第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形单元，整合多地期末、模拟真题，通过选择、填空、解答题（10/8/8题，40/32/78分）覆盖矩形、菱形、正方形性质与判定，融入旋转、折叠等几何变换，考查几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|矩形旋转（题1）、菱形动点（题3）、正方形性质（题8）|结合多地真题，基础判断与空间观念结合| |填空题|8/32|菱形性质（题11）、正方形动态轨迹（题13）、创新定义（题17“2倍角三角形”）|设置动态问题，渗透数学抽象与创新意识| |解答题|8/78|正方形探究（题19）、菱形“菱接矩形”应用（题22）、动态几何与函数（题25）|分层设计探究任务，关联实际情境（如社区景观改造），发展推理能力与应用意识|

第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为( )°． A．75 B．60 C．65 D．70 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F．在图1，图2，图3中按照如下方法作图得到点M、N，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（     ）          以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作中边上的中线     分别作中的平分线 A．都是矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2和图3为平行四边形 D．图1为平行四边形，图2和图3为矩形 3.（25-226成都市玉林中学九上月考  ）如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·三模）如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（     ） A．5 B．10 C． D． 5．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为( )． A． B． C． D．    6．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，点O为正方形的对角线的交点，点E，F分别在上运动（不与端点重合）且保持，连接．在点E，F的运动过程中，若，则的最小值是（ ）． A．m B． C．m D．2m 7．（25-26九年级上·成都·专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 8．（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接，给出4种情况：①若G为上任意一点，则；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交边于M，则．其中正确有( )个 A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 12．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在不锈钢制的矩形框架中，对角线长为，现取上一点N和的中点M进行固定（即用钢材将M、N两点连接），若，则需要的钢材的长度为_______． 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知：在正方形中，边长为6个单位，连接，点M为上一个动点，连接，过点M作，交边所在的直线于点，连接，设的中点为点，当点从点向点C运动6个单位时，点Q运动的长为______个单位． 14．（2026·成都·一模）如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ． 15．（2025·陕西西安·一模）如图，在正方形中，，点E为边上一点，连接，点G在上，以为边作等边，点F落在上，M为中点，连接，则的最小值为_______． 16．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 17．（2026·河南平顶山·三模）定义：若三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”．如图，在矩形中，，将沿着过点的直线折叠，恰好使得点落在边上的点处．若为“2倍角三角形”，则的长为__________． 18．（2026·安徽合肥·三模）已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，． （1）________；（2）若为的中点，则的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·陕西安康·期末）【问题探究】 (1)如图1，在正方形中，点H在对角线上，过点H分别作于点I，作于点J，请判断与的位置关系与数量关系，并说明理由； 【问题解决】(2)如图2，四边形是一座边长为的正方形植物园，对角线为植物园内的观景通道，现计划在的延长线上取一点E，在的延长线上取一点F，连接，将扩建为新的植物园区域．同时，取的中点G，过点G铺设一条垂直于的新观景通道，交于点H．若，，求的长．（观景通道的宽度忽略不计） 20．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时．①求的度数；②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 21．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，分别过点E，F作，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点E是的中点时，连接．若，求的长； (3)如图3，当是矩形时，连接，交于点O，连接．若，，求的长． 22．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践 【概念学习】如果一个矩形的四个顶点分别在一个菱形的四条边上（不与菱形的顶点重合），那么我们称这个矩形为该菱形的菱接矩形．       【特例探究】(1)如图1，已知菱形，点、、、分别为、、、的中点，则四边形_____（是、不是）菱形的菱接矩形． 【一般探究】(2)如图2，已知菱形，点、、、分别在边、、、上，且满足，则四边形是菱形的菱接矩形吗？请说明理由． 【升华应用·实践设计】(3)某社区计划对一块菱形空地进行景观改造，设计为“中心休闲区＋四角花草区”的布局：菱形为整块空地，内部的中心休闲区为菱形的菱接矩形，剩余四个角落的三角形区域为花草种植区，共分为5个区域板块．已知：如图3，该菱形空地的边长为6米，且，点为边上一点． ①请仅用无刻度直尺在图3中作出中心休闲区，使得中心休闲区的其他三个顶点、、分别在菱形空地的边、、上． ②若要让中心休闲区（矩形）的面积最大，花草种植区的总面积最小，则此时的长度应该设计为多少米，并求出该中心休闲区的最大面积． 23．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形是正方形，E，F分别是边，上的点，连接，作于点H，延长交边于点 G． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若，，则的长为 ． 24．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：在菱形中，若直线平行于菱形的一条对角线，其中点为凸四边形边上的点（异于顶点），则称线段为菱形中关于此对角线的“中轴弦”．如图1，若，则称线段为菱形中关于的“中轴弦”． (1)若，线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，的度数为______；的长度为______． (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，连接、相交于点，连接，，求证：为菱形中关于的“中轴弦”． (3)如图3，、是菱形中关于的“中轴弦”，且位于异侧，与交于点，连接、、、、、，记凸四边形，，的面积依次为，，四边形的周长为，若，试用含与的式子表示． 25．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，且，满足．一次函数的图象与边，分别交于点，，是线段上的一个动点．(1)求点的坐标；(2)连接，当四边形的面积是三角形面积的倍时，求点的坐标；(3)在轴的上方是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C C C B D B D C 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11． 12． 13． 14． 15． 16． 35 17．或或8 18．（1） （2） 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19． 【答案】(1)解：，，理由如下： 四边形为正方形，平分，， ，，，， ，四边形为矩形，，即． （2）解：如图2，连接、，过点H作、垂线，分别交、于点I、J， 同（1）可证四边形为矩形，，四边形为正方形， ，； 点G是的中点，，是的垂直平分线，， 在和中，，，         四边形是正方形，，， ，又， ，解得，，           在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得，． 20． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴； ②，理由如下：如图，连接，， ∵矩形，∴，，∵，∴，， 过作交的延长线于，∴， ∵，∴，∴，， 设，而，∴， ∴，，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴． （2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，，记，的交点为， ∵，∴，∴为等边三角形，∴， 设，则，， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，，同理可得：， ∴，∴的周长为． 21． 【答案】(1)见解析(2)6(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形，∴，，，， ∵平分，，， ，∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，四边形是菱形，， ∵点E是的中点，． （3）解：如图3，过点O作于点N． ∵四边形是矩形，，， ，∴菱形为正方形，，，， ，是等腰直角三角形，，， ，，，， ，在中，由勾股定理得：． 22． 【详解】（1）解：四边形是菱形的菱接矩形． 理由如下：连接，如图所示： ∵菱形，∴，∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∵，∴， ∴四边形为矩形，∴四边形是菱形的菱接矩形； (2)四边形是菱形的菱接矩形，理由如下：连接，如图所示： ∵菱形，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形为矩形，∴四边形是菱形的菱接矩形； (3)①如图所示即为所求；②时，中心休闲区的最大面积为 ②∵中心休闲区为菱形的菱接矩形， ∴由（1）（2）得，， ∵菱形，∴，，∴， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，，∴，设， ∴，，∴， ∴，∴， ∴矩形的面积为：， ∵，∴， ∴当时，矩形的面积取得最大值为，即时，中心休闲区的最大面积为． 23． 【答案】(1)，理由如下：∵四边形是正方形，∴， ∵于点H，∴，∴， ∵，∴； (2)，理由如下： 如图2，作于点I，交的延长线于点L，则， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：如图3，作于点K，连接，则， ∴，∵，，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴，， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，由（2）得，∴，∴． 24． 【详解】（1）解：如图1，连接交于P， ∵在菱形中，交于P，， ∴，，，， 在中，，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴，即； ∵线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点， ∴是的中位线，∴； (2)证明：在菱形中，，∴， ，，．，， 又∵，，，， ∴，即，∴， 又∵，∴，， ，即为菱形中关于的“中轴弦”； （3）解：由题可知，，，∴四边形是梯形， 如图3，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，记与交于点，与交于点，则两条平行线与之间的距离， ∵在菱形中，∴，∴，， ∴，，， ∵在梯形中，，， ，整理，得，或， ∵在菱形中，∴， ∴当时，，即， 又∵，∴，∴，， 同理可证，， ∴，∴，即， 又∵，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴，∴均为等腰三角形，∴， 又∵，∴，∴，∴， ，，∴，∴， ∵，，∴，四边形为平行四边形，∴， 设，，在中，， 同理可知，在中，， ∵，，即， ∴， ，． 25． 【答案】(1)点的坐标为(2)点的坐标是(3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，∴，∴点的坐标为； （2）解：在中，令，解得，则的坐标是， ∵四边形是矩形，∴轴，∵点的坐标为，∴点的横坐标是, 把代入得，∴的坐标是， 则， ∵四边形的面积是三角形的面积的4倍，， 设的横坐标是，则，解得：， 把代入得．则的坐标是； （3）解：当四边形是菱形时，如图（1），∵的坐标是，则的纵坐标是， 把代入，得，解得：， 则的坐标是，则的坐标是； 当四边形是菱形时，如图（2），则， 设的横坐标是，则纵坐标是 ，则，解得：或 0 （舍去 ）． 则的坐标是．则的中点是．则的坐标是． 当是菱形时，则，设的横坐标是（），则纵坐标是 ， 则，解得：或（舍去 ）． 则的坐标是．则的中点是． 则（舍去），故的坐标是或． 26． 【答案】（1）45；（2）①证明见解析；② 4；（3）；（4），理由见解析 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，，， ，是等腰直角三角形，，故答案为：45； （2）①证明：∵，， ∵矩形中，，，平分； ②过点B作于点E， ，，，， ，，，， 又，，， ，，， ，，又，， ， ，故答案为：4； （3）过点F作交于点H，四边形是正方形， ，，，由旋转得，， ，， 在和中，， ，，，， ，，，， ，是等腰直角三角形，，故答案为：； （4），理由如下：过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形，，， ，由旋转得，， ，， ，，，， ，，，，， ，，是直角三角形， ，，，，，． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为( )°． A．75 B．60 C．65 D．70 【答案】A 【详解】解：设，∵，∴， 在矩形中，，，，由旋转的性质得，， 在中，，∴，∵，∴， 又，∴为等腰三角形，∴ ， ∵，∴． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F．在图1，图2，图3中按照如下方法作图得到点M、N，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（     ）          以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作中边上的中线     分别作中的平分线 A．都是矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2和图3为平行四边形 D．图1为平行四边形，图2和图3为矩形 【答案】C 【详解】解：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于，，， 在和中，，，， 以点为圆心，以为半径作弧，交于点，，即， 四边形为矩形，即图1为矩形；连接、，如图所示： 在中，对角线与交于，，，， 在和中，，，， 为的中线，，四边形为平行四边形， 即图2为平行四边形；连接、，如图所示：同理得：，， 为的角平分线，∴ ，，∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形． 3.（25-226成都市玉林中学九上月考  ）如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故选：C． 4．（2026·河南周口·三模）如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（     ） A．5 B．10 C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形为矩形，，，，． ．将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合， ，．． ，．．．如图，作于H， 则．∴四边形为矩形．，． ．． ． 5．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为( )． A． B． C． D．    【答案】C 【详解】解：如图，取为的中点，    ∵菱形的边长为，∴， ∵为的中点，为的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，， ，， 在和中，，，， 在中，由勾股定理定理得：，故答案为：C． 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，点O为正方形的对角线的交点，点E，F分别在上运动（不与端点重合）且保持，连接．在点E，F的运动过程中，若，则的最小值是（ ）． A．m B． C．m D．2m 【答案】B 【详解】解：∵正方形∴， ∵∴∴∴ ∴∴∴∴当最小时，最小， ∵当时，最小，如图 ∵正方形中，∴ ∵∴∴∴的最小值是．故选B 7．（25-26九年级上·成都·专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形，，， 菱形的面积为20，边长为5，，在中，根据勾股定理得：， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，，，，， 在和中，，，， 连接，，，，，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上，．故选：D． 8．（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ，∴，， 在正方形中，，，即， 同理可得，，，即， ，∴，， ，，， ，， ∴，故选：B． 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：，，，，，， 根据函数图象，得当时，过点D作于点M，根据题意，得， 当时，此时， 根据勾股定理，得，，根据勾股定理，得， 平行四边形，，故①②都正确； 当时，，，，∴，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，，∴四边形为正方形， 过点D作于点M，交于点N，则，四边形是矩形， 设，点D到的距离为， ∴，解得，故当时，四边形为正方形，故③正确； 当时，点E是的中点，设与的交点为N， 设，点D到的距离为，∴，解得， ∴，∴四边形的面积为；故④正确； 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接，给出4种情况：①若G为上任意一点，则；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交边于M，则．其中正确有( )个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形，、、， 在和中，，，， 、，，，四边形是矩形， ，，故①正确； 四边形是正方形，， G为的中点，，、，， 在和中，，，， 由①知，四边形是矩形，四边形是正方形；故②正确； 四边形是正方形，、，， ，，，，故③错误； 四边形是正方形，、，， ，， 在和中，，，， ，在中，由勾股定理得：， ，故④正确；综上所述，正确的有①②④．故选C. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，， ∵，∴四边形为平行四边形，， ∴，∴；故答案为：． 12．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在不锈钢制的矩形框架中，对角线长为，现取上一点N和的中点M进行固定（即用钢材将M、N两点连接），若，则需要的钢材的长度为_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形，∴，，， ∵，∴，即点N是的中点， ∵点M是的中点，∴是的中位线，∴． 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知：在正方形中，边长为6个单位，连接，点M为上一个动点，连接，过点M作，交边所在的直线于点，连接，设的中点为点，当点从点向点C运动6个单位时，点Q运动的长为______个单位． 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于，∵在正方形中，边长为6个单位， ∴，，，，，∴，， 过作于，交于，∴，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形，， ∴，，∴，同理：，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，连接， ∵为的中点，，∴是的中位线，即的运动轨迹；∴. 14．（2026·成都·一模）如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ． 【答案】 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是边长为2的菱形，，∴， ∴，∴，，，为等边三角形， ∴，∴，∴， ∵将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上， ∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∴四边形的面积等于； 故答案为：． 15．（2025·陕西西安·一模）如图，在正方形中，，点E为边上一点，连接，点G在上，以为边作等边，点F落在上，M为中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：∵正方形，∴，， 如图，以为边构造等边三角形，连接，，过作于， ∵和是等边三角形，∴，，， ∴，∴，∴， ∵M为中点，∴，∵，，∴， ∴， ∴当点E在上运动时，点M在上运动，当时，最小， ∵，∴最小值，故答案为：． 16．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 【答案】35 【详解】解：如图所示，设小矩形的宽为， ∵小矩形的长与宽之比为，∴小矩形的长为， 由题意可知，三个矩形全等， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵图中阴影部分的周长为22，∴，解得，， ∴，，，， 在矩形中，，， ∴，，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴， 在中，，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴菱形的面积，故答案为：35． 17．（2026·河南平顶山·三模）定义：若三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”．如图，在矩形中，，将沿着过点的直线折叠，恰好使得点落在边上的点处．若为“2倍角三角形”，则的长为__________． 【答案】或或8 【详解】解：四边形是矩形，，， 由折叠的性质，可得，． ①当时，，此时为“2倍角三角形”， 如图1，则． ②当时，如图2，则，． ③当时，如图3，则，． 综上可知，的长为或或8． 18．（2026·安徽合肥·三模）已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，． （1）________；（2）若为的中点，则的面积为________． 【答案】 【详解】解：（1）四边形是正方形， 将沿对折至 ，，，， 在和中 （2）为的中点 设，由（1）知， 在中，由勾股定理得即 整理得解得 ，， 与同高，底边分别为和 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·陕西安康·期末）【问题探究】 (1)如图1，在正方形中，点H在对角线上，过点H分别作于点I，作于点J，请判断与的位置关系与数量关系，并说明理由； 【问题解决】(2)如图2，四边形是一座边长为的正方形植物园，对角线为植物园内的观景通道，现计划在的延长线上取一点E，在的延长线上取一点F，连接，将扩建为新的植物园区域．同时，取的中点G，过点G铺设一条垂直于的新观景通道，交于点H．若，，求的长．（观景通道的宽度忽略不计） 【答案】(1)解：，，理由如下： 四边形为正方形，平分，， ，，，， ，四边形为矩形，，即． （2）解：如图2，连接、，过点H作、垂线，分别交、于点I、J， 同（1）可证四边形为矩形，，四边形为正方形， ，； 点G是的中点，，是的垂直平分线，， 在和中，，，         四边形是正方形，，， ，又， ，解得，，           在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得，． 20．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时．①求的度数；②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴； ②，理由如下：如图，连接，， ∵矩形，∴，，∵，∴，， 过作交的延长线于，∴， ∵，∴，∴，， 设，而，∴， ∴，，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴． （2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，，记，的交点为， ∵，∴，∴为等边三角形，∴， 设，则，， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，，同理可得：， ∴，∴的周长为． 21．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，分别过点E，F作，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点E是的中点时，连接．若，求的长； (3)如图3，当是矩形时，连接，交于点O，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)6(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形，∴，，，， ∵平分，，， ，∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，四边形是菱形，， ∵点E是的中点，． （3）解：如图3，过点O作于点N． ∵四边形是矩形，，， ，∴菱形为正方形，，，， ，是等腰直角三角形，，， ，，，， ，在中，由勾股定理得：． 22．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践 【概念学习】如果一个矩形的四个顶点分别在一个菱形的四条边上（不与菱形的顶点重合），那么我们称这个矩形为该菱形的菱接矩形．       【特例探究】(1)如图1，已知菱形，点、、、分别为、、、的中点，则四边形_____（是、不是）菱形的菱接矩形． 【一般探究】(2)如图2，已知菱形，点、、、分别在边、、、上，且满足，则四边形是菱形的菱接矩形吗？请说明理由． 【升华应用·实践设计】(3)某社区计划对一块菱形空地进行景观改造，设计为“中心休闲区＋四角花草区”的布局：菱形为整块空地，内部的中心休闲区为菱形的菱接矩形，剩余四个角落的三角形区域为花草种植区，共分为5个区域板块．已知：如图3，该菱形空地的边长为6米，且，点为边上一点． ①请仅用无刻度直尺在图3中作出中心休闲区，使得中心休闲区的其他三个顶点、、分别在菱形空地的边、、上． ②若要让中心休闲区（矩形）的面积最大，花草种植区的总面积最小，则此时的长度应该设计为多少米，并求出该中心休闲区的最大面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形的菱接矩形． 理由如下：连接，如图所示： ∵菱形，∴，∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∵，∴， ∴四边形为矩形，∴四边形是菱形的菱接矩形； (2)四边形是菱形的菱接矩形，理由如下：连接，如图所示： ∵菱形，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形为矩形，∴四边形是菱形的菱接矩形； (3)①如图所示即为所求；②时，中心休闲区的最大面积为 ②∵中心休闲区为菱形的菱接矩形， ∴由（1）（2）得，， ∵菱形，∴，，∴， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，，∴，设， ∴，，∴， ∴，∴， ∴矩形的面积为：， ∵，∴， ∴当时，矩形的面积取得最大值为，即时，中心休闲区的最大面积为． 23．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形是正方形，E，F分别是边，上的点，连接，作于点H，延长交边于点 G． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若，，则的长为 ． 【答案】(1)，理由如下：∵四边形是正方形，∴， ∵于点H，∴，∴， ∵，∴； (2)，理由如下： 如图2，作于点I，交的延长线于点L，则， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：如图3，作于点K，连接，则， ∴，∵，，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴，， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，由（2）得，∴，∴． 24．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：在菱形中，若直线平行于菱形的一条对角线，其中点为凸四边形边上的点（异于顶点），则称线段为菱形中关于此对角线的“中轴弦”．如图1，若，则称线段为菱形中关于的“中轴弦”． (1)若，线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，的度数为______；的长度为______． (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，连接、相交于点，连接，，求证：为菱形中关于的“中轴弦”． (3)如图3，、是菱形中关于的“中轴弦”，且位于异侧，与交于点，连接、、、、、，记凸四边形，，的面积依次为，，四边形的周长为，若，试用含与的式子表示． 【详解】（1）解：如图1，连接交于P， ∵在菱形中，交于P，， ∴，，，， 在中，，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴，即； ∵线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点， ∴是的中位线，∴； (2)证明：在菱形中，，∴， ，，．，， 又∵，，，， ∴，即，∴， 又∵，∴，， ，即为菱形中关于的“中轴弦”； （3）解：由题可知，，，∴四边形是梯形， 如图3，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，记与交于点，与交于点，则两条平行线与之间的距离， ∵在菱形中，∴，∴，， ∴，，， ∵在梯形中，，， ，整理，得，或， ∵在菱形中，∴， ∴当时，，即， 又∵，∴，∴，， 同理可证，， ∴，∴，即， 又∵，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴，∴均为等腰三角形，∴， 又∵，∴，∴，∴， ，，∴，∴， ∵，，∴，四边形为平行四边形，∴， 设，，在中，， 同理可知，在中，， ∵，，即， ∴， ，． 25．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，且，满足．一次函数的图象与边，分别交于点，，是线段上的一个动点． (1)求点的坐标；(2)连接，当四边形的面积是三角形面积的倍时，求点的坐标； (3)在轴的上方是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为(2)点的坐标是(3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，∴，∴点的坐标为； （2）解：在中，令，解得，则的坐标是， ∵四边形是矩形，∴轴，∵点的坐标为，∴点的横坐标是, 把代入得，∴的坐标是， 则， ∵四边形的面积是三角形的面积的4倍，， 设的横坐标是，则，解得：， 把代入得．则的坐标是； （3）解：当四边形是菱形时，如图（1），∵的坐标是，则的纵坐标是， 把代入，得，解得：， 则的坐标是，则的坐标是； 当四边形是菱形时，如图（2），则， 设的横坐标是，则纵坐标是 ，则，解得：或 0 （舍去 ）． 则的坐标是．则的中点是．则的坐标是． 当是菱形时，则，设的横坐标是（），则纵坐标是 ， 则，解得：或（舍去 ）． 则的坐标是．则的中点是． 则（舍去），故的坐标是或． 26．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由． 【答案】（1）45；（2）①证明见解析；② 4；（3）；（4），理由见解析 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，，， ，是等腰直角三角形，，故答案为：45； （2）①证明：∵，， ∵矩形中，，，平分； ②过点B作于点E， ，，，， ，，，， 又，，， ，，， ，，又，， ， ，故答案为：4； （3）过点F作交于点H，四边形是正方形， ，，，由旋转得，， ，， 在和中，， ，，，， ，，，， ，是等腰直角三角形，，故答案为：； （4），理由如下：过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形，，， ，由旋转得，， ，， ，，，， ，，，，， ，，是直角三角形， ，，，，，． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $