3.2.1两角分别相等的判定方法-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形定义及两角分别相等判定方法，课堂导入从复习相似多边形定义切入，类比全等三角形探索思路，引导学生通过画图测量验证定理，构建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合几何直观呈现公共角、平行线等模型，通过合作探究培养推理意识，分层练习提升应用意识。如解答题利用平行线证相似并计算边长，帮助学生发展抽象能力和推理能力，教师可借助系统资源高效教学。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.2.1两角分别相等的判定方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 3.2.1 两角分别相等的判定方法 专项练习 本节是相似三角形判定的第一个核心定理，也是中考最常用、最简便的相似判定方法。在学习相似多边形、成比例线段的基础上，重点掌握两角分别相等的两个三角形相似（AA），能够快速判定三角形相似，为后续边长比例计算、几何证明、综合大题奠定核心基础。 一、核心知识梳理 1. 相似三角形定义（复习） 三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似三角形对应角相等、对应边成比例，书写时必须严格对应顶点顺序。 2. 两角分别相等判定定理（AA判定） 定理内容：两角分别相等的两个三角形相似。 核心解读：无需验证三边比例、无需三角相等，只要找到两组对应角分别相等，即可直接判定两个三角形相似，是所有相似判定中使用率最高、步骤最简的方法。 3. 常见相等角模型（必考） 1. 公共角模型：两个三角形共用一个角，该角天然相等，只需再找一组角相等即可证相似； 2. 对顶角模型：两直线相交形成对顶角相等，搭配一组角相等即可证相似； 3. 平行线模型：两直线平行，同位角相等、内错角相等，快速构造等角； 4. 直角三角形模型：两个直角三角形，已有一组直角相等，只需再找一组锐角相等即可相似。 4. 标准证明步骤 1. 找准两个待证相似的三角形；2. 找出两组对应相等的角（标注依据：公共角、对顶角、平行性质等）；3. 根据AA定理判定三角形相似；4. 利用相似性质推导边长比例、角度大小。 5. 高频易错点汇总 1. 找错对应角、对应顶点，导致相似书写错误；2. 只找到一组角相等，直接判定相似，条件不足；3. 忽略公共角、对顶角等隐藏等角条件；4. 证出相似后，对应边比例关系对应错误。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 判定两个三角形相似，最简常用的方法是（） A. 三边对应成比例 B. 两角分别相等 C. 两边成比例且夹角相等 D. 定义法判定 2. 两个直角三角形相似的充分条件是（） A. 一组锐角相等 B. 两组直角边成比例 C. 斜边相等 D. 直角相等 3. 若△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，则下列结论正确的是（） A. △ABC≌△DEF B. △ABC∽△DEF C. 无法判定 D. 三边相等 4. 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，则相似三角形为（） A. △AOB∽△COD B. △AOD∽△BOC C. △ABC∽△CDO D. 无相似三角形 5. 已知△ABC中，DE∥BC，交AB、AC于D、E，则△ADE∽△ABC的依据是（） A. 三边成比例 B. 两角分别相等 C. 两边成比例 D. 直角相等 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 两角分别相等的两个三角形________。 2. 两个直角三角形已有一组直角相等，再满足________即可相似。 3. 公共角、________均可作为天然相等的对应角，用于证明相似。 4. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A=50°，∠B=60°，则∠C'=________°。 5. 平行线可以构造________角或内错角相等，是证相似的常用条件。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）如图，已知∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，求证：△ABC∽△DEF。 2.（12分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，求证：△AOB∽△DOC。 3.（18分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：△ACD∽△ABC。 4.（18分）综合拓展：已知DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，求AC的长度。 三、参考答案与解析 选择题：1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 解析：1.AA判定是最简便、考查最多的相似判定方法；2.直角三角形自带一组直角相等，再一组锐角相等即可满足AA判定；3.两组对应角相等，直接判定三角形相似；4.AB∥CD，内错角相等，搭配对顶角，满足AA；5.DE∥BC，同位角相等，两组角相等证相似。 填空题：1.相似 2.一组锐角相等 3.对顶角 4.70 5.同位 解析：4.三角形内角和180°，∠C=70°，相似三角形对应角相等，故∠C'=70°。 解答题 1. 证明：∵∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。 2. 证明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD（两直线平行，内错角相等），∴△AOB∽△DOC（AA）。 3. 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠ADC=∠ACB。又∵∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA）。 4. 解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC。∴$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$。AB=AD+DB=5，代入得$$\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{AC}$$，解得AC=2.5。答：AC的长度为2.5。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 相似多边形的定义是什么? 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 根据相似多边形的定义，说一说什么是相似三角形。 探究新知 2 知识点1 相似三角形的定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 几何语言：如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， k， ∴△ABC∽△A′B′C′。 相似比为k 探究新知 三角形全等与相似的区别与联系：   形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比 联系 全等三 角形 相似三 角形   相同 相等 相等 相等 不一定相等 成比例 1 正实数 全等三角形是特殊的相似三 角形 ∽ ≌ 知识点1 相似三角形的定义 探究新知 如图所示，已知△ABC∽△ADE，则 ∠B=∠ADE，且∠A= ，∠C= ，= = 。 例1 ∠AED ∠A 知识点1 相似三角形的定义 探究新知 知识点1 相似三角形的定义 1.如图，若使 ，则必须满足： （1）_____,_____, _____; （2）_____ ____。 返回 举一反三 6 2.下列说法中错误的是( ) B A.两个全等三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D.相似的两个三角形不一定全等 返回 举一反三 7 问题 两个三角形至少满足哪些条件就相似呢?类比探索三角形全等的条件的思路，寻找判定两个三角形相似的条件。 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗?如果有两个角分别相 等呢? 一个含 30°角的直角三角形，和一个含 30°角的等腰三角形，它们只有 30°角相等，但形状明显不同。 如果两个三角形只有一个角相等，它们不一定相似； 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 探究新知 问题 两个三角形至少满足哪些条件就相似呢?类比探索三角形全等的条件的思路，寻找判定两个三角形相似的条件。 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗?如果有两个角分别相 等呢? 如果两个三角形有两个角分别相等，它们一定相似。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 你能想办法验证吗？ 探究新知 分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗?三边的比，相等吗?这样的两个三角形相似吗? 合作分工： (1) 1人画△ABC，1人画△A'B'C'。 (2)① 测量∠C与∠C′角度；  ② 测量△ABC的三边和△ A'B'C'的三边； ③ 计算对应边的比值，并记录结果 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 C B A C′ B′ A′ 探究新知 分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗?三边的比，相等吗?这样的两个三角形相似吗? ∠C与∠C′相等， 三边的比，相等， 这样的两个三角形相似。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 C B A C′ B′ A′ 探究新知 改变∠α，∠β的大小，再试一试。 因为∠C=180°-∠α - ∠β ，∠C'=180°-∠α - ∠β ， 所以∠C=∠C'。 三边的比 相等，即无论∠α，∠β取何值，只要两个三角形的两角对应相等，它们的第三个角必然相等，且对应边成比例。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 C B A C′ B′ A′ α β 探究新知 定理 两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 探究新知 知识点2 两角分别相等的判定方法 3.[西安期中] 在和中，若 ， ， ， ，则这两个三角形的关系一定成立的是( ) B A. B. C. D.既不全等又不相似 返回 举一反三 14 （第4题） 4.如图，在中，,, ， 则 的长为( ) A A. B.3 C. D.2 返回 举一反三 15 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和AC上的点，且DE∥BC， AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。 解：∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE= ∠B， ∠AED= ∠C。 ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。 ∴ 。 ∴BC= = =14. 例2 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 A D E B C 探究新知 （第5题） 5.［教材习题变式］ 如图，在 中， ，是斜边 上的高，则图 中相似三角形有( ) D A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 返回 举一反三 17 6. 如图，在中，点，分别在边， 上。 添加一个条件使 ，则这个条件可以是________________ _______________ （写出一种情况即可）。 （答案不唯一） 返回 举一反三 18 7.如图，在和中， ， 。求证： 。 证明： ， , 即 。 又， 。 返回 举一反三 19 8.如图，在中， ，是边上一点，且 ， 过点作的垂线，交的延长线于点，求证： 。 举一反三 20 证明：， 。 ， 。 ， 。 ， 。 。 返回 举一反三 21 9.下列语句叙述正确的是( ) B A.有一个角是 的等腰三角形都相似 B.有一个角是 的直角三角形都相似 C.有一个角是 的锐角三角形都相似 D.有一个角是 的钝角三角形都相似 返回 举一反三 22 （第10题） 10. [大连期中] 数学课上，老师提出下 面的问题：如图，在中， ，请用直 尺和圆规在上确定点，使与 相似。下 面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作 法正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形 探索三角形相似的条件 相似三角形 判定定理 两角分别相等的两个三角形相似 课堂小结 谢谢观看 THANKS $