3.2.1 利用两角判定三角形相似（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.2.1 利用两角判定三角形相似 2026年8月2日 3.2.1 利用两角判定三角形相似 同步练习题 3.2.1 利用两角判定三角形相似 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 三角形相似的判定定理（两角型） 两角分别相等的两个三角形相似。 简述：AA 相似判定（最常用、最简便的相似判定方法）。 2. 定理核心原理 三角形内角和固定为180°，只要两组对应角相等，第三组角必然相等，满足相似多边形“对应角相等、对应边成比例”的全部条件。 3. 常见相等角模型（必考） ① 公共角：两个三角形共用一个角，天然相等； ② 对顶角：相交直线形成的对顶角相等； ③ 平行角：两直线平行，同位角、内错角相等； ④ 垂直角：直角均为90°，所有直角互相相等。 4. 常用推论 ① 有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ② 顶角相等的两个等腰三角形相似； ③ 底角相等的两个等腰三角形相似。 5. 解题步骤规范 找两组对应相等角 → 判定三角形相似 → 列出对应比例边、对应相等角。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 判定两个三角形相似，最简单常用的方法是（） A. 三边成比例 B. 两边成比例且夹角相等 C. 两角分别相等 D. 以上都不对 2. 两个直角三角形若有一组锐角对应相等，则这两个三角形（） A. 全等 B. 相似 C. 不相似 D. 无法判断 3. 下列各组三角形一定相似的是（） A. 两个钝角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个直角三角形 4. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，则可判定（） A. △ABC∽△DEF B. △ABC∽△DFE C. △ABC≌△DEF D. 无法判定 5. 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，则相似三角形为（） A. △AOB∽△COD B. △AOD∽△COB C. △ABC∽△CDO D. 无相似三角形 6. 关于两角判定相似，说法错误的是（） A. 只需两组对应角相等即可判定 B. 公共角可作为一组相等角 C. 直角不能作为判定相等的角 D. 对顶角可作为一组相等角 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 两角________的两个三角形相似，简称AA判定。 2. 有一个锐角相等的两个________三角形一定相似。 3. 两直线平行，同位角、________相等，常用来找相似条件。 4. 两个等边三角形的内角都是________°，所以一定相似。 5. 若△ABC中∠A=50°，∠B=60°；△DEF中∠D=50°，∠F=70°，则△ABC________△DEF（填“相似”或“不相似”）。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础判定证明： 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 2. （14分）平行模型相似证明： 如图，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E。 求证：△ADE∽△ABC。 3. （14分）直角三角形相似证明： 已知：Rt△ABC中，∠C=90°；Rt△DEF中，∠F=90°，∠A=∠D。 求证：Rt△ABC∽Rt△DEF。 4. （16分）相交对顶角模型综合证明： 如图，AB、CD相交于点O，∠A=∠C。 （1）求证：△AOD∽△COB； （2）若AO=4，CO=2，AD=3，求BC的长。 四、拓展应用题（附加10分） 已知等腰△ABC和等腰△DEF，顶角∠A=∠D，求证：△ABC∽△DEF。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 二、填空题 1. 分别相等 2. 直角 3. 内错角 4. 60 5. 相似 三、解答题 1. 证明： ∵ 三角形内角和为180° ∴ ∠C=180°−∠A−∠B，∠C'=180°−∠A'−∠B' 又∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴ ∠C=∠C' ∴ △ABC与△A'B'C'三角对应相等 ∴ △ABC∽△A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似） 2. 证明： ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似） 3. 证明： ∵ △ABC、△DEF均为直角三角形 ∴ ∠C=∠F=90° 又∵ ∠A=∠D ∴ △ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似） 4. 解： （1）证明： ∵ ∠A=∠C，∠AOD=∠COB（对顶角相等） ∴ △AOD∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似） （2）由△AOD∽△COB，得对应边成比例： $$\dfrac{AO}{CO}=\dfrac{AD}{BC}$$ 代入数据：$$\dfrac{4}{2}=\dfrac{3}{BC}$$ 解得：$$BC=1.5$$ 答：BC的长为1.5。 拓展题答案 证明： ∵ △ABC、△DEF为等腰三角形，∠A、∠D为顶角 ∴ $$\angle B=\angle C=\dfrac{180^\circ-\angle A}{2}$$，$$\angle E=\angle F=\dfrac{180^\circ-\angle D}{2}$$ ∵ ∠A=∠D ∴ ∠B=∠E ∴ △ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似） 章节易错点总结 1. 相似三角形必须对应角相等，随意两组角相等但不对应，不能判定相似； 2. 普通等腰三角形不一定相似，只有顶角/底角相等的等腰三角形才相似； 3. 证明相似时，顶点字母必须按对应顺序书写，避免边角对应错误； 4. 忽略公共角、对顶角、平行隐含角，导致找不到两组相等角。 问题1 这两个三角形有什么关系？ 全等三角形 那这样变化一下呢？ 相似三角形 相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形. 对应角……？ 对应边……？ 问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特殊的相似 知识点1 相似三角形的定义 1.如图，若使 ，则必须满足： （1）_____,_____, _____; （2）_____ ____。 返回 举一反三 4 2.下列说法中错误的是( ) B A.两个全等三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D.相似的两个三角形不一定全等 返回 举一反三 5 定义 判定方法 全等三角形 相似三角形 三角、三边对应相等的两个三角形全等 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 边角边 SAS 斜边、直角边 HL 问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 需要三个等量条件 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？ 如果两个三角形只有一个角相等，它们不一定相似. 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 【想一想】 如果有两个角分别相等呢？ 55 与同伴合作，两个人分别画 △ABC 和 △A'B'C'，使得∠A 和 ∠A' 都等于∠α，∠B 和 ∠B' 都等于 ∠β，此时， ∠C 与 ∠C' 相等吗？三边的比 相等吗？这样的两个三角形相似吗？ 改变 ∠α，∠β 的大小，再试一试. 【合作探究】 这两个三角形是相似的 A' B' C' C A B 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 55 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A =∠A'，∠B =∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： 【归纳总结】 A' B' C' C A B 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 例1 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC， AB = 7，AD = 5，DE = 10，求BC 的长. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴△ADE∽△ABC. (两角分别相等的两个三角形相似). ∴ . B A D E C 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 10 1. 如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 【练一练】 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 知识点2 两角分别相等的判定方法 3.[西安校级期中] 在和中，若 ， ， ， ，则这两个三角形的关系一定成立的是( ) B A. B. C. D.既不全等又不相似 返回 举一反三 12 （第4题） 4.如图，在中，,, ， 则 的长为( ) A A. B.3 C. D.2 返回 举一反三 13 证明：∵∠BAC = ∠1+∠DAC，∠DAE = ∠3 +∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC = ∠DAE. ∵∠C = 180°－∠2－∠DOC ， ∠E = 180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C =∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 例2 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°. 又∠C = 90°，∠A =∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D. 求 AD 的长. D A B C E ∴ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 图a b， 图b 图a 图b 图c 图d a a,b,c) d) （第5题） 5.［教材P74“习题3.2”第7题变式］ 如图，在 中， ，是斜边 上的 高，则图中相似三角形有( ) D A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 返回 举一反三 17 6. 如图，在中，点，分别在边， 上。 添加一个条件使 ，则这个条件可以是________________ _______________。（写出一种情况即可） （答案不唯一） 返回 举一反三 18 7.如图，在和中， ， 。求证： 。 证明： ， , 即 。 又， 。 返回 举一反三 19 8.如图，在中， ，是边上一点，且 ， 过点作的垂线，交的延长线于点，求证： 。 举一反三 20 证明：， 。 ， 。 ， 。 ， 。 。 返回 举一反三 21 9.下列语句叙述正确的是( ) B A.有一个角是 的等腰三角形都相似 B.有一个角是 的直角三角形都相似 C.有一个角是 的锐角三角形都相似 D.有一个角是 的钝角三角形都相似 返回 举一反三 22 10.[杭州期末] 如图，已知是的边 上一 点，，的平分线交边于点 ， 交于点 ，则在下列给出的三角形中，与 相似的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 23 11.[西安交大附中期中] 尺规作图：如图，在矩形中，是边 的中点，连接，在上求作一点，使得 。 （不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，点 即为所求 （作法不唯一）。 返回 举一反三 24 12.如图，在中，过点作 , 垂足为，连接,为线段 上一点，且 。 （1）求证： ； 解：证明：四边形是平行四边形，, 。 , 。 ,, 。 。 举一反三 25 （2）若,,,求 的长。 解：四边形是平行四边形， ,由（1）知 ， 。 。 ,, , 在 中，由勾股定理，得 。 返回 举一反三 26 利用两角判定三角形相似 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 1 的运用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $