → 优先AA判定（最简单、最高频）； - 有边有角（夹角相等+两边成比例） → 选用SAS判定； - 只有边长、无任何角度 → 只能用SSS判定。 二、经典例题精讲（满分标准步骤） 例1 基础SSS相似证明 已知：$$\triangle ABC$$ 三边长为$$3、4、5$$，$$\triangle DEF$$ 三边长为 $$6、8、10$$，求证：$$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$$。 证明： 将两个三角形边长从小到大排序： $$\triangle ABC：3、4、5$$，$$\triangle DEF：6、8、10$$ $$\because \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2},\ \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2},\ \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$ $$\therefore \dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{5}{10}$$ $$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle DEF$$（三边成比例的两个三角形相似） 例2 网格三角形SSS相似判定 网格中两个三角形边长分别为 $$\sqrt{2}、2\sqrt{2}、\sqrt{10}$$ 和 $$1、2、\sqrt{5}$$，判断是否相似。 解：排序后求比： $$\dfrac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2},\ \dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$$ 三边比值相等，$$\therefore$$ 两三角形相似。 例3 易错辨析题 判断：两个三角形两组边成比例，一定是SSS相似。（×） 解析：SSS相似必须三组对应边全部成比例，仅有两组边比例相等，无法判定相似。 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. SSS判定三角形相似的核心条件是（ ） A. 两组边成比例 B. 三组对应边成比例 C. 一组边相等 D. 三边相等 2. 已知三角形三边为2、3、4，另一三角形三边为4、6、8，则两个三角形（ ） A. 相似 B. 不相似 C. 全等 D. 无法判断 3. 判定SSS相似的首要步骤是（ ） A. 找角度 B. 边长排序 C. 直接求比 D. 找公共边 4. 下列说法正确的是（ ） A. SSS相似需要角度相等 B. 三边成比例必相似 C. 两组边成比例必相似 D. SSA可判定相似 5. 两个三角形三边比值均为1，则两三角形（ ） A. 相似不全等 B. 全等且相似 C. 只相似不全等 D. 不相似 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. ________的两个三角形相似（SSS相似定理）。 2. 用SSS判定相似，必须先将边长________，再对应求比。 3. 相似SSS与全等SSS的区别：全等三边相等，相似三边________。 4. 无角度条件的三角形相似判定，优先选用________判定。 5. SSS相似必须满足________组对应边比值相等。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）$$\triangle ABC$$ 三边为 $$4、6、8$$，$$\triangle A'B'C'$$ 三边为 $$2、3、4$$，求证：$$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$。 2.（16分）已知两个三角形三边长分别为 $$5、10、15$$ 和 $$3、6、9$$，判断是否相似并说明理由。 3.（18分）总结三角形相似三种判定方法（AA、SAS、SSS）的适用场景。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.B 解析：SSS相似判定依据为三组对应边成比例。 2.A 解析：排序后比值均为 $$\dfrac{1}{2}$$，三边成比例，两三角形相似。 3.B 解析：先排序再求比，避免对应边匹配错误。 4.B 解析：SSS相似无需角度，仅需三边成比例即可判定。 5.B 解析：比值为1，三边相等，三角形全等，全等是特殊的相似。 （二）填空题 1. 三边成比例 2. 从小到大排序 3. 成比例 4. SSS 5. 三 （三）解答题 1. 证明： 排序：$$\triangle ABC：4、6、8$$，$$\triangle A'B'C'：2、3、4$$ $$\because \dfrac{4}{2}=2,\ \dfrac{6}{3}=2,\ \dfrac{8}{4}=2$$ 三边比值相等，$$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$（SSS） 2. 解：相似。 排序：$$3、6、9$$ 和 $$5、10、15$$ $$\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$$ 三边对应成比例，故两三角形相似。 3. 解： ① AA两角相等：题干有两组等角（公共角、对顶角、平行等角），无需计算边长，最简便； ② SAS两边成比例且夹角相等：有边长比例+固定夹角，边角结合判定； ③ SSS三边成比例：题干只有边长、无任何角度条件，唯一判定方法。 五、课时小结 1. SSS相似核心：三边对应成比例，无角度要求，三组比值必须全部相等； 2. 解题万能套路：先排序、后求比、再判定，杜绝对应边错误； 3. 熟练区分三种相似判定方法，根据题干边角条件灵活选用，优先最简方法。 1.理解“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的内容及其几何表示。 2.掌握判定方法，会运用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似。 学习目标 2 我们知道两三角形的三边对应相等能判定两个三角形全等，那么两个三角形的三边对应成比例能否判定两个三角形相似呢？ 3 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗? 画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。 设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗? ∠A=∠A′，△ABC∽△A′B′C′ 。 理由：∵∠A=∠A′， =k， ∴△ABC∽△A′B′C′。 C B A C′ B′ A′ 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗? 画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。 设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗? 改变k值，结论还成立吗？ 改变k值的大小，上述结论仍然成立。 定理 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， = ， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 如图，在△ABC和△ADE中， = ，∠BAD=20°， 求∠CAE的度数。 解：∵ = ， ∴△ABC∽△ADE( 三边成比例的两个三角形相似)。 ∴ ∠BAC=∠DAE， ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE。 ∵ ∠BAD=20°， ∴ ∠CAE=20°。 例1 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 A B C D E 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC与△A′B′C′ 相似吗?你有哪些判断方法? △ABC∽△A′B′C′。 方法一 ∵ ∠A=∠A=45°，= =， ∴△ABC∽△A′B′C′。 方法二 ∵ = =， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识点1 判定两个三角形相似的方法3 A′ C′ A B′ C B 判定两个三角形相似的基本思路： 知识点2 判定两个三角形相似的基本思路 证明两个 三角形相似 已有一组角相等，可证 已有两组边成比例，可证 这两边的夹角相等； 第三组边的比值与前两组边的比值相等 另一组角相等； 夹等角的两边成比例 特殊三角形相似的汇总： (1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似； (2)直角边和斜边或两条直角边成比例的两个直角三角形相似； (3)有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形相似； (4)所有的等边三角形相似； (5)所有的等腰直角三角形都相似。 知识点2 判定两个三角形相似的基本思路 如图，点D 是△ABC(三边不相等)的边AC上的一点，过点D画线段 DE，使点E在△ABC的边上，且点D，E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似，则这样的画法有( ) A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 解析：如图，①作∠ADE₁=∠B；②作DE₂∥BC； ③作∠CDE₃=∠B；④作DE₄∥AB。 ①③画法的依据为“两角分别相等的两个三角形相似”； ②④画法的依据为“两角分别相等或两边成比例且夹角 相等的两个三角形相似”。因此共有4种画法。 例2 C 知识点2 判定两个三角形相似的基本思路 1.如图，每组中的两个三角形是否相似?为什么? . . 解：(1)不相似。 ∵ ， ∴这两个三角形不相似。 7 10 5 5 6 2.5 6 4 7 3 2 3.5 A A B B C C D D E E F F (2) (1) (2)相似。 ∵ ==，==，== ， ∴ = = ， ∴这两个三角形相似。 2.下列两个三角形不一定相似的是（ ） A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形 C．两个全等三角形 D．两个直角三角形 D 知识点1 用三边关系判定两三角形相似 1. 若把的各边分别缩小为原来的，得到 ， 下面结论正确的是( ) D A. 与 不一定相似 B. 与的相似比为 C. 与 各对应角不等 D. 与的相似比为 返回 考试考法 14 2. 若各边长分别为 ， ，，的两边长为 ， ，则当___时，与 相似. 3 3. 如图，已知在 与 中，， ， ，则 的大小为____. 返回 考试考法 15 4.如图，在 中， ,点在 上. （1）已知, , ,求 的长； 【解】, , . ，即 . 在中， . 考试考法 16 （2）取,的中点,,连接, , ,求证： . 【证明】，分别是 ， 斜边上的中点， ,， . . . 返回 考试考法 17 知识点2 网格中相似三角形的判定 5. 如图，下列四个三角形，与图中的三角形相似的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 18 6. 在如图所示的象棋 盘（各个小正方形的边长均相等） 中，根据“马走日”的规则，使“马” “车”“炮”所在位置的格点构成的三 B A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马” 应落在 ( ) 考试考法 19 探索三角形相似的条件 判定定理 三边成比例的两个三角形相似 基本思路 已有一组角相等 已有两组边成比例 可证另一组角相等； 可证夹等角的两边成比例 可证这两边的夹角相等； 可证第三组边的比值与前两组边的比值相等 课堂小结 $